第7章中心極限定理

7.3 Using the Central Limit Theorem7.3　中心極限定理の利用

It is important for you to understand when to use the central limit theorem. If you are being asked to find the probability of the mean, use the clt for the mean. If you are being asked to find the probability of a sum or total, use the clt for sums. This also applies to percentiles for means and sums.

英語のヒント

中心極限定理をいつ使うかを理解することは重要である。平均についての確率を求めるよう問われた場合は、平均に対する中心極限定理を使う。和や合計についての確率を求めるよう問われた場合は、和に対する中心極限定理を使う。平均や和のパーセンタイルについても同じことが当てはまる。

Examples of the Central Limit Theorem中心極限定理の例

Law of Large Numbers大数の法則

The law of large numbers says that if you take samples of larger and larger size from any population, then the mean

\bar{x}

of the sample tends to get closer and closer to μ. From the central limit theorem, we know that as n gets larger and larger, the sample means follow a normal distribution. The larger n gets, the smaller the standard deviation gets. (Remember that the standard deviation for

\bar{X}

\frac{σ}{\sqrt{n}}

.) This means that the sample mean

\bar{x}

must be close to the population mean μ. We can say that μ is the value that the sample means approach as n gets larger. The central limit theorem illustrates the law of large numbers.

英語のヒント

大数の法則によると、どの母集団からでも、次第に大きな標本を取っていくと、標本平均

\bar{x}

はμにいっそう近づく。中心極限定理から、nが次第に大きくなるにつれて、標本平均は正規分布に従うと分かる。nが大きいほど、標準偏差は小さくなる（

\bar{X}

の標準偏差は

\frac{σ}{\sqrt{n}}

であることを思い出そう）。このことは、標本平均

\bar{x}

が母平均μに近くなければならないことを意味する。μは、nが大きくなるにつれて標本平均が近づく値であるといえる。中心極限定理は大数の法則を示している。

Central Limit Theorem for the Mean and Sum Examples平均と和に対する中心極限定理の例

Example 7.8例題 7.8

A study involving stress is conducted among the students on a college campus. The stress scores follow a uniform distribution with the lowest stress score equal to one and the highest equal to five. Using a sample of 75 students, find:

英語のヒント

ある大学の学生を対象に、ストレスに関する調査を行う。ストレス得点は、最低得点1、最高得点5の一様分布に従う。75人の学生の標本を使い、次を求める：

The probability that the mean stress score for the 75 students is less than two.
75人の学生の平均ストレス得点が2未満となる確率。
The 90^th percentile for the mean stress score for the 75 students.
75人の学生の平均ストレス得点の第90パーセンタイル。
The probability that the total of the 75 stress scores is less than 200.
75人のストレス得点の合計が200未満となる確率。
The 90^th percentile for the total stress score for the 75 students.
75人の学生の合計ストレス得点の第90パーセンタイル。

Let X = one stress score.

X = 1人のストレス得点とする。

Problems a and b ask you to find a probability or a percentile for a mean. Problems c and d ask you to find a probability or a percentile for a total or sum. The sample size, n, is equal to 75.

問題aとbでは、平均についての確率またはパーセンタイルを求める。問題cとdでは、合計または和についての確率またはパーセンタイルを求める。標本の大きさnは75である。

Since the individual stress scores follow a uniform distribution, X ~ U(1, 5) where a = 1 and b = 5 (See Continuous Random Variables for an explanation on the uniform distribution).

個々のストレス得点は一様分布に従うので、X ~ U(1, 5)であり、a = 1、b = 5となる（一様分布の説明は「連続確率変数」を参照）。

μ_X =

\frac{a + b}{2}

\frac{1 + 5}{2}

= 3

σ_X =

\sqrt{\frac{{(b - a)}^{2}}{12}}

\sqrt{\frac{{(5 - 1)}^{2}}{12}} = \sqrt{\frac{16}{12}} = \sqrt{\frac{4}{3}}, or approximately 1.15 .

