第7章中心極限定理

References参考文献

Data from the Wall Street Journal.

データ：ウォール・ストリート・ジャーナル。

“National Health and Nutrition Examination Survey.” Center for Disease Control and Prevention. Available online at http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (accessed May 17, 2013).

「全国健康栄養調査」米国疾病予防管理センター。オンライン掲載：http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm（2013年5月17日閲覧）。

Chapter Review章の復習

The central limit theorem can be used to illustrate the law of large numbers. The law of large numbers states that the larger the sample size you take from a population, the closer the sample mean

\bar{x}

gets to μ.

中心極限定理は、大数の法則を示すために使える。大数の法則によると、母集団から取る標本の大きさが大きいほど、標本平均

\bar{x}

はμに近づく。

Exercises 52–61練習問題 52–61

Use the following information to answer the next ten exercises: A manufacturer produces 25-pound lifting weights. The lowest actual weight is 24 pounds, and the highest is 26 pounds. Each weight is equally likely so the distribution of weights is uniform. A sample of 100 weights is taken.

英語のヒント

次の情報を使い、続く10問に答える。ある製造業者が、重量挙げ用の25ポンドの重りを製造している。実際の重量の最小値は24ポンド、最大値は26ポンドである。どの重量も同じように生じるので、重量は一様分布に従う。重り100個の標本を取る。

Exercise 52問題 52

What is the distribution for the weights of one 25-pound lifting weight? What is the mean and standard deivation?
25ポンドの重り1個の重量はどのような分布に従うか。平均と標準偏差はいくつか。
What is the distribution for the mean weight of 100 25-pound lifting weights?
25ポンドの重り100個の平均重量はどのような分布に従うか。
Find the probability that the mean actual weight for the 100 weights is less than 24.9.
100個の重りの実際の平均重量が24.9未満となる確率を求める。

Solution解き方

U(24, 26), 25, 0.5774
N(25, 0.0577)
0.0416

Exercise 53問題 53

Draw the graph from Exercise 52

練習問題52のグラフを描く。

Exercise 54問題 54

Find the probability that the mean actual weight for the 100 weights is greater than 25.2.

100個の重りの実際の平均重量が25.2を超える確率を求める。

Solution解き方

0.0003

Exercise 55問題 55

Draw the graph from Exercise 54

練習問題54のグラフを描く。

Exercise 56問題 56

Find the 90^th percentile for the mean weight for the 100 weights.

100個の重りの平均重量の第90パーセンタイルを求める。

Solution解き方

25.07

Exercise 57問題 57

Draw the graph from Exercise 56

練習問題56のグラフを描く。

Exercise 58問題 58

What is the distribution for the sum of the weights of 100 25-pound lifting weights?
25ポンドの重り100個の重量の和はどのような分布に従うか。
Find P(Σx < 2,450).
P(Σx < 2,450)を求める。

Solution解き方

N(2,500, 5.7735)
0

Exercise 59問題 59

Draw the graph from Exercise 58

練習問題58のグラフを描く。

Exercise 60問題 60

Find the 90^th percentile for the total weight of the 100 weights.

100個の重りの合計重量の第90パーセンタイルを求める。

Solution解き方

2,507.40

Exercise 61問題 61

Draw the graph from Exercise 60

練習問題60のグラフを描く。

Exercises 62–69練習問題 62–69

Use the following information to answer the next five exercises: The length of time a particular smartphone's battery lasts follows an exponential distribution with a mean of ten months. A sample of 64 of these smartphones is taken.

次の情報を使い、続く5問に答える。あるスマートフォンのバッテリーの寿命は、平均10か月の指数分布に従う。このスマートフォン64台の標本を取る。

Exercise 62問題 62

What is the standard deviation?
標準偏差はいくつか。
What is the parameter m?
パラメーターmはいくつか。

Solution解き方

10
$\frac{1}{10}$

Exercise 63問題 63

What is the distribution for the length of time one battery lasts?

バッテリー1個の寿命はどのような分布に従うか。

Exercise 64問題 64

What is the distribution for the mean length of time 64 batteries last?

64個のバッテリーの平均寿命はどのような分布に従うか。

Solution解き方

(10, \frac{10}{8})

Exercise 65問題 65

What is the distribution for the total length of time 64 batteries last?

