第4章微分の応用

4.10 Antiderivatives4.10　原始関数

Learning Objectives学習目標

Find the general antiderivative of a given function.
与えられた関数の原始関数の一般形を求める。
Explain the terms and notation used for an indefinite integral.
不定積分で使う用語と記法を説明する。
State the power rule for integrals.
べき関数の積分公式を述べる。
Use antidifferentiation to solve simple initial-value problems.
英語のヒント
原始関数を求めて、簡単な初期値問題を解く。

At this point, we have seen how to calculate derivatives of many functions and have been introduced to a variety of their applications. We now ask a question that turns this process around: Given a function

f,

how do we find a function with the derivative

f

and why would we be interested in such a function?

英語のヒント

ここまで、多くの関数の導関数の求め方と、そのさまざまな応用を学んできた。今度は、この過程を逆向きに考えよう。関数

f

が与えられたとき、導関数が

f

となる関数をどう求めればよいだろうか。また、なぜそのような関数を求めたいのだろうか。

We answer the first part of this question by defining antiderivatives. The antiderivative of a function

f

is a function with a derivative

f .

Why are we interested in antiderivatives? The need for antiderivatives arises in many situations, and we look at various examples throughout the remainder of the text. Here we examine one specific example that involves rectilinear motion. In our examination in Derivatives of rectilinear motion, we showed that given a position function

s (t)

of an object, then its velocity function

v (t)

is the derivative of

s (t)

—that is,

v (t) = s^{'} (t) .

Furthermore, the acceleration

a (t)

is the derivative of the velocity

v (t)

—that is,

a (t) = v^{'} (t) = s^{″} (t) .

Now suppose we are given an acceleration function

a,

but not the velocity function

v

or the position function

s .

Since

a (t) = v^{'} (t),

determining the velocity function requires us to find an antiderivative of the acceleration function. Then, since

v (t) = s^{'} (t),

determining the position function requires us to find an antiderivative of the velocity function. Rectilinear motion is just one case in which the need for antiderivatives arises. We will see many more examples throughout the remainder of the text. For now, let’s look at the terminology and notation for antiderivatives, and determine the antiderivatives for several types of functions. We examine various techniques for finding antiderivatives of more complicated functions later in the text (Introduction to Techniques of Integration).

英語のヒント

最初の問いには、原始関数を定義することで答えられる。関数

f

の原始関数とは、微分すると

f

になる関数である。原始関数が必要になる場面は数多くあり、本書の残りの部分でさまざまな例を扱う。ここでは直線運動を例にする。「導関数」で調べたように、物体の位置

s (t)

がわかれば、速度

v (t)

は

s (t)

の導関数、つまり

v (t) = s^{'} (t)

である。さらに、加速度

a (t)

は速度

v (t)

の導関数であり、

a (t) = v^{'} (t) = s^{″} (t)

となる。では、加速度の関数

a

だけが与えられ、速度

v

も位置

s

もわからない場合を考えよう。

a (t) = v^{'} (t)

なので、速度を求めるには加速度の原始関数を求めればよい。続いて、

v (t) = s^{'} (t)

なので、位置を求めるには速度の原始関数を求める。直線運動は、原始関数が必要になる例の1つにすぎない。まず用語と記法を確認し、いくつかの関数の原始関数を求めよう。より複雑な関数の原始関数を求める方法は、後の「積分法の導入」で扱う。

The Reverse of Differentiation微分を逆向きに考える

At this point, we know how to find derivatives of various functions. We now ask the opposite question. Given a function

f,

how can we find a function with derivative

f ?

If we can find a function

F

with derivative

f,

we call

F

an antiderivative of

f .

さまざまな関数を微分する方法は、すでにわかっている。今度は逆の問いを考える。関数

f

に対し、導関数が

f

となる関数をどう求めるか。導関数が

f

となる関数

F

が見つかれば、

F

を

f

の原始関数と呼ぶ。

Consider the function

f (x) = 2 x .

Knowing the power rule of differentiation, we conclude that

F (x) = x^{2}

is an antiderivative of

f

since

F^{'} (x) = 2 x .

Are there any other antiderivatives of

f ?

Yes; since the derivative of any constant

C

is zero,

x^{2} + C

is also an antiderivative of

2 x .

Therefore,

x^{2} + 5

and

x^{2} - \sqrt{2}

are also antiderivatives. Are there any others that are not of the form

x^{2} + C

for some constant

C ?

The answer is no. From Corollary

2

of the Mean Value Theorem, we know that if

F

and

G

are differentiable functions such that

F^{'} (x) = G^{'} (x),

then

F (x) - G (x) = C

for some constant

C .

This fact leads to the following important theorem.