σ_X =

\sqrt{\frac{{(b - a)}^{2}}{12}}

\sqrt{\frac{{(5 - 1)}^{2}}{12}} = \sqrt{\frac{16}{12}} = \sqrt{\frac{4}{3}}, 、すなわち約 1.15

For problems a. and b., let

\bar{X}

= the mean stress score for the 75 students. Then,

問題aとbでは、

\bar{X}

= 75人の学生の平均ストレス得点とする。すると、

\bar{X}

∼ N

(3, \frac{1 .15}{\sqrt{75}})

a. Find P(

\bar{x}

< 2). Draw the graph.

a. P(

\bar{x}

< 2)を求める。グラフを描く。

Solution解き方

a. P(

\bar{x}

< 2) = 0

The probability that the mean stress score is less than two is about zero.

平均ストレス得点が2未満となる確率は、ほぼ0である。

横軸の上に描かれた正規分布曲線。曲線の頂点は横軸の3の位置に対応する。曲線の左端に2の点が示されている。 — Figure 7.7図 7.7

normalcdf

(1,2,3, \frac{1 .15}{\sqrt{75}})

= 0

b. Find the 90^th percentile for the mean of 75 stress scores. Draw a graph.

b. 75人のストレス得点の平均について、第90パーセンタイルを求める。グラフを描く。

Solution解き方

b. Let k = the 90^th precentile.

b. k = 第90パーセンタイルとする。

Find k, where P(

\bar{x}

< k) = 0.90.

\bar{x}

< k) = 0.90となるkを求める。

k = 3.2

正規分布曲線。曲線の頂点は横軸の3の位置に対応する。3の右側にkの点が示され、そこから曲線まで垂直線が伸びている。kより左側の、曲線の下の領域が塗られている。塗られた面積はP(xバー < k) = 0.90を示す。 — Figure 7.8図 7.8

The 90^th percentile for the mean of 75 scores is about 3.2. This tells us that 90% of all the means of 75 stress scores are at most 3.2, and that 10% are at least 3.2.

75人の得点の平均の第90パーセンタイルは約3.2である。これは、75人のストレス得点の平均をすべて考えたとき、その90%が3.2以下で、10%が3.2以上であることを示す。

invNorm

(0 .90,3, \frac{1.15}{\sqrt{75}})

= 3.2

For problems c and d, let ΣX = the sum of the 75 stress scores. Then, ΣX ~ N[(75)(3),

(\sqrt{75})

(1.15)]

問題cとdでは、ΣX = 75人のストレス得点の和とする。すると、ΣX ~ N[(75)(3),

(\sqrt{75})

(1.15)]となる。

c. Find P(Σx < 200). Draw the graph.

c. P(Σx < 200)を求める。グラフを描く。

Solution解き方

c. The mean of the sum of 75 stress scores is (75)(3) = 225

c. 75人のストレス得点の和の平均は、(75)(3) = 225である。

The standard deviation of the sum of 75 stress scores is

(\sqrt{75}) (\sqrt{\frac{4}{3}}) = \sqrt{(\frac{75 \times 4}{3})} = \sqrt{100} = 10

75人のストレス得点の和の標準偏差は

(\sqrt{75}) (\sqrt{\frac{4}{3}}) = \sqrt{(\frac{75 \times 4}{3})} = \sqrt{100} = 10

である。

P(Σx < 200) = –0.0062

横軸の上に描かれた正規分布曲線。曲線の頂点は横軸の225の位置に対応する。曲線の左端に200の点が示されている。 — Figure 7.9図 7.9

The probability that the total of 75 scores is less than 200 is about 0.0062.

75人の得点の合計が200未満となる確率は、約0.0062である。

normalcdf (75,200,225,10).

normalcdf (75,200,225,10)。

d. Find the 90^th percentile for the total of 75 stress scores. Draw a graph.

d. 75人のストレス得点の合計について、第90パーセンタイルを求める。グラフを描く。

Solution解き方

d. Let k = the 90^th percentile.

d. k = 第90パーセンタイルとする。

Find k where P(Σx < k) = 0.90.

