第7章中心極限定理

7.1 The Central Limit Theorem for Sample Means (Averages)7.1　標本平均に対する中心極限定理

Suppose X is a random variable with a distribution that may be known or unknown (it can be any distribution). Using a subscript that matches the random variable, suppose:

英語のヒント

Xを、既知または未知の分布に従う確率変数とする（どのような分布でもよい）。確率変数に対応する添字を使い、次のように定める：

μ_X = the mean of X
μ_X = Xの平均
σ_X = the standard deviation of X
σ_X = Xの標準偏差

If you draw random samples of size n, then as n increases, the random variable

\bar{x}

which consists of sample means, tends to be normally distributed and

大きさnの無作為標本を抽出すると、nが大きくなるにつれて、標本平均からなる確率変数

\bar{x}

は正規分布に近づき、次の関係が成り立つ。

\bar{X} ~ N (μ_{x}, \frac{σ_{X}}{\sqrt{n}})

The central limit theorem for sample means says that if you repeatedly draw samples of a given size (such as repeatedly rolling ten dice) and calculate their means, those means tend to follow a normal distribution (the sampling distribution). As sample sizes increase, the distribution of means more closely follows the normal distribution. The normal distribution has the same mean as the original distribution and a variance that equals the original variance divided by the sample size. Standard deviation is the square root of variance, so the standard deviation of the sampling distribution is the standard deviation of the original distribution divided by the square root of n. The variable n is the number of values that are averaged together, not the number of times the experiment is done.

英語のヒント

標本平均に対する中心極限定理は、決まった大きさの標本を繰り返し抽出し（たとえば10個のサイコロを繰り返し振り）、それぞれの平均を求めると、その平均は正規分布（標本分布）に従う傾向がある、というものである。標本の大きさが増すと、平均の分布は正規分布にいっそう近づく。この正規分布の平均は元の分布の平均と同じで、分散は元の分散を標本の大きさで割ったものに等しい。標準偏差は分散の平方根なので、標本分布の標準偏差は、元の分布の標準偏差をnの平方根で割ったものになる。変数nは、平均を取る値の個数であり、実験を行う回数ではない。

To put it more formally, if you draw random samples of size n, the distribution of the random variable

\bar{X}

, which consists of sample means, is called the sampling distribution of the mean. The sampling distribution of the mean approaches a normal distribution as n, the sample size, increases.

英語のヒント

より形式的に述べると、大きさnの無作為標本を抽出したとき、標本平均からなる確率変数

\bar{X}

の分布を、平均の標本分布という。標本の大きさnが増すにつれて、平均の標本分布は正規分布に近づく。

The random variable

\bar{X}

has a different z-score associated with it from that of the random variable X. The mean

\bar{x}

is the value of

\bar{X}

in one sample.

英語のヒント

確率変数

\bar{X}

に対応するzスコアは、確率変数Xのzスコアとは異なる。平均

\bar{x}

は、ある1つの標本における

\bar{X}

の値である。

z = \frac{\bar{x} - μ_{x}}{(\frac{σ_{X}}{\sqrt{n}})}

μ_X is the average of both X and

\bar{X}

μ_XはXと

\bar{X}

の両方の平均である。

σ_{x} = \frac{σ_{X}}{\sqrt{n}} =

standard deviation of

\bar{X}

and is called the standard error of the mean.

英語のヒント

σ_{x} = \frac{σ_{X}}{\sqrt{n}} =

\bar{X}

の標準偏差であり、平均の標準誤差と呼ばれる。

Using the Calculator電卓の操作

Example 7.1例題 7.1

An unknown distribution has a mean of 90 and a standard deviation of 15. Samples of size n = 25 are drawn randomly from the population.

未知の分布の平均が90、標準偏差が15である。この母集団から大きさn = 25の標本を無作為に抽出する。

a. Find the probability that the sample mean is between 85 and 92.

英語のヒント

a. 標本平均が85から92の間にある確率を求める。

Solution解き方

a. Let X = one value from the original unknown population. The probability question asks you to find a probability for the sample mean.

a. X = 元の未知の母集団から得られる1つの値とする。この確率の問題では、標本平均についての確率を求める。

Let

\bar{x}

= the mean of a sample of size 25. Since μ_X = 90, σ_X = 15, and n = 25,

\bar{x}

= 大きさ25の標本の平均とする。μ_X = 90、σ_X = 15、n = 25なので、

\bar{x}

~ N

(90, \frac{15}{\sqrt{25}})

Find P(85 <

\bar{x}

< 92). Draw a graph.

P(85 <

\bar{x}

< 92)を求める。グラフを描く。

P(85 <

\bar{x}

< 92) = 0.6997

The probability that the sample mean is between 85 and 92 is 0.6997.

