第7章中心極限定理

Introductionはじめに

小銭と鍵の束を山にした写真。1セント硬貨5枚、25セント硬貨3枚、10セント硬貨4枚、5セント硬貨2枚が見える。キーリングには青銅色のクジラが付き、11本の鍵が掛かっている。 — Figure 7.1図 7.1
If you want to figure out the distribution of the change people carry in their pockets, using the central limit theorem and assuming your sample is large enough, you will find that the distribution is normal and bell-shaped. (credit: modification of work “american coins” by Paula R. Lively/ Flickr, CC BY 2.0)
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人々がポケットに入れて持ち歩く小銭の分布を調べたいとする。標本が十分大きいと仮定して中心極限定理を使うと、その分布は釣鐘型の正規分布になる。（出典：Paula R. Lively / Flickrの作品「american coins」を改変、CC BY 2.0）

Why are we so concerned with means? Two reasons are: they give us a middle ground for comparison, and they are easy to calculate. In this chapter, you will study means and the central limit theorem.

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なぜ平均にこれほど注目するのだろうか。理由は2つある。平均は比較のための中間的な基準を与え、計算しやすいからである。この章では、平均と中心極限定理を学ぶ。

The central limit theorem (clt for short) is one of the most powerful and useful ideas in all of statistics. There are two alternative forms of the theorem, and both alternatives are concerned with drawing finite samples size n from a population with a known mean, μ, and a known standard deviation, σ. The first alternative says that if we collect samples of size n with a "large enough n," calculate each sample's mean, and create a histogram of those means, then the resulting histogram will tend to have an approximate normal bell shape. The second alternative says that if we again collect samples of size n that are "large enough," calculate the sum of each sample and create a histogram, then the resulting histogram will again tend to have a normal bell-shape.

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中心極限定理（略してclt）は、統計学全体で最も強力で役に立つ考え方の1つである。この定理には2つの形があり、どちらも、平均μと標準偏差σが既知の母集団から大きさnの有限な標本を抽出することに関わる。1つ目の形は、nが「十分大きい」大きさnの標本を集め、それぞれの標本の平均を求め、その平均のヒストグラムを作ると、得られたヒストグラムは正規分布に近い釣鐘型になる傾向がある、というものである。2つ目の形は、同じように「十分大きい」大きさnの標本を集め、それぞれの標本の和を求めてヒストグラムを作ると、得られたヒストグラムはやはり正規分布の釣鐘型になる傾向がある、というものである。

The size of the sample, n, that is required in order to be "large enough" depends on the original population from which the samples are drawn (the sample size should be at least 30 or the data should come from a normal distribution). If the original population is far from normal, then more observations are needed for the sample means or sums to be normal. Sampling is done with replacement.

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「十分大きい」といえるために必要な標本の大きさnは、標本を抽出する元の母集団によって異なる（標本の大きさは少なくとも30であるか、データが正規分布から得られている必要がある）。元の母集団が正規分布から大きく離れているなら、標本平均や標本の和が正規分布になるには、より多くの観測値が必要になる。標本抽出は復元抽出で行う。

It would be difficult to overstate the importance of the central limit theorem in statistical theory. Knowing that data, even if its distribution is not normal, behaves in a predictable way is a powerful tool.

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統計理論における中心極限定理の重要性は、いくら強調してもしすぎることはない。分布が正規分布でなくても、データが予測できる形で振る舞うと分かることは、強力な手段となる。

Collaborative Exercise共同演習

Collaborative Classroom Activity授業での共同活動

Suppose eight of you roll one fair die ten times, seven of you roll two fair dice ten times, nine of you roll five fair dice ten times, and 11 of you roll ten fair dice ten times.

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8人が公平なサイコロ1個を10回、7人が公平なサイコロ2個を10回、9人が公平なサイコロ5個を10回、11人が公平なサイコロ10個を10回、それぞれ振るとする。

Each time a person rolls more than one die, they calculate the sample mean of the faces showing. For example, one person might roll five fair dice and get 2, 2, 3, 4, 6 on one roll.

2個以上のサイコロを振る人は、毎回、出た目の標本平均を求める。たとえば、ある人が公平なサイコロ5個を振り、1回で2、2、3、4、6の目が出たとする。

The mean is

\frac{2 + 2 + 3 + 4 + 6}{5}

= 3.4. The 3.4 is one mean when five fair dice are rolled. This same person would roll the five dice nine more times and calculate nine more means for a total of ten means.

平均は

\frac{2 + 2 + 3 + 4 + 6}{5}

= 3.4である。この3.4は、公平なサイコロ5個を振ったときの平均の1つである。同じ人が5個のサイコロをさらに9回振り、さらに9個の平均を求めると、合わせて10個の平均が得られる。

Your instructor will pass out the dice to several people. Roll your dice ten times. For each roll, record the faces, and find the mean. Round to the nearest 0.5.

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教員が数人にサイコロを配る。サイコロを10回振る。毎回、出た目を記録し、平均を求める。0.5刻みの最も近い値に丸める。

Your instructor (and possibly you) will produce one graph (it might be a histogram) for one die, one graph for two dice, one graph for five dice, and one graph for ten dice. Since the "mean" when you roll one die is just the face on the die, what distribution do these means appear to be representing?

教員（場合によっては学生も）が、サイコロ1個について1つ、2個について1つ、5個について1つ、10個について1つのグラフを作る。ヒストグラムでもよい。サイコロ1個を振ったときの「平均」は、出た目そのものなので、これらの平均はどの分布を表しているように見えるか。

Draw the graph for the means using two dice. Do the sample means show any kind of pattern?

サイコロ2個を使ったときの平均のグラフを描く。標本平均には何らかのパターンが見られるか。

Draw the graph for the means using five dice. Do you see any pattern emerging?

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サイコロ5個を使ったときの平均のグラフを描く。何らかのパターンが現れてくるか。

Finally, draw the graph for the means using ten dice. Do you see any pattern to the graph? What can you conclude as you increase the number of dice?

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最後に、サイコロ10個を使ったときの平均のグラフを描く。グラフに何らかのパターンが見られるか。サイコロの数を増やすにつれて、どのような結論が得られるか。

As the number of dice rolled increases from one to two to five to ten, the following is happening:

振るサイコロの数を1個から2個、5個、10個へと増やすにつれて、次のことが起こる：

The mean of the sample means remains approximately the same.
標本平均の平均は、ほぼ同じままである。
The spread of the sample means (the standard deviation of the sample means) gets smaller.
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標本平均の広がり（標本平均の標準偏差）が小さくなる。
The graph appears steeper and thinner.
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グラフは、より急で細い形になる。

You have just demonstrated the central limit theorem (clt).

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これで中心極限定理（clt）を実際に示したことになる。

The central limit theorem tells you that as you increase the number of dice, the sample means tend toward a normal distribution (the sampling distribution).

中心極限定理によると、サイコロの数を増やすにつれて、標本平均は正規分布（標本分布）に近づく。

Sampling Distribution

標本分布

Given simple random samples of size n from a given population with a measured characteristic such as mean, proportion, or standard deviation for each sample, the probability distribution of all the measured characteristics is called a sampling distribution.

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ある母集団から大きさnの単純無作為標本を取り、それぞれの標本について平均、比率、標準偏差などの特性を測定するとき、その測定された特性すべての確率分布を標本分布という。