64個のバッテリーの合計寿命はどのような分布に従うか。

Exercise 66問題 66

Find the probability that the sample mean is between seven and 11.

標本平均が7から11の間にある確率を求める。

Solution解き方

0.7799

Exercise 67問題 67

Find the 80^th percentile for the total length of time 64 batteries last.

64個のバッテリーの合計寿命の第80パーセンタイルを求める。

Exercise 68問題 68

Find the IQR for the mean amount of time 64 batteries last.

64個のバッテリーの平均寿命のIQRを求める。

Solution解き方

1.69

Exercise 69問題 69

Find the middle 80% for the total amount of time 64 batteries last.

64個のバッテリーの合計寿命について、中央の80%にあたる範囲を求める。

Exercises 70–75練習問題 70–75

Use the following information to answer the next eight exercises: A uniform distribution has a minimum of six and a maximum of ten. A sample of 50 is taken.

次の情報を使い、続く8問に答える。ある一様分布の最小値は6、最大値は10である。大きさ50の標本を取る。

Exercise 70問題 70

Find P(Σx > 420).

P(Σx > 420)を求める。

Solution解き方

0.0072

Exercise 71問題 71

Find the 90^th percentile for the sums.

和の第90パーセンタイルを求める。

Exercise 72問題 72

Find the 15^th percentile for the sums.

和の第15パーセンタイルを求める。

Solution解き方

391.54

Exercise 73問題 73

Find the first quartile for the sums.

和の第1四分位数を求める。

Exercise 74問題 74

Find the third quartile for the sums.

和の第3四分位数を求める。

Solution解き方

405.51

Exercise 75問題 75

Find the 80^th percentile for the sums.

和の第80パーセンタイルを求める。

Homework宿題

Exercises 76–77練習問題 76–77

Exercise 76問題 76

The attention span of a two-year-old is exponentially distributed with a mean of about eight minutes. Suppose we randomly survey 60 two-year-olds.

英語のヒント

2歳児の注意が持続する時間は、平均約8分の指数分布に従う。2歳児60人を無作為に調査するとする。

In words, Χ = _______
言葉で表すと、Χ = _______
Χ ~ _____(_____,_____)
In words, $\bar{X}$ = ____________
言葉で表すと、 $\bar{X}$ = ____________
$\bar{X}$ ~ _____(_____,_____)
Before doing any calculations, which do you think will be higher? Explain why.
計算をする前に、どちらの確率のほうが高くなると思うか。理由を説明する。
1. The probability that an individual attention span is less than ten minutes.
  1人の注意持続時間が10分未満となる確率。
2. The probability that the average attention span for the 60 children is less than ten minutes?
  60人の子どもの平均注意持続時間が10分未満となる確率。
Calculate the probabilities in part e.
eの確率を求める。
Explain why the distribution for $\bar{X}$ is not exponential.
英語のヒント
$\bar{X}$ の分布が指数分布でない理由を説明する。

Exercise 77問題 77

The closing stock prices of 35 U.S. semiconductor manufacturers are given as follows.

英語のヒント

米国の半導体メーカー35社の株価終値を、次に示す。

8.625
30.25
27.625
46.75
32.875
18.25
5
0.125
2.9375
6.875
28.25
24.25
21
1.5
30.25
71
43.5
49.25
2.5625
31
16.5
9.5
18.5
18
9
10.5
16.625
1.25
18
12.87
7
12.875
2.875
60.25
29.25