標本平均が85から92の間にある確率は0.6997である。

正規分布曲線。曲線の頂点は横軸の90の位置に対応する。軸上に85と92の点が示され、それぞれから曲線まで垂直線が引かれている。2本の線の間が塗られ、85 < x < 92となる確率を表している。 — Figure 7.2図 7.2

Using the Calculator電卓の操作

b. Find the value that is two standard deviations above the expected value, 90, of the sample mean.

b. 標本平均の期待値90より、標準偏差2個分だけ上にある値を求める。

Solution解き方

b. To find the value that is two standard deviations above the expected value 90, use the formula:

b. 期待値90より標準偏差2個分だけ上にある値を求めるには、次の公式を使う：

value = μ_x + (#ofTSDEVs)

(\frac{σ_{x}}{\sqrt{n}})

値 = μ_x +（標準偏差の個数）

(\frac{σ_{x}}{\sqrt{n}})

value = 90 + 2

(\frac{15}{\sqrt{25}})

= 96

値 = 90 + 2

(\frac{15}{\sqrt{25}})

= 96

The value that is two standard deviations above the expected value is 96.

期待値より標準偏差2個分だけ上にある値は96である。

The standard error of the mean is

\frac{σ_{x}}{\sqrt{n}}

\frac{15}{\sqrt{25}}

= 3. Recall that the standard error of the mean is a description of how far (on average) that the sample mean will be from the population mean in repeated simple random samples of size n.

英語のヒント

平均の標準誤差は

\frac{σ_{x}}{\sqrt{n}}

\frac{15}{\sqrt{25}}

= 3である。平均の標準誤差は、大きさnの単純無作為標本を繰り返し抽出したとき、標本平均が母平均から平均的にどれほど離れるかを表すものであることを思い出そう。

Example 7.2例題 7.2

The length of time, in hours, it takes an "over 40" group of people to play one soccer match is normally distributed with a mean of two hours and a standard deviation of 0.5 hours. A sample of size n = 50 is drawn randomly from the population. Find the probability that the sample mean is between 1.8 hours and 2.3 hours.

「40歳超」の人々のグループがサッカーを1試合するのにかかる時間は、平均2時間、標準偏差0.5時間の正規分布に従う。この母集団から大きさn = 50の標本を無作為に抽出する。標本平均が1.8時間から2.3時間の間にある確率を求める。

Solution解き方

Let X = the time, in hours, it takes to play one soccer match.

X = サッカーを1試合するのにかかる時間（時間単位）とする。

The probability question asks you to find a probability for the sample mean time, in hours, it takes to play one soccer match.

この問題では、サッカーを1試合するのにかかる時間（時間単位）の標本平均について、確率を求める。

Let

\bar{x}

= the mean time, in hours, it takes to play one soccer match.

\bar{x}

= サッカーを1試合するのにかかる平均時間（時間単位）とする。

If μ_X = _________, σ_X = __________, and n = ___________, then

\bar{X}

~ N(______, ______) by the central limit theorem for means.

μ_X = _________、σ_X = __________、n = ___________なら、平均に対する中心極限定理により、

\bar{X}

~ N(______, ______)となる。

μ_X = 2, σ_X = 0.5, n = 50, and X ~ N

(2, \frac{0.5}{\sqrt{50}})

μ_X = 2、σ_X = 0.5、n = 50、X ~ N

(2, \frac{0.5}{\sqrt{50}})

Find P(1.8 <

\bar{x}

< 2.3). Draw a graph.

P(1.8 <

\bar{x}

< 2.3)を求める。グラフを描く。

P(1.8 <

\bar{x}

< 2.3) = 0.9977

normalcdf

(1. 8,2 .3,2, \frac{.5}{\sqrt{50}})

= 0.9977

The probability that the mean time is between 1.8 hours and 2.3 hours is 0.9977.

平均時間が1.8時間から2.3時間の間にある確率は0.9977である。

Using the Calculator電卓の操作

Example 7.3例題 7.3

In a recent study, it was reported that the mean age of iPad users is 34 years. Suppose the standard deviation is 15 years. Take a sample of size n = 100.

最近の研究で、iPad利用者の平均年齢は34歳と報告された。標準偏差を15歳とする。大きさn = 100の標本を取る。

What are the mean and standard deviation for the sample mean ages of iPad users?
iPad利用者の年齢の標本平均について、平均と標準偏差はいくつか。
What does the distribution look like?
分布はどのような形になるか。
Find the probability that the sample mean age is more than 30 years (the reported mean age of iPad users in this particular study).
年齢の標本平均が30歳（この研究で報告されたiPad利用者の平均年齢）を超える確率を求める。
Find the 95^th percentile for the sample mean age (to one decimal place).
年齢の標本平均の第95パーセンタイルを、小数第1位まで求める。