英語のヒント

関数

f (x) = 2 x

を考える。べき関数の微分公式から

F^{'} (x) = 2 x

なので、

F (x) = x^{2}

は

f

の原始関数である。

f

の原始関数は、ほかにもあるだろうか。定数

C

の微分は0なので、

x^{2} + C

も

2 x

の原始関数になる。したがって、

x^{2} + 5

や

x^{2} - \sqrt{2}

も原始関数である。では、定数

C

を使った

x^{2} + C

という形以外にもあるだろうか。答えは「ない」。平均値の定理の系

2

によれば、同じ区間で微分可能な関数

F

と

G

が

F^{'} (x) = G^{'} (x)

を満たすなら、ある定数

C

に対して

F (x) - G (x) = C

が成り立つ。ここから、次の重要な定理を得る。

We use this fact and our knowledge of derivatives to find all the antiderivatives for several functions.

この事実と微分の知識を使い、いくつかの関数について原始関数をすべて求めよう。

Example 4.50例題 4.50

Finding Antiderivatives原始関数を求める

For each of the following functions, find all antiderivatives.

次の各関数の原始関数を、すべて求めよ。

$f (x) = 3 x^{2}$
$f (x) = 3 x^{2}$
$f (x) = \frac{1}{x}$
$f (x) = \frac{1}{x}$
$f (x) = cos x$
$f (x) = cos x$
$f (x) = e^{x}$
$f (x) = e^{x}$

Solution解き方

Because
次が成り立つので、

$\frac{d}{d x} (x^{3}) = 3 x^{2}$

then $F (x) = x^{3}$ is an antiderivative of $3 x^{2} .$ Therefore, every antiderivative of $3 x^{2}$ is of the form $x^{3} + C$ for some constant $C,$ and every function of the form $x^{3} + C$ is an antiderivative of $3 x^{2} .$
$F (x) = x^{3}$ は $3 x^{2}$ の原始関数である。したがって、 $3 x^{2}$ の原始関数はすべて、ある定数 $C$ によって $x^{3} + C$ と書ける。逆に、 $x^{3} + C$ という形の関数は、すべて $3 x^{2}$ の原始関数である。
Let $f (x) = ln | x | .$ For $x > 0, f (x) = ln (x)$ and
$f (x) = ln | x |$ とおく。 $x > 0$ $f (x) = ln (x)$ であり、

$\frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x} .$
$\frac{d}{d x} (ln x) = \frac{1}{x}$

For $x < 0, f (x) = ln (− x)$ and
$x < 0$ $f (x) = ln (− x)$ であり、

$\frac{d}{d x} (ln (− x)) = - \frac{1}{− x} = \frac{1}{x} .$
$\frac{d}{d x} (ln (− x)) = - \frac{1}{− x} = \frac{1}{x}$

Therefore,
したがって、

$\frac{d}{d x} (ln | x |) = \frac{1}{x} .$
$\frac{d}{d x} (ln | x |) = \frac{1}{x}$

Thus, $F (x) = ln | x |$ is an antiderivative of $\frac{1}{x} .$ Therefore, every antiderivative of $\frac{1}{x}$ is of the form $ln | x | + C$ for some constant $C$ and every function of the form $ln | x | + C$ is an antiderivative of $\frac{1}{x} .$
したがって、 $F (x) = ln | x |$ は $\frac{1}{x}$ の原始関数である。 $\frac{1}{x}$ の原始関数は、ある定数 $C$ を使って $ln | x | + C$ と書ける。逆に、 $ln | x | + C$ という形の関数は、 $\frac{1}{x}$ の原始関数である。なお、これは0を含まない区間ごとの記述であり、正の側と負の側では定数を別々に選べる。
We have
次が成り立つ。

$\frac{d}{d x} (sin x) = cos x,$
$\frac{d}{d x} (sin x) = cos x$

so $F (x) = sin x$ is an antiderivative of $cos x .$ Therefore, every antiderivative of $cos x$ is of the form $sin x + C$ for some constant $C$ and every function of the form $sin x + C$ is an antiderivative of $cos x .$
したがって、 $F (x) = sin x$ は $cos x$ の原始関数である。 $cos x$ の原始関数はすべて、ある定数 $C$ によって $sin x + C$ と書ける。逆に、 $sin x + C$ という形の関数は、すべて $cos x$ の原始関数である。
Since
次が成り立つので、

$\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x},$
$\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x}$

then $F (x) = e^{x}$ is an antiderivative of $e^{x} .$ Therefore, every antiderivative of $e^{x}$ is of the form $e^{x} + C$ for some constant $C$ and every function of the form $e^{x} + C$ is an antiderivative of $e^{x} .$
$F (x) = e^{x}$ は $e^{x}$ の原始関数である。したがって、 $e^{x}$ の原始関数はすべて、ある定数 $C$ によって $e^{x} + C$ と書ける。逆に、 $e^{x} + C$ という形の関数は、すべて $e^{x}$ の原始関数である。

第4章微分の応用

4.10 Antiderivatives4.10 原始関数

Learning Objectives学習目標

The Reverse of Differentiation微分を逆向きに考える

Finding Antiderivatives原始関数を求める

4.10 Antiderivatives4.10　原始関数