第7章中心極限定理

7.2 The Central Limit Theorem for Sums7.2　和に対する中心極限定理

1. μ_X = the mean of Χ

   μ_X = Χの平均
2. σ_Χ = the standard deviation of X

   σ_Χ = Xの標準偏差

1. Σx is one sum.

   Σxは1つの和である。
2. $z\text{=}\frac{\Sigma x–(n)({\mu }_X)}{(\sqrt{n})({\sigma }_X)}$
   1. (n)(μ_X) = the mean of ΣX

      (n)(μ_X) = ΣXの平均
   2. $(\sqrt{n})({\sigma }_X)$ = standard deviation of $\Sigma X$

      $(\sqrt{n})({\sigma }_X)$ = $\Sigma X$の標準偏差

Example 7.5例題 7.5

An unknown distribution has a mean of 90 and a standard deviation of 15. A sample of size 80 is drawn randomly from the population.

未知の分布の平均が90、標準偏差が15である。この母集団から大きさ80の標本を無作為に抽出する。

1. Find the probability that the sum of the 80 values (or the total of the 80 values) is more than 7,500.

   80個の値の和（80個の値の合計）が7,500を超える確率を求める。
2. Find the sum that is 1.5 standard deviations above the mean of the sums.

   和の平均より標準偏差1.5個分だけ上にある和を求める。

Solution解き方

Let X = one value from the original unknown population. The probability question asks you to find a probability for the sum (or total of) 80 values.

X = 元の未知の母集団から得られる1つの値とする。この問題では、80個の値の和（合計）についての確率を求める。

ΣX = the sum or total of 80 values. Since μ_X = 90, σ_X = 15, and n = 80, $\Sigma X$ ~ N((80)(90),
($\sqrt{\text{80}}$)(15))

ΣX = 80個の値の和、すなわち合計。μ_X = 90、σ_X = 15、n = 80なので、$\Sigma X$ ~ N((80)(90), ($\sqrt{\text{80}}$)(15))となる。

• mean of the sums = (n)(μ_X) = (80)(90) = 7,200

  和の平均 = (n)(μ_X) = (80)(90) = 7,200
• standard deviation of the sums = $\text{(}\sqrt{n}\text{)(}{\sigma }_X\text{) = (}\sqrt{\text{80}}\text{)}$(15)

  和の標準偏差 = $\text{(}\sqrt{n}\text{)(}{\sigma }_X\text{) = (}\sqrt{\text{80}}\text{)}$(15)
• sum of 80 values = Σx = 7,500
  

  80個の値の和 = Σx = 7,500

a. Find P(Σx > 7,500)

a. P(Σx > 7,500)を求める。

P(Σx > 7,500) = 0.0127

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Using the Calculator電卓の操作

b. Find Σx where z = 1.5.

b. z = 1.5となるΣxを求める。

Σx = (n)(μ_X) + (z)$\left(\sqrt{n}\right)$(σ_Χ) = (80)(90) + (1.5)($\sqrt{80}$)(15) = 7,401.2