第7章中心極限定理

References参考文献

Farago, Peter. “The Truth About Cats and Dogs: Smartphone vs Tablet Usage Differences.” The Flurry Blog, 2013. Posted October 29, 2012. Available online at http://blog.flurry.com (accessed May 17, 2013).

Farago, Peter「猫と犬の真実：スマートフォンとタブレットの利用の違い」The Flurry Blog、2013年。2012年10月29日投稿。オンライン掲載：http://blog.flurry.com（2013年5月17日閲覧）。

Chapter Review章の復習

The central limit theorem tells us that for a population with any distribution, the distribution of the sums for the sample means approaches a normal distribution as the sample size increases. In other words, if the sample size is large enough, the distribution of the sums can be approximated by a normal distribution even if the original population is not normally distributed. Additionally, if the original population has a mean of μ_X and a standard deviation of σ_x, the mean of the sums is nμ_x and the standard deviation is

(\sqrt{n})

(σ_x) where n is the sample size.

中心極限定理によると、母集団がどのような分布であっても、標本の大きさが増すにつれて、標本平均に対する和の分布は正規分布に近づく。言い換えると、標本の大きさが十分大きければ、元の母集団が正規分布に従わなくても、和の分布を正規分布で近似できる。さらに、元の母集団の平均がμ_X、標準偏差がσ_xなら、和の平均はnμ_x、標準偏差は

(\sqrt{n})

(σ_x)となる。ここでnは標本の大きさである。

Formula Review公式の復習

The Central Limit Theorem for Sums: ∑X ~ N[(n)(μ_x),(

\sqrt{n}

)(σ_x)]

和に対する中心極限定理：∑X ~ N[(n)(μ_x),(

\sqrt{n}

)(σ_x)]

Mean for Sums (∑X): (n)(μ_x)

和（∑X）の平均：(n)(μ_x)

The Central Limit Theorem for Sums z-score and standard deviation for sums:

z for the sample mean = \frac{Σ x - (n) (μ_{X})}{(\sqrt{n}) (σ_{X})}

和に対する中心極限定理におけるzスコアと和の標準偏差：

z （標本平均について）= \frac{Σ x - (n) (μ_{X})}{(\sqrt{n}) (σ_{X})}

Standard deviation for Sums (∑X):

(\sqrt{n})

(σ_x)

和（∑X）の標準偏差：

(\sqrt{n})

(σ_x)

Exercises 18–21練習問題 18–21

Use the following information to answer the next four exercises: An unknown distribution has a mean of 80 and a standard deviation of 12. A sample size of 95 is drawn randomly from the population.

次の情報を使い、続く4問に答える。未知の分布の平均が80、標準偏差が12である。この母集団から大きさ95の標本を無作為に抽出する。

Exercise 18問題 18

Find the probability that the sum of the 95 values is greater than 7,650.

95個の値の和が7,650を超える確率を求める。

Solution解き方

0.3345

Exercise 19問題 19

Find the probability that the sum of the 95 values is less than 7,400.

95個の値の和が7,400未満となる確率を求める。

Exercise 20問題 20

Find the sum that is two standard deviations above the mean of the sums.

和の平均より標準偏差2個分だけ上にある和を求める。

Solution解き方

7,833.92

Exercise 21問題 21

Find the sum that is 1.5 standard deviations below the mean of the sums.

和の平均より標準偏差1.5個分だけ下にある和を求める。

Exercises 22–26練習問題 22–26

Use the following information to answer the next five exercises: The distribution of results from a cholesterol test has a mean of 180 and a standard deviation of 20. A sample size of 40 is drawn randomly.

英語のヒント

次の情報を使い、続く5問に答える。コレステロール検査の結果の分布は、平均180、標準偏差20である。大きさ40の標本を無作為に抽出する。

Exercise 22問題 22

Find the probability that the sum of the 40 values is greater than 7,500.

40個の値の和が7,500を超える確率を求める。

Solution解き方

0.0089

Exercise 23問題 23

Find the probability that the sum of the 40 values is less than 7,000.

40個の値の和が7,000未満となる確率を求める。

Exercise 24問題 24

Find the sum that is one standard deviation above the mean of the sums.

和の平均より標準偏差1個分だけ上にある和を求める。

Solution解き方

7,326.49

Exercise 25問題 25

Find the sum that is 1.5 standard deviations below the mean of the sums.

和の平均より標準偏差1.5個分だけ下にある和を求める。

Exercise 26問題 26

Find the percentage of sums between 1.5 standard deviations below the mean of the sums and one standard deviation above the mean of the sums.

和の平均より標準偏差1.5個分だけ下の値から、和の平均より標準偏差1個分だけ上の値までの間に入る和の割合（%）を求める。

Solution解き方

77.45%

Exercises 27–32練習問題 27–32

Use the following information to answer the next six exercises: A researcher measures the amount of sugar in several cans of the same soda. The mean is 39.01 with a standard deviation of 0.5. The researcher randomly selects a sample of 100.

