第4章微分の応用

4.2 Linear Approximations and Differentials4.2　線形近似と微分量

Learning Objectives学習目標

Describe the linear approximation to a function at a point.
ある点における関数の線形近似を説明する。
Write the linearization of a given function.
与えられた関数の線形化を式で表す。
Draw a graph that illustrates the use of differentials to approximate the change in a quantity.
微分量で量の変化を近似する様子が分かるグラフを描く。
Calculate the relative error and percentage error in using a differential approximation.
微分量による近似での相対誤差と百分率誤差を計算する。

We have just seen how derivatives allow us to compare related quantities that are changing over time. In this section, we examine another application of derivatives: the ability to approximate functions locally by linear functions. Linear functions are the easiest functions with which to work, so they provide a useful tool for approximating function values. In addition, the ideas presented in this section are generalized later in the text when we study how to approximate functions by higher-degree polynomials Introduction to Power Series and Functions.

英語のヒント

前の節では、時間とともに変化する関連した量を、微分を使って比較する方法を学んだ。この節では別の応用として、関数を一次関数で局所的に近似する方法を調べる。一次関数は最も扱いやすい関数なので、関数の値を近似する際の有用な道具になる。この節の考え方は、後に関数を高次の多項式で近似する方法を学ぶとき、さらに一般化される（「べき級数と関数の導入」参照）。

Linear Approximation of a Function at a Pointある点での関数の線形近似

Consider a function

f

that is differentiable at a point

x = a .

Recall that the tangent line to the graph of

f

a

is given by the equation

点

x = a

で微分可能な関数

f

を考える。

a

における

f

のグラフの接線は、次の式で与えられることを思い出そう。

y = f (a) + f' (a) (x - a) .

y = f (a) + f' (a) (x - a)

For example, consider the function

f (x) = \frac{1}{x}

a = 2 .

Since

f

is differentiable at

x = 2

and

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}},

we see that

f' (2) = - \frac{1}{4} .

Therefore, the tangent line to the graph of

f

a = 2

is given by the equation

例えば、関数

f (x) = \frac{1}{x}

を

a = 2

で考える。

f

は

x = 2

で微分可能で、

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

だから、

f' (2) = - \frac{1}{4}

となる。したがって、

a = 2

における

f

のグラフの接線は、次の式で与えられる。

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x - 2) .

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x - 2)

Figure 4.7(a) shows a graph of

f (x) = \frac{1}{x}

along with the tangent line to

f

x = 2 .

Note that for

x

near 2, the graph of the tangent line is close to the graph of

f .

As a result, we can use the equation of the tangent line to approximate

f (x)

for

x

near 2. For example, if

x = 2.1,

the

y

value of the corresponding point on the tangent line is

英語のヒント

図4.7(a)には、

f (x) = \frac{1}{x}

のグラフと、

x = 2

における

f

の接線を示している。

x

が2に近いところでは、接線のグラフも

f

のグラフに近いことに注目しよう。そのため、

x

が2に近ければ、接線の式を使って

f (x)

を近似できる。例えば

x = 2.1

なら、接線上の対応する点の

y

座標は、

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (2.1 - 2) = 0.475 .

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (2.1 - 2) = 0.475

The actual value of

f (2.1)

is given by

一方、

f (2.1)

の実際の値は、

f (2.1) = \frac{1}{2.1} \approx 0.47619 .

f (2.1) = \frac{1}{2.1} \approx 0.47619

Therefore, the tangent line gives us a fairly good approximation of

f (2.1)

(Figure 4.7(b)). However, note that for values of

x

far from 2, the equation of the tangent line does not give us a good approximation. For example, if

x = 10,

the

y

-value of the corresponding point on the tangent line is

英語のヒント

したがって、接線は

f (2.1)

のかなりよい近似を与える（図4.7(b)）。しかし、

x

が2から遠く離れると、接線の式はよい近似を与えなくなることに注意しよう。例えば

x = 10

なら、接線上の対応する点の

y

座標は、

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (10 - 2) = \frac{1}{2} - 2 = −1.5,

y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (10 - 2) = \frac{1}{2} - 2 = −1.5

whereas the value of the function at

x = 10

f (10) = 0.1 .

英語のヒント

これに対し、

x = 10

での関数の値は

f (10) = 0.1

である。

(a)と(b)の二つの図。(a)は関数f(x)=1/xのグラフと、x=2での接線。(b)は接点付近を拡大し、x=2の近くで接線がよい近似になることを示している。 — Figure 4.7図 4.7
(a) The tangent line to $f (x) = 1 / x$ at $x = 2$ provides a good approximation to $f$ for $x$ near 2. (b) At $x = 2.1,$ the value of $y$ on the tangent line to $f (x) = 1 / x$ is 0.475. The actual value of $f (2.1)$ is $1 / 2.1,$ which is approximately 0.47619.
(a) $f (x) = 1 / x$ の $x = 2$ における接線は、 $x$ が2に近いとき、 $f$ のよい近似を与える。(b) $x = 2.1$ のとき、 $f (x) = 1 / x$ の接線上の $y$ 座標は0.475である。実際の $f (2.1)$ の値は $1 / 2.1$ で、約0.47619である。

In general, for a differentiable function

f,

the equation of the tangent line to

f

x = a

can be used to approximate

f (x)

for

x

near

a .