P(Σx < k) = 0.90となるkを求める。

k = 237.8

正規分布曲線。曲線の頂点は横軸の225の位置に対応する。225の右側にkの点が示され、そこから曲線まで垂直線が伸びている。kより左側の、曲線の下の領域が塗られている。塗られた面積はP(xの和 < k) = 0.90を示す。 — Figure 7.10図 7.10

The 90^th percentile for the sum of 75 scores is about 237.8. This tells us that 90% of all the sums of 75 scores are no more than 237.8 and 10% are no less than 237.8.

75人の得点の和の第90パーセンタイルは約237.8である。これは、75人の得点の和をすべて考えたとき、その90%が237.8以下で、10%が237.8以上であることを示す。

invNorm(0.90,(75)(3),

(\sqrt{75})

(1.15)) = 237.8

Example 7.9例題 7.9

Suppose that a market research analyst for a cell phone company conducts a study of their customers who exceed the time allowance included on their basic cell phone contract; the analyst finds that for those people who exceed the time included in their basic contract, the excess time used follows an exponential distribution with a mean of 22 minutes.

英語のヒント

ある携帯電話会社の市場調査分析者が、基本契約に含まれる通話時間を超過した顧客を調査するとする。分析の結果、基本契約の時間を超過した顧客の超過利用時間は、平均22分の指数分布に従うことが分かった。

Consider a random sample of 80 customers who exceed the time allowance included in their basic cell phone contract.

携帯電話の基本契約に含まれる通話時間を超過した顧客80人の無作為標本について考える。

Let X = the excess time used by one INDIVIDUAL cell phone customer who exceeds his contracted time allowance.

X = 契約で認められた時間を超過した携帯電話の顧客1人の超過利用時間とする。

X ∼ Exp

(\frac{1}{22})

. From previous chapters, we know that μ = 22 and σ = 22.

X ∼ Exp

(\frac{1}{22})

。前の章から、μ = 22、σ = 22であることが分かる。

Let

\bar{X}

= the mean excess time used by a sample of n = 80 customers who exceed their contracted time allowance.

\bar{X}

= 契約で認められた時間を超過した顧客n = 80人の標本の平均超過利用時間とする。

\bar{X}

~ N

(22, \frac{22}{\sqrt{80}})

by the central limit theorem for sample means

標本平均に対する中心極限定理により、

\bar{X}

~ N

(22, \frac{22}{\sqrt{80}})

となる。

Using the clt to find probability中心極限定理を使って確率を求める

Find the probability that the mean excess time used by the 80 customers in the sample is longer than 20 minutes. This is asking us to find P( $\bar{x}$ > 20). Draw the graph.
標本の顧客80人の平均超過利用時間が20分を超える確率を求める。これはP( $\bar{x}$ > 20)を求める問いである。グラフを描く。
Suppose that one customer who exceeds the time limit for his cell phone contract is randomly selected. Find the probability that this individual customer's excess time is longer than 20 minutes. This is asking us to find P(x > 20).
携帯電話の契約時間を超過した顧客を1人、無作為に選ぶとする。この顧客個人の超過時間が20分を超える確率を求める。これはP(x > 20)を求める問いである。
Explain why the probabilities in parts a and b are different.
aとbの確率が異なる理由を説明する。

Solution解き方

Find: P( $\bar{x}$ > 20)
求める確率：P( $\bar{x}$ > 20)

P( $\bar{x}$ > 20) = 0.79199 using normalcdf $(20,1E99,22, \frac{22}{\sqrt{80}})$
normalcdf $(20,1E99,22, \frac{22}{\sqrt{80}})$ を使うと、P( $\bar{x}$ > 20) = 0.79199となる。

The probability is 0.7919 that the mean excess time used is more than 20 minutes, for a sample of 80 customers who exceed their contracted time allowance.
契約で認められた時間を超過した顧客80人の標本について、平均超過利用時間が20分を超える確率は0.7919である。