Solution解き方

Since the sample mean tends to target the population mean, we have μ_χ = μ = 34. The sample standard deviation is given by σ_χ = $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ = $\frac{15}{\sqrt{100}}$ = $\frac{15}{10}$ = 1.5
標本平均は母平均を中心とする傾向があるので、μ_χ = μ = 34となる。標本の標準偏差は、σ_χ = $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ = $\frac{15}{\sqrt{100}}$ = $\frac{15}{10}$ = 1.5で与えられる。
The central limit theorem states that for large sample sizes(n), the sampling distribution will be approximately normal.
中心極限定理によると、標本の大きさnが大きいと、標本分布は近似的に正規分布になる。
The probability that the sample mean age is more than 30 is given by $P (\bar{X} > 30)$ = normalcdf(30,E99,34,1.5) = 0.9962
年齢の標本平均が30歳を超える確率は、 $P (\bar{X} > 30)$ = normalcdf(30,E99,34,1.5) = 0.9962で与えられる。
Let k = the 95^th percentile.
k = invNorm $(0. 95,34, \frac{15}{\sqrt{100}})$ = 36.5
k = 第95パーセンタイルとする。k = invNorm $(0. 95,34, \frac{15}{\sqrt{100}})$ = 36.5

Try Itやってみよう

In an article on Flurry Blog, a gaming marketing gap for men between the ages of 30 and 40 is identified. You are researching a startup game targeted at the 35-year-old demographic. Your idea is to develop a strategy game that can be played by men from their late 20s through their late 30s. Based on the article’s data, industry research shows that the average strategy player is 28 years old with a standard deviation of 4.8 years. You take a sample of 100 randomly selected gamers. If your target market is 29- to 35-year-olds, should you continue with your development strategy?

英語のヒント

Flurry Blogの記事は、30歳から40歳の男性向けゲームの市場に空白があると指摘している。あなたは35歳の層を対象とする新規ゲームについて調べている。20代後半から30代後半の男性が遊べる戦略ゲームを開発するという構想である。記事のデータに基づく業界調査によると、戦略ゲームのプレイヤーの平均年齢は28歳、標準偏差は4.8歳である。無作為に選んだ100人のゲーム利用者を標本とする。狙う市場が29歳から35歳の人々なら、この開発戦略を続けるべきか。

Example 7.4例題 7.4

The mean number of minutes for app engagement by an iPad user is 8.2 minutes. Suppose the standard deviation is one minute. Take a sample of 60.

英語のヒント

iPad利用者のアプリ利用時間の平均は8.2分である。標準偏差を1分とする。大きさ60の標本を取る。

What are the mean and standard deviation for the sample mean number of minutes for app engagement by an iPad user?
iPad利用者のアプリ利用時間の標本平均について、平均と標準偏差はいくつか。
What is the standard error of the mean?
平均の標準誤差はいくつか。
Find the 90^th percentile for the sample mean time of minutes for app engagement by an iPad user. Interpret this value in a complete sentence.
iPad利用者のアプリ利用時間の標本平均について、第90パーセンタイルを求める。この値の意味を完全な文で説明する。
Find the probability that the sample mean is between eight minutes and 8.5 minutes.
標本平均が8分から8.5分の間にある確率を求める。

Solution解き方

$μ_{\bar{x}} = μ = 8.2 σ_{\bar{x}} = \frac{σ}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{60}} = 0.13$
This allows us to calculate the probability of sample means of a particular distance from the mean, in repeated samples of size 60.
英語のヒント
これにより、大きさ60の標本を繰り返し取るとき、標本平均が平均からある距離にある確率を求められる。
Let k = the 90^th percentile
k = invNorm $(0. 90,8 .2, \frac{1}{\sqrt{60}})$ = 8.37. This values indicates that 90 percent of the average app engagement time for iPad users is less than 8.37 minutes.
k = 第90パーセンタイルとする。k = invNorm $(0. 90,8 .2, \frac{1}{\sqrt{60}})$ = 8.37。この値は、iPad利用者の平均アプリ利用時間の90%が8.37分未満であることを示す。
P(8 < $\bar{x}$ < 8.5) = normalcdf $(8,8 .5,8 .2, \frac{1}{\sqrt{60}})$ = 0.9293

Try Itやってみよう

Cans of a cola beverage claim to contain 16 ounces. The amounts in a sample are measured and the statistics are n = 34,

\bar{x}

= 16.01 ounces. If the cans are filled so that μ = 16.00 ounces (as labeled) and σ = 0.143 ounces, find the probability that a sample of 34 cans will have an average amount greater than 16.01 ounces. Do the results suggest that cans are filled with an amount greater than 16 ounces?

英語のヒント

あるコーラ飲料の缶には、内容量16オンスと表示されている。標本の内容量を測定したところ、統計量はn = 34、

\bar{x}

= 16.01オンスであった。缶に詰められる量が表示どおりμ = 16.00オンス、σ = 0.143オンスなら、34缶の標本の平均内容量が16.01オンスを超える確率を求める。この結果は、缶に16オンスを超える量が詰められていることを示唆するか。

第7章中心極限定理

7.1 The Central Limit Theorem for Sample Means (Averages)7.1 標本平均に対する中心極限定理

7.1 The Central Limit Theorem for Sample Means (Averages)7.1　標本平均に対する中心極限定理