Therefore, we can write

一般に、微分可能な関数

f

について、

x = a

での

f

の接線の式を使えば、

x

が

a

に近いところでの

f (x)

を近似できる。したがって、次のように書ける。

f (x) \approx f (a) + f' (a) (x - a) for x near a .

f (x) \approx f (a) + f' (a) (x - a) （ x が a に近いとき）

We call the linear function

次の一次関数を考えよう。

L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)

(4.1)

the linear approximation, or tangent line approximation, of

f

x = a .

This function

L

is also known as the linearization of

f

x = a .

英語のヒント

これを、

x = a

における

f

の線形近似、または接線近似と呼ぶ。この関数

L

は、

x = a

における

f

の線形化とも呼ばれる。

To show how useful the linear approximation can be, we look at how to find the linear approximation for

f (x) = \sqrt{x}

x = 9 .

線形近似の有用性を見るために、

x = 9

での

f (x) = \sqrt{x}

の線形近似を求めてみよう。

Example 4.5例題 4.5

Linear Approximation of $\sqrt{x}$ $\sqrt{x}$ の線形近似

Find the linear approximation of

f (x) = \sqrt{x}

x = 9

and use the approximation to estimate

\sqrt{9.1} .

x = 9

における

f (x) = \sqrt{x}

の線形近似を求め、それを使って

\sqrt{9.1}

の近似値を求めよ。

Solution解き方

Since we are looking for the linear approximation at

x = 9,

using Equation 4.1 we know the linear approximation is given by

x = 9

での線形近似を求めるので、式4.1を使うと、その近似は次のように表せる。

L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9) .

L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)

We need to find

f (9)

and

f' (9) .

f (9)

と

f' (9)

を求める必要がある。

\begin{matrix} f (x) = \sqrt{x} & \Rightarrow & f (9) = \sqrt{9} = 3 \\ f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} & \Rightarrow & f' (9) = \frac{1}{2 \sqrt{9}} = \frac{1}{6} \end{matrix}

Therefore, the linear approximation is given by Figure 4.8.

したがって、線形近似は次のようになる（図4.8）。

L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)

Using the linear approximation, we can estimate

\sqrt{9.1}

by writing

この線形近似を使うと、

\sqrt{9.1}

は次のように近似できる。

\sqrt{9.1} = f (9.1) \approx L (9.1) = 3 + \frac{1}{6} (9.1 - 9) \approx 3.0167 .

\sqrt{9.1} = f (9.1) \approx L (9.1) = 3 + \frac{1}{6} (9.1 - 9) \approx 3.0167

関数f(x)=√xのグラフと、点(9,3)での接線。図では、x=6からx=12までの範囲で接線がよい近似になっている様子が分かる。 — Figure 4.8図 4.8
The local linear approximation to $f (x) = \sqrt{x}$ at $x = 9$ provides an approximation to $f$ for $x$ near 9.
$x = 9$ における $f (x) = \sqrt{x}$ の局所的な線形近似は、 $x$ が9に近いところで $f$ を近似する。

Analysis結果を考える

Using a calculator, the value of

\sqrt{9.1}

to four decimal places is 3.0166. The value given by the linear approximation, 3.0167, is very close to the value obtained with a calculator, so it appears that using this linear approximation is a good way to estimate

\sqrt{x},

at least for

x

near

9 .

At the same time, it may seem odd to use a linear approximation when we can just push a few buttons on a calculator to evaluate

\sqrt{9.1} .

However, how does the calculator evaluate

\sqrt{9.1} ?

The calculator uses an approximation! In fact, calculators and computers use approximations all the time to evaluate mathematical expressions; they just use higher-degree approximations.

英語のヒント

電卓で求めた

\sqrt{9.1}

の値は、小数第4位までで3.0166である。線形近似の値3.0167は、電卓の値に非常に近い。したがって、少なくとも

x

が

9 .

に近いところでは、この線形近似は

\sqrt{x}

の近似値を求めるよい方法といえそうだ。一方、電卓のボタンをいくつか押すだけで

\sqrt{9.1}

を計算できるのに、線形近似を使うのは妙に思えるかもしれない。しかし、その電卓は

\sqrt{9.1}

をどのように計算しているのだろうか。電卓も近似を使っているのである。実際、電卓やコンピューターは数学的な式を計算するとき、常に近似を使っている。ただ、より高次の近似を用いているのだ。

Example 4.6例題 4.6

Linear Approximation of $sin x$ $sin x$ の線形近似

Find the linear approximation of

f (x) = sin x

x = \frac{π}{3}

and use it to approximate

sin (62 °) .

x = \frac{π}{3}

における

f (x) = sin x

の線形近似を求め、それを使って

sin (62 °)

の近似値を求めよ。

Solution解き方

First we note that since

\frac{π}{3}

rad is equivalent to

60 °,

using the linear approximation at

x = π / 3

seems reasonable. The linear approximation is given by

英語のヒント

まず、

\frac{π}{3}

radは

60 °

に等しいので、

x = π / 3

での線形近似を使うのは妥当だと分かる。その線形近似は、

L (x) = f (\frac{π}{3}) + f' (\frac{π}{3}) (x - \frac{π}{3