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 7.11図 7.11

REMINDER確認

1E99 = 10⁹⁹ and –1E99 = –10⁹⁹. Press the EE key for E. Or just use 10⁹⁹ instead of 1E99.
1E99 = 10⁹⁹、−1E99 = −10⁹⁹。Eを入力するにはEEキーを押す。あるいは、1E99の代わりに10⁹⁹を使ってもよい。
Find P(x > 20). Remember to use the exponential distribution for an individual: $X ~ E x p (\frac{1}{22})$ .
$P (x > 20) = e^{(- (\frac{1}{22}) (20))}$ or e^{(–0.04545(20))} = 0.4029
P(x > 20)を求める。個人については指数分布 $X ~ E x p (\frac{1}{22})$ を使うことを忘れないようにする。 $P (x > 20) = e^{(- (\frac{1}{22}) (20))}$ 、すなわちe^{(–0.04545(20))} = 0.4029。
1. P(x > 20) = 0.4029 but P( $\bar{x}$ > 20) = 0.7919
  P(x > 20) = 0.4029であるが、P( $\bar{x}$ > 20) = 0.7919である。
2. The probabilities are not equal because we use different distributions to calculate the probability for individuals and for means.
  個々の値と平均では、確率を求める際に使う分布が異なるので、確率は等しくならない。
3. When asked to find the probability of an individual value, use the stated distribution of its random variable; do not use the clt. Use the clt with the normal distribution when you are being asked to find the probability for a mean.
  英語のヒント
  個々の値の確率を求めるよう問われた場合は、中心極限定理を使わず、与えられた確率変数の分布を使う。平均の確率を求めるよう問われた場合は、中心極限定理と正規分布を使う。

Using the clt to find percentiles中心極限定理を使ってパーセンタイルを求める

Find the 95^th percentile for the sample mean excess time for samples of 80 customers who exceed their basic contract time allowances. Draw a graph.

基本契約で認められた時間を超過した顧客80人の標本について、超過時間の標本平均の第95パーセンタイルを求める。グラフを描く。

Solution解き方

Let k = the 95^th percentile. Find k where P(

\bar{x}

< k) = 0.95

k = 第95パーセンタイルとする。P(

\bar{x}

< k) = 0.95となるkを求める。

k = 26.0 using invNorm

(0 .95,22, \frac{22}{\sqrt{80}})

= 26.0

invNorm

(0 .95,22, \frac{22}{\sqrt{80}})

= 26.0を使うと、k = 26.0となる。

正規分布曲線。曲線の頂点は横軸の22の位置に対応する。22の右側にkの点が示され、そこから曲線まで垂直線が伸びている。kより左側の、曲線の下の領域が塗られている。塗られた面積はP(xバー < k) = 0.95を示す。 — Figure 7.12図 7.12

The 95^th percentile for the sample mean excess time used is about 26.0 minutes for random samples of 80 customers who exceed their contractual allowed time.

契約で認められた時間を超過した顧客80人の無作為標本では、超過利用時間の標本平均の第95パーセンタイルは約26.0分である。

Ninety five percent of such samples would have means under 26 minutes; only five percent of such samples would have means above 26 minutes.

このような標本の95%は平均が26分未満となり、平均が26分を超える標本は5%だけである。

Example 7.10例題 7.10

In the United States, a robbery occurs every two minutes, on average, according to a number of studies. Suppose the standard deviation is 0.5 minutes and the sample size is 100.

英語のヒント

複数の研究によると、米国では平均して2分ごとに強盗が発生する。標準偏差を0.5分、標本の大きさを100とする。

Find the median, the first quartile, and the third quartile for the sample mean time of robberies in the United States.
米国で強盗が発生する時間間隔の標本平均について、中央値、第1四分位数、第3四分位数を求める。
Find the median, the first quartile, and the third quartile for the sum of sample times of robberies in the United States.
米国で強盗が発生する時間間隔の標本の和について、中央値、第1四分位数、第3四分位数を求める。
Find the probability that a robbery occurs on the average between 1.75 and 1.85 minutes.
強盗が発生する平均時間間隔が1.75分から1.85分の間にある確率を求める。
Find the value that is two standard deviations above the sample mean.
標本平均より標準偏差2個分だけ上にある値を求める。
Find the IQR for the sum of the sample times.
標本の時間間隔の和について、IQRを求める。