In words, Χ = ______________
言葉で表すと、Χ = ______________
1. $\bar{x}$ = _____
2. s_x = _____
3. n = _____
Construct a histogram of the distribution of the averages. Start at x = –0.0005. Use bar widths of ten.
平均の分布のヒストグラムを作る。x = −0.0005から始め、棒の幅は10とする。
In words, describe the distribution of stock prices.
株価の分布を言葉で説明する。
Randomly average five stock prices together. (Use a random number generator.) Continue averaging five pieces together until you have ten averages. List those ten averages.
株価を5つ無作為に選んで平均を求める（乱数生成器を使う）。5つずつの平均を求める操作を、平均が10個得られるまで続ける。その10個の平均を列挙する。
Use the ten averages from part e to calculate the following.
eで得た10個の平均を使い、次を求める。
1. $\bar{x}$ = _____
2. s_x = _____
Construct a histogram of the distribution of the averages. Start at x = -0.0005. Use bar widths of ten.
平均の分布のヒストグラムを作る。x = −0.0005から始め、棒の幅は10とする。
Does this histogram look like the graph in part c?
このヒストグラムは、cのグラフと似ているか。
In one or two complete sentences, explain why the graphs either look the same or look different?
グラフが同じように見える、または異なって見える理由を、完全な文1～2文で説明する。
Based upon the theory of the central limit theorem, $\bar{X}$ ~ _____(_____,____)
中心極限定理の理論に基づくと、 $\bar{X}$ ~ _____(_____,____)

Solution解き方

X = the closing stock prices for U.S. semiconductor manufacturers
X = 米国の半導体メーカーの株価終値
i. $20.71; ii. $17.31; iii. 35
i. 20.71ドル、ii. 17.31ドル、iii. 35
Exponential distribution, Χ ~ Exp $(\frac{1}{20.71})$
指数分布、Χ ~ Exp $(\frac{1}{20.71})$
Answers will vary.
答えはさまざまである。
i. $20.71; ii. $11.14
i. 20.71ドル、ii. 11.14ドル
Answers will vary.
答えはさまざまである。
Answers will vary.
答えはさまざまである。
Answers will vary.
答えはさまざまである。
N $(20 .71, \frac{17.31}{\sqrt{5}})$

Exercises 78–80練習問題 78–80

Use the following information to answer the next three exercises: Richard’s Furniture Company delivers furniture from 10 A.M. to 2 P.M. continuously and uniformly. We are interested in how long (in hours) past the 10 A.M. start time that individuals wait for their delivery.

英語のヒント

次の情報を使い、続く3問に答える。リチャード家具会社は、午前10時から午後2時までの間、連続的かつ一様に家具を配達する。配達開始の午前10時から何時間待つと、それぞれの人に家具が届くかを考える。

Exercise 78問題 78

Χ ~ _____(_____,_____)

U(0,4)
U(10,2)
Eχp(2)
N(2,1)

Exercise 79問題 79

The average wait time is:

平均待ち時間は、次のどれか：

one hour.
1時間。
two hours.
2時間。
two and a half hours.
2時間半。
four hours.
4時間。

Solution解き方

Exercise 80問題 80

Suppose that it is now past noon on a delivery day. The probability that a person must wait at least one and a half more hours is:

配達日の正午をすでに過ぎたとする。ある人が、あと少なくとも1時間半待たなければならない確率は、次のどれか：

$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{3}{8}$

Exercises 81–82練習問題 81–82

Use the following information to answer the next two exercises: The time to wait for a particular rural bus is distributed uniformly from zero to 75 minutes. One hundred riders are randomly sampled to learn how long they waited.

英語のヒント

次の情報を使い、続く2問に答える。ある地方のバスの待ち時間は、0分から75分の一様分布に従う。待ち時間を調べるため、利用者100人を無作為に抽出する。

Exercise 81問題 81

The 90^th percentile sample average wait time (in minutes) for a sample of 100 riders is:

利用者100人の標本について、標本平均待ち時間（分）の第90パーセンタイルは、次のどれか：

315.0
40.3
38.5
65.2

Solution解き方

Exercise 82問題 82

Would you be surprised, based upon numerical calculations, if the sample average wait time (in minutes) for 100 riders was less than 30 minutes?

数値計算に基づいて考えると、利用者100人の標本平均待ち時間が30分未満なら驚くか。

yes
はい
no
いいえ
There is not enough information.
情報が足りない。

Exercises 83–90練習問題 83–90

Use the following to answer the next two exercises: The cost of unleaded gasoline in the Bay Area once followed an unknown distribution with a mean of $4.59 and a standard deviation of $0.10. Sixteen gas stations from the Bay Area are randomly chosen. We are interested in the average cost of gasoline for the 16 gas stations.

