付録
7.1: The Central Limit Theorem for Sample Means (Averages)7.1：標本平均についての中心極限定理
67. What does the central limit theorem state with regard to the distribution of sample means?
67。標本平均の分布について、中心極限定理は何を述べているか。
68. The distribution of results from flipping a fair coin is uniform: heads and tails are equally likely on any flip, and over a large number of trials, you expect about the same number of heads and tails. Yet if you conduct a study by flipping 30 coins and recording the number of heads, and repeat this 100 times, the distribution of the mean number of heads will be approximately normal. How is this possible?
68。公平な硬貨を投げた結果の分布は一様である。どの投げ方でも表と裏は同じ確率で、大量に試行すれば表と裏の回数はほぼ等しくなると予想される。しかし、30枚の硬貨を投げて表の数を記録する調査を100回繰り返すと、表の平均個数の分布はおよそ正規分布となる。なぜこのようなことが起きるのか。
69. The mean of a normally-distributed population is 50, and the standard deviation is four. If you draw 100 samples of size 40 from this population, describe what you would expect to see in terms of the sampling distribution of the sample mean.
69。正規分布に従う母集団の平均は50、標準偏差は4である。この母集団から大きさ40の標本を100個取る場合、標本平均の標本分布はどうなると予想されるか説明せよ。
70. X is a random variable with a mean of 25 and a standard deviation of two. Write the distribution for the sample mean of samples of size 100 drawn from this population.
70。確率変数 X の平均は25、標準偏差は2である。この母集団から取った大きさ100の標本の、標本平均の分布を書け。
71. Your friend is doing an experiment drawing samples of size 50 from a population with a mean of 117 and a standard deviation of 16. This sample size is large enough to allow use of the central limit theorem, so he says the standard deviation of the sampling distribution of sample means will also be 16. Explain why this is wrong, and calculate the correct value.
71。友人が、平均117、標準偏差16の母集団から大きさ50の標本を取る実験をしている。標本は中心極限定理を使えるほど大きいため、標本平均の標本分布の標準偏差も16になると言っている。なぜ誤りなのかを説明し、正しい値を計算せよ。
72. You are reading a research article that refers to “the standard error of the mean.” What does this mean, and how is it calculated?
72。「平均の標準誤差」という表現が出てくる研究論文を読んでいる。これは何を意味し、どのように計算するか。
Use the following information to answer the next six exercises. You repeatedly draw samples of n = 100 from a population with a mean of 75 and a standard deviation of 4.5.
次の情報を用いて、続く6問に答えよ。平均75、標準偏差4.5の母集団から、大きさ n = 100 の標本を繰り返し抽出する。
73. What is the expected distribution of the sample means?
73。標本平均の分布はどうなると予想されるか。
74. One of your friends tries to convince you that the standard error of the mean should be 4.5. Explain what error your friend made.
74。友人が、平均の標準誤差は4.5のはずだと主張している。友人の誤りを説明せよ。
75. What is the z-score for a sample mean of 76?
75。標本平均76の z得点はいくつか。
76. What is the z-score for a sample mean of 74.7?
76。標本平均74.7の z得点はいくつか。
77. What sample mean corresponds to a z-score of 1.5?
77。z得点1.5に対応する標本平均はいくつか。
78. If you decrease the sample size to 50, will the standard error of the mean be smaller or larger? What would be its value?
78。標本の大きさを50に減らすと、平均の標準誤差は小さくなるか、大きくなるか。その値はいくつか。
Use the following information to answer the next two questions. We use the empirical rule to analyze data for samples of size 60 drawn from a population with a mean of 70 and a standard deviation of 9.
次の情報を用いて、続く2問に答えよ。平均70、標準偏差9の母集団から抽出した、大きさ60の標本のデータを経験則で分析する。
79. What range of values would you expect to include 68 percent of the sample means?
79。標本平均の68%が入ると予想される範囲はいくつか。
80. If you increased the sample size to 100, what range would you expect to contain 68 percent of the sample means, applying the empirical rule?
80。標本の大きさを100に増やした場合、経験則から標本平均の68%が入ると予想される範囲はいくつか。
7.2: The Central Limit Theorem for Sums7.2：和についての中心極限定理
81. How does the central limit theorem apply to sums of random variables?
81。中心極限定理は確率変数の和にどのように適用されるか。
82. Explain how the rules applying the central limit theorem to sample means, and to sums of a random variable, are similar.
82。中心極限定理を標本平均に適用する場合と、確率変数の和に適用する場合の規則は、どのように似ているかを説明せよ。
83. If you repeatedly draw samples of size 50 from a population with a mean of 80 and a standard deviation of four, and calculate the sum of each sample, what is the expected distribution of these sums?
83。平均80、標準偏差4の母集団から、大きさ50の標本を繰り返し抽出し、各標本の和を計算する。その和の分布はどうなると予想されるか。
Use the following information to answer the next four exercises. You draw one sample of size 40 from a population with a mean of 125 and a standard deviation of seven.
次の情報を用いて、続く4問に答えよ。平均125、標準偏差7の母集団から、大きさ40の標本を一つ抽出する。
84. Compute the sum. What is the probability that the sum for your sample will be less than 5,000?
84。和を計算せよ。標本の和が5000未満となる確率はいくつか。
85. If you drew samples of this size repeatedly, computing the sum each time, what range of values would you expect to contain 95 percent of the sample sums?
85。この大きさの標本を繰り返し抽出して毎回和を計算した場合、その和の95%が入ると予想される範囲はいくつか。
86. What value is one standard deviation below the mean?
86。平均より標準偏差一つ分だけ下の値はいくつか。
87. What value corresponds to a z-score of 2.2?
87。z得点2.2に対応する値はいくつか。