Solution解き方

We have, μ_x = μ = 2 and σ_x = $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ = $\frac{0.5}{10}$ = 0.05. Therefore:
μ_x = μ = 2、σ_x = $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ = $\frac{0.5}{10}$ = 0.05である。したがって、
1. 50^th percentile = μ_x = μ = 2
  第50パーセンタイル = μ_x = μ = 2
2. 25^th percentile = invNorm(0.25,2,0.05) = 1.97
  第25パーセンタイル = invNorm(0.25,2,0.05) = 1.97
3. 75^th percentile = invNorm(0.75,2,0.05) = 2.03
  第75パーセンタイル = invNorm(0.75,2,0.05) = 2.03
We have μ_Σx = n(μ_x) = 100(2) = 200 and σ_μx = $\sqrt{n}$ (σ_x) = 10(0.5) = 5. Therefore
μ_Σx = n(μ_x) = 100(2) = 200、σ_μx = $\sqrt{n}$ (σ_x) = 10(0.5) = 5である。したがって、
1. 50^th percentile = μ_Σx = n(μ_x) = 100(2) = 200
  第50パーセンタイル = μ_Σx = n(μ_x) = 100(2) = 200
2. 25^th percentile = invNorm(0.25,200,5) = 196.63
  第25パーセンタイル = invNorm(0.25,200,5) = 196.63
3. 75^th percentile = invNorm(0.75,200,5) = 203.37
  第75パーセンタイル = invNorm(0.75,200,5) = 203.37
P(1.75 < $\bar{x}$ < 1.85) = normalcdf(1.75,1.85,2,0.05) = 0.0013
Using the z-score equation, $z = \frac{\bar{x} - μ_{\bar{x}}}{σ_{\bar{x}}}$ , and solving for x, we have x = 2(0.05) + 2 = 2.1
zスコアの式 $z = \frac{\bar{x} - μ_{\bar{x}}}{σ_{\bar{x}}}$ を使い、xについて解くと、x = 2(0.05) + 2 = 2.1となる。
The IQR is 75^th percentile – 25^th percentile = 203.37 – 196.63 = 6.74
IQRは、第75パーセンタイル − 第25パーセンタイル = 203.37 − 196.63 = 6.74である。

Try Itやってみよう

Based on data from the National Health Survey, females between the ages of 18 and 24 have an average systolic blood pressures (in mm Hg) of 114.8 with a standard deviation of 13.1. Systolic blood pressure for females between the ages of 18 to 24 follow a normal distribution.

英語のヒント

全国健康調査のデータによると、18歳から24歳の女性の収縮期血圧（mm Hg）の平均は114.8、標準偏差は13.1である。18歳から24歳の女性の収縮期血圧は正規分布に従う。

If one female from this population is randomly selected, find the probability that their systolic blood pressure is greater than 120.
この母集団から女性1人を無作為に選んだとき、その人の収縮期血圧が120を超える確率を求める。
If 40 females from this population are randomly selected, find the probability that their mean systolic blood pressure is greater than 120.
この母集団から女性40人を無作為に選んだとき、その平均収縮期血圧が120を超える確率を求める。
If the sample were four females between the ages of 18 to 24 and we did not know the original distribution, could the central limit theorem be used?
英語のヒント
標本が18歳から24歳の女性4人で、元の分布が分からなかった場合、中心極限定理を使えるか。

Example 7.11例題 7.11

A study was done regarding attendance at Broadway shows in New York City. The age range of the attendees was 14 to 61. The mean age was 30.9 years with a standard deviation of nine years.

英語のヒント

ニューヨーク市のブロードウェイ公演の観客について調査が行われた。観客の年齢の範囲は14歳から61歳、平均年齢は30.9歳、標準偏差は9歳であった。

In a sample of 25 attendees, what is the probability that the mean age is less than 35?
観客25人の標本で、平均年齢が35歳未満となる確率はいくつか。
Is it likely that the mean age of the sample group could be more than 50 years? Interpret the results.
標本集団の平均年齢が50歳を超えることは起こりそうか。結果を解釈する。
In a sample of 49 attendees, what is the probability that the sum of the ages is no less than 1,600?
観客49人の標本で、年齢の和が1,600年以上となる確率はいくつか。
Is it likely that the sum of the ages of the 49 attendees is at most 1,595? Interpret the results.
49人の観客の年齢の和が1,595年以下になることは起こりそうか。結果を解釈する。
Find the 95th percentile for the sample mean age of 65 attendees. Interpret the results.
観客65人の標本平均年齢の第95パーセンタイルを求める。結果を解釈する。
Find the 90th percentile for the sum of the ages of 65 attendees. Interpret the results.
観客65人の年齢の和の第90パーセンタイルを求める。結果を解釈する。