次の情報を使い、続く6問に答える。ある研究者が、同じ炭酸飲料の複数の缶に含まれる糖分量を測定する。平均は39.01、標準偏差は0.5である。研究者は大きさ100の標本を無作為に選ぶ。

Exercise 27問題 27

Find the probability that the sum of the 100 values is greater than 3,910.

100個の値の和が3,910を超える確率を求める。

Exercise 28問題 28

Find the probability that the sum of the 100 values is less than 3,900.

100個の値の和が3,900未満となる確率を求める。

Solution解き方

0.4207

Exercise 29問題 29

Find the probability that the sum of the 100 values falls between the numbers you found in Exercise 27 and Exercise 28.

100個の値の和が、練習問題27と練習問題28で求めた数値の間に入る確率を求める。

Exercise 30問題 30

Find the sum with a z–score of –2.5.

zスコアが−2.5となる和を求める。

Solution解き方

3,888.5

Exercise 31問題 31

Find the sum with a z–score of 0.5.

zスコアが0.5となる和を求める。

Exercise 32問題 32

Find the probability that the sums will fall between the z-scores –2 and 1.

和がzスコア−2から1に対応する値の間に入る確率を求める。

Solution解き方

0.8186

Exercises 33–41練習問題 33–41

Use the following information to answer the next four exercises: An unknown distribution has a mean 12 and a standard deviation of one. A sample size of 25 is taken. Let X = the object of interest.

次の情報を使い、続く4問に答える。未知の分布の平均が12、標準偏差が1である。大きさ25の標本を取る。X = 関心の対象とする。

Exercise 33問題 33

What is the mean of ΣX?

ΣXの平均はいくつか。

Exercise 34問題 34

What is the standard deviation of ΣX?

ΣXの標準偏差はいくつか。

Solution解き方

Exercise 35問題 35

What is P(Σx = 290)?

P(Σx = 290)はいくつか。

Exercise 36問題 36

What is P(Σx > 290)?

P(Σx > 290)はいくつか。

Solution解き方

0.9772

Exercise 37問題 37

True or False: only the sums of normal distributions are also normal distributions.

正誤を判定する：和も正規分布となるのは、元が正規分布の場合に限られる。

Exercise 38問題 38

In order for the sums of a distribution to approach a normal distribution, what must be true?

ある分布から得られる和が正規分布に近づくには、どのような条件が成り立たなければならないか。

Solution解き方

The sample size, n, gets larger.

標本の大きさnが大きくなる。

Exercise 39問題 39

What three things must you know about a distribution to find the probability of sums?

和についての確率を求めるには、分布についてどの3つのことを知っていなければならないか。

Exercise 40問題 40

An unknown distribution has a mean of 25 and a standard deviation of six. Let X = one object from this distribution. What is the sample size if the standard deviation of ΣX is 42?

未知の分布の平均が25、標準偏差が6である。X = この分布から得られる1つの対象とする。ΣXの標準偏差が42であるとき、標本の大きさはいくつか。

Solution解き方

Exercise 41問題 41

An unknown distribution has a mean of 19 and a standard deviation of 20. Let X = the object of interest. What is the sample size if the mean of ΣX is 15,200?

未知の分布の平均が19、標準偏差が20である。X = 関心の対象とする。ΣXの平均が15,200であるとき、標本の大きさはいくつか。

Exercises 42–44練習問題 42–44

Use the following information to answer the next three exercises. A market researcher analyzes how many electronics devices customers buy in a single purchase. The distribution has a mean of three with a standard deviation of 0.7. They sample 400 customers.

英語のヒント

次の情報を使い、続く3問に答える。ある市場調査者が、顧客が1回の購入で何台の電子機器を買うかを分析する。その分布の平均は3、標準偏差は0.7である。顧客400人を標本にする。

Exercise 42問題 42

What is the z-score for Σx = 840?

Σx = 840のとき、zスコアはいくつか。

Solution解き方

26.00

Exercise 43問題 43

What is the z-score for Σx = 1,186?

Σx = 1,186のとき、zスコアはいくつか。

Exercise 44問題 44

What is P(Σx < 1,186)?

P(Σx < 1,186)はいくつか。

Solution解き方

0.1587

Exercises 45–47練習問題 45–47

Use the following information to answer the next three exercises: An unknown distribution has a mean of 100, a standard deviation of 100, and a sample size of 100. Let X = one object of interest.

次の情報を使い、続く3問に答える。未知の分布の平均が100、標準偏差が100であり、標本の大きさは100である。X = 関心のある1つの対象とする。

Exercise 45問題 45

What is the mean of ΣX?

ΣXの平均はいくつか。

Exercise 46問題 46

What is the standard deviation of ΣX?

ΣXの標準偏差はいくつか。

Solution解き方

1,000

Exercise 47問題 47

What is P(Σx > 9,000)?

P(Σx > 9,000)はいくつか。