次の情報を使い、続く2問に答える。ある時期のベイエリアの無鉛ガソリン価格は、平均4.59ドル、標準偏差0.10ドルの未知の分布に従っていた。ベイエリアのガソリンスタンド16店を無作為に選ぶ。この16店のガソリン平均価格に関心がある。

Exercise 83問題 83

What's the approximate probability that the average price for 16 gas stations is over $4.69?

16店のガソリンスタンドの平均価格が4.69ドルを超える確率は、およそいくつか。

almost zero
ほぼ0
0.1587
0.0943
unknown
未知

Solution解き方

Exercise 84問題 84

Find the probability that the average price for 30 gas stations is less than $4.55.

30店のガソリンスタンドの平均価格が4.55ドル未満となる確率を求める。

0.6554
0.3446
0.0142
0.9858
0

Exercise 85問題 85

Suppose in a local Kindergarten through 12^th grade (K - 12) school district, 53 percent of the population favor a charter school for grades K through five. A simple random sample of 300 is surveyed. Calculate following using the normal approximation to the binomial distribtion.

ある地域の幼稚園から第12学年まで（K–12）の学区で、住民の53%が、幼稚園から第5学年までのチャータースクールを支持しているとする。300人の単純無作為標本を調査する。二項分布の正規近似を使い、次を求める。

Find the probability that less than 100 favor a charter school for grades K through 5.
幼稚園から第5学年までのチャータースクールを支持する人が100人未満となる確率を求める。
Find the probability that 170 or more favor a charter school for grades K through 5.
幼稚園から第5学年までのチャータースクールを支持する人が170人以上となる確率を求める。
Find the probability that no more than 140 favor a charter school for grades K through 5.
幼稚園から第5学年までのチャータースクールを支持する人が140人以下となる確率を求める。
Find the probability that there are fewer than 130 that favor a charter school for grades K through 5.
幼稚園から第5学年までのチャータースクールを支持する人が130人未満となる確率を求める。
Find the probability that exactly 150 favor a charter school for grades K through 5.
幼稚園から第5学年までのチャータースクールを、ちょうど150人が支持する確率を求める。

If you have access to an appropriate calculator or computer software, try calculating these probabilities using the technology.

適切な計算機やコンピューターソフトウェアを利用できるなら、それを使ってこれらの確率を計算してみる。

Solution解き方

0
0.1123
0.0162
0.0003
0.0268

Exercise 86問題 86

Four friends, Janice, Barbara, Kathy and Roberta, decided to carpool together to get to school. Each day the driver would be chosen by randomly selecting one of the four names. They carpool to school for 96 days. Use the normal approximation to the binomial to calculate the following probabilities. Round the standard deviation to four decimal places.

英語のヒント

ジャニス、バーバラ、キャシー、ロバータという4人の友人が、相乗りで通学することにした。毎日、4人の名前から1つを無作為に選び、運転者を決める。96日間、相乗りで通学する。二項分布の正規近似を使い、次の確率を求める。標準偏差は小数第4位までに丸める。

Find the probability that Janice is the driver at most 20 days.
ジャニスが運転する日が20日以下となる確率を求める。
Find the probability that Roberta is the driver more than 16 days.
ロバータが運転する日が16日を超える確率を求める。
Find the probability that Barbara drives exactly 24 of those 96 days.
96日間のうち、バーバラがちょうど24日運転する確率を求める。

Exercise 87問題 87

X ~ N(60, 9). Suppose that you form random samples of 25 from this distribution. Let

\bar{X}

be the random variable of averages. Let ΣX be the random variable of sums. For parts c through f, sketch the graph, shade the region, label and scale the horizontal axis for

\bar{X}

, and find the probability.