Solution解き方

P( $\bar{x}$ < 35) = normalcdf(-E99,35,30.9,1.8) = 0.9886
P( $\bar{x}$ > 50) = normalcdf(50, E99,30.9,1.8) ≈ 0. For this sample group, it is almost impossible for the group’s average age to be more than 50. However, it is still possible for an individual in this group to have an age greater than 50.
P( $\bar{x}$ > 50) = normalcdf(50, E99,30.9,1.8) ≈ 0。この標本集団の平均年齢が50歳を超えることは、ほぼありえない。しかし、この集団に50歳を超える個人がいることは可能である。
P(Σx ≥ 1,600) = normalcdf(1600,E99,1514.10,63) = 0.0864
P(Σx ≤ 1,595) = normalcdf(-E99,1595,1514.10,63) = 0.9005. This means that there is a 90% chance that the sum of the ages for the sample group n = 49 is at most 1595.
P(Σx ≤ 1,595) = normalcdf(-E99,1595,1514.10,63) = 0.9005。これは、n = 49の標本集団の年齢の和が1,595年以下となる確率が90%であることを意味する。
The 95th percentile = invNorm(0.95,30.9,1.1) = 32.7. This indicates that 95% of the attendees in the sample of 65 are younger than 32.7 years, on average.
第95パーセンタイル = invNorm(0.95,30.9,1.1) = 32.7。これは、65人の標本の観客の95%は、平均して32.7歳未満であることを示す。
The 90th percentile = invNorm(0.90,2008.5,72.56) = 2101.5. This indicates that 90% of the attendees in the sample of 65 have a sum of ages less than 2,101.5 years.
第90パーセンタイル = invNorm(0.90,2008.5,72.56) = 2101.5。これは、65人の標本の観客の90%で、年齢の和が2,101.5年未満であることを示す。

Try Itやってみよう

According to Boeing data, the 757 airliner carries 200 passengers and has doors with a height of 72 inches. Assume for a certain population of men we have a mean height of 69.0 inches and a standard deviation of 2.8 inches.

英語のヒント

ボーイングのデータによると、757型旅客機の定員は200人で、ドアの高さは72インチである。ある男性の母集団の平均身長を69.0インチ、標準偏差を2.8インチと仮定する。

What doorway height would allow 95% of men to enter the aircraft without bending?
英語のヒント
男性の95%がかがまずに機内へ入れるようにするには、出入口の高さをいくつにすればよいか。
Assume that half of the 200 passengers are men. What mean doorway height satisfies the condition that there is a 0.95 probability that this height is greater than the mean height of 100 men?
200人の乗客の半数が男性であると仮定する。男性100人の平均身長を0.95の確率で上回るという条件を満たす、平均の出入口高さはいくつか。
For engineers designing the 757, which result is more relevant: the height from part a or part b? Why?
英語のヒント
757型機を設計する技術者にとって、aの高さとbの高さのどちらの結果がより重要か。それはなぜか。

HISTORICAL NOTE歴史についての注記

Normal Approximation to the Binomial

二項分布の正規近似

Historically, being able to compute binomial probabilities was one of the most important applications of the central limit theorem. Binomial probabilities with a small value for n(say, 20) were displayed in a table in a book. To calculate the probabilities with large values of n, you had to use the binomial formula, which could be very complicated. Using the normal approximation to the binomial distribution simplified the process. To compute the normal approximation to the binomial distribution, take a simple random sample from a population. You must meet the conditions for a binomial distribution:

英語のヒント

歴史的には、二項確率を計算できることは、中心極限定理の最も重要な応用の1つであった。nが小さい場合（たとえば20）の二項確率は、書籍の表に載っていた。nが大きい場合の確率を求めるには二項分布の公式を使う必要があり、計算は非常に複雑になりえた。二項分布の正規近似を使うと、この計算が簡単になった。二項分布の正規近似を計算するには、母集団から単純無作為標本を取る。二項分布の次の条件を満たさなければならない：

there are a certain number n of independent trials
独立した試行が、決まった回数nだけある。
the outcomes of any trial are success or failure
各試行の結果は成功か失敗である。
each trial has the same probability of a success p
各試行の成功確率pが同じである。

Recall that if X is the binomial random variable, then X ~ B(n, p). The shape of the binomial distribution needs to be similar to the shape of the normal distribution. To ensure this, the quantities np and nq must both be greater than five (np > 5 and nq > 5; the approximation is better if they are both greater than or equal to 10). Then the binomial can be approximated by the normal distribution with mean μ = np and standard deviation σ =

\sqrt{n p q}

. Remember that q = 1 – p. In order to get the best approximation, add 0.5 to x or subtract 0.5 from x (use x + 0.5 or x – 0.5). The number 0.5 is called the continuity correction factor and is used in the following example.

英語のヒント

Xが二項確率変数ならX ~ B(n, p)であることを思い出そう。二項分布の形は、正規分布の形に似ている必要がある。そのためにはnpとnqの両方が5より大きくなければならない（np > 5かつnq > 5。両方が10以上なら、近似はよりよくなる）。このとき、二項分布は平均μ = np、標準偏差σ =

\sqrt{n p q}

の正規分布で近似できる。q = 1 − pであることを忘れないようにする。最もよい近似を得るには、xに0.5を足すか、xから0.5を引く（x + 0.5またはx − 0.5を使う）。この0.5という数は連続性補正係数と呼ばれ、次の例で用いる。

Example 7.12例題 7.12

Suppose in a local Kindergarten through 12^th grade (K - 12) school district, 53 percent of the population favor a charter school for grades K through 5. A simple random sample of 300 is surveyed.

英語のヒント

ある地域の幼稚園から第12学年まで（K–12）の学区で、住民の53%が、幼稚園から第5学年までのチャータースクールを支持しているとする。300人の単純無作為標本を調査する。

Find the probability that at least 150 favor a charter school.
少なくとも150人がチャータースクールを支持する確率を求める。
Find the probability that at most 160 favor a charter school.
チャータースクールを支持する人が160人以下となる確率を求める。
Find the probability that more than 155 favor a charter school.
チャータースクールを支持する人が155人を超える確率を求める。
Find the probability that fewer than 147 favor a charter school.
チャータースクールを支持する人が147人未満となる確率を求める。
Find the probability that exactly 175 favor a charter school.
ちょうど175人がチャータースクールを支持する確率を求める。

Let X = the number that favor a charter school for grades K trough 5. X ~ B(n, p) where n = 300 and p = 0.53. Since np > 5 and nq > 5, use the normal approximation to the binomial. The formulas for the mean and standard deviation are μ = np and σ =

\sqrt{n p q}

. The mean is 159 and the standard deviation is 8.6447. The random variable for the normal distribution is Y. Y ~ N(159, 8.6447). See The Normal Distribution for help with calculator instructions.

X = 幼稚園から第5学年までのチャータースクールを支持する人数とする。X ~ B(n, p)であり、n = 300、p = 0.53である。np > 5かつnq > 5なので、二項分布の正規近似を使う。平均と標準偏差の公式はμ = np、σ =

\sqrt{n p q}

である。平均は159、標準偏差は8.6447である。正規分布の確率変数をYとする。Y ~ N(159, 8.6447)。計算機の操作方法については「正規分布」を参照する。

For part a, you include 150 so P(X ≥ 150) has normal approximation P(Y ≥ 149.5) = 0.8641.

aでは150を含めるので、P(X ≥ 150)の正規近似はP(Y ≥ 149.5) = 0.8641となる。

normalcdf(149.5,10^99,159,8.6447) = 0.8641.

normalcdf(149.5,10^99,159,8.6447) = 0.8641。

For part b, you include 160 so P(X ≤ 160) has normal appraximation P(Y ≤ 160.5) = 0.5689.

bでは160を含めるので、P(X ≤ 160)の正規近似はP(Y ≤ 160.5) = 0.5689となる。

normalcdf(0,160.5,159,8.6447) = 0.5689

For part c, you exclude 155 so P(X > 155) has normal approximation P(y > 155.5) = 0.6572.