X ~ N(60, 9)。この分布から大きさ25の無作為標本を取るとする。平均の確率変数を

\bar{X}

、和の確率変数をΣXとする。cからfでは、グラフの概形を描き、領域を塗り、

\bar{X}

の横軸にラベルと目盛りを付けて、確率を求める。

Sketch the distributions of X and $\bar{X}$ on the same graph.
Xと $\bar{X}$ の分布を同じグラフに描く。
$\bar{X}$ ~ _____(_____,_____)
P( $\bar{x}$ < 60) = _____
Find the 30^th percentile for the mean.
平均の第30パーセンタイルを求める。
P(56 < $\bar{x}$ < 62) = _____
P(18 < $\bar{x}$ < 58) = _____
Σx ~ _____(_____,_____)
Find the minimum value for the upper quartile for the sum.
和について、上位四分の一の区間の最小値を求める。
P(1,400 < Σx < 1,550) = _____

Solution解き方

Answers may vary.
解答はさまざまである。
$\bar{X}$ ~ N $(60, \frac{9}{\sqrt{25}})$
0.5000
59.06
0.8536
0.1333
N(1500, 45)
1530.35
0.6877

Exercise 88問題 88

Suppose that the length of research papers is uniformly distributed from ten to 25 pages. We survey a class in which 55 research papers were turned in to a professor. The 55 research papers are considered a random collection of all papers. We are interested in the average length of the research papers.

英語のヒント

研究レポートの長さが10ページから25ページの一様分布に従うとする。教授に55本の研究レポートが提出された授業を調べる。この55本のレポートは、すべてのレポートから無作為に集められたものとみなす。研究レポートの平均の長さに関心がある。

In words, X = _____________
言葉で表すと、X = _____________
X ~ _____(_____,_____)
μ_x = _____
σ_x = _____
In words, $\bar{X}$ = ______________
言葉で表すと、 $\bar{X}$ = ______________
$\bar{X}$ ~ _____(_____,_____)
In words, ΣX = _____________
言葉で表すと、ΣX = _____________
ΣX ~ _____(_____,_____)
Without doing any calculations, do you think that it’s likely that the professor will need to read a total of more than 1,050 pages? Why?
計算せずに考えると、教授が合計1,050ページを超える分量を読むことになりそうか。それはなぜか。
Calculate the probability that the professor will need to read a total of more than 1,050 pages.
教授が合計1,050ページを超える分量を読むことになる確率を求める。
Why is it so unlikely that the average length of the papers will be less than 12 pages?
レポートの平均の長さが12ページ未満となることが、これほど起こりにくいのはなぜか。

Exercise 89問題 89

Salaries for teachers in a particular elementary school district are normally distributed with a mean of $44,000 and a standard deviation of $6,500. We randomly survey ten teachers from that district.

英語のヒント

ある小学校区の教員の給与は、平均44,000ドル、標準偏差6,500ドルの正規分布に従う。その学区の教員10人を無作為に調査する。

Find the 90^th percentile for an individual teacher’s salary.
教員1人の給与の第90パーセンタイルを求める。
Find the 90^th percentile for the average teacher’s salary.
教員の平均給与の第90パーセンタイルを求める。

Solution解き方

$52,330
$46,634

Exercise 90問題 90

The average length of a maternity stay in a U.S. hospital is said to be 2.4 days with a standard deviation of 0.9 days. We randomly survey 80 women who recently bore children in a U.S. hospital.

英語のヒント

米国の病院における出産時の平均入院期間は2.4日、標準偏差は0.9日といわれている。最近、米国の病院で出産した女性80人を無作為に調査する。

In words, X = _____________
言葉で表すと、X = _____________
In words, $\bar{X}$ = ___________________
言葉で表すと、 $\bar{X}$ = ___________________
$\bar{X}$ ~ _____(_____,_____)
In words, ΣX = _______________
言葉で表すと、ΣX = _______________
ΣX ~ _____(_____,_____)
Is it likely that an individual stayed more than five days in the hospital? Why or why not?
1人の入院期間が5日を超えることは起こりそうか。その理由は何か。
Is it likely that the average stay for the 80 women was more than five days? Why or why not?
80人の女性の平均入院期間が5日を超えることは起こりそうか。その理由は何か。
Which is more likely:
次のどちらが起こりやすいか：
1. An individual stayed more than five days.
  1人の入院期間が5日を超えた。
2. the average stay of 80 women was more than five days.
  80人の女性の平均入院期間が5日を超えた。
If we were to sum up the women’s stays, is it likely that, collectively they spent more than a year in the hospital? Why or why not?
英語のヒント
女性たちの入院期間を合計した場合、合わせて1年を超える期間を病院で過ごしたということは起こりそうか。その理由は何か。