英語のヒント

cでは155を含めないので、P(X > 155)の正規近似はP(y > 155.5) = 0.6572となる。

normalcdf(155.5,10^99,159,8.6447) = 0.6572.

normalcdf(155.5,10^99,159,8.6447) = 0.6572。

For part d, you exclude 147 so P(X < 147) has normal approximation P(Y < 146.5) = 0.0741.

dでは147を含めないので、P(X < 147)の正規近似はP(Y < 146.5) = 0.0741となる。

normalcdf(0,146.5,159,8.6447) = 0.0741

For part e,P(X = 175) has normal approximation P(174.5 < Y < 175.5) = 0.0083.

eでは、P(X = 175)の正規近似はP(174.5 < Y < 175.5) = 0.0083となる。

normalcdf(174.5,175.5,159,8.6447) = 0.0083

Because of calculators and computer software that let you calculate binomial probabilities for large values of n easily, it is not necessary to use the the normal approximation to the binomial distribution, provided that you have access to these technology tools. Most school labs have Microsoft Excel, an example of computer software that calculates binomial probabilities. Many students have access to the TI-83 or 84 series calculators, and they easily calculate probabilities for the binomial distribution. If you type in "binomial probability distribution calculation" in an Internet browser, you can find at least one online calculator for the binomial.

英語のヒント

大きなnの二項確率を簡単に計算できる計算機やコンピューターソフトウェアがあるので、そうした技術的な道具を利用できるなら、二項分布の正規近似を使う必要はない。多くの学校の実習室にはMicrosoft Excelがあり、これも二項確率を計算できるソフトウェアの1つである。多くの学生はTI-83または84シリーズの計算機を利用でき、これらを使えば二項分布の確率を簡単に求められる。インターネットのブラウザーに「binomial probability distribution calculation」と入力すれば、少なくとも1つは二項分布を計算するオンライン計算機が見つかる。

For Example 7.12, the probabilities are calculated using the following binomial distribution: (n = 300 and p = 0.53). Compare the binomial and normal distribution answers. See Discrete Random Variables for help with calculator instructions for the binomial.

例7.12の確率は、次の二項分布を使って求められる：n = 300、p = 0.53。二項分布と正規分布による答えを比較する。二項分布の計算機操作については「離散確率変数」を参照する。

P(X ≥ 150) :1 - binomialcdf(300,0.53,149) = 0.8641

P(X ≥ 150)：1 − binomialcdf(300,0.53,149) = 0.8641

P(X ≤ 160) :binomialcdf(300,0.53,160) = 0.5684

P(X ≤ 160)：binomialcdf(300,0.53,160) = 0.5684

P(X > 155) :1 - binomialcdf(300,0.53,155) = 0.6576

P(X > 155)：1 − binomialcdf(300,0.53,155) = 0.6576

P(X < 147) :binomialcdf(300,0.53,146) = 0.0742

P(X < 147)：binomialcdf(300,0.53,146) = 0.0742

P(X = 175) :(You use the binomial pdf.)binomialpdf(300,0.53,175) = 0.0083

P(X = 175)：二項分布のpdfを使う。binomialpdf(300,0.53,175) = 0.0083

第7章中心極限定理

7.3 Using the Central Limit Theorem7.3 中心極限定理の利用

Examples of the Central Limit Theorem中心極限定理の例

Law of Large Numbers大数の法則

Central Limit Theorem for the Mean and Sum Examples平均と和に対する中心極限定理の例

Using the clt to find probability中心極限定理を使って確率を求める

Using the clt to find percentiles中心極限定理を使ってパーセンタイルを求める

7.3 Using the Central Limit Theorem7.3　中心極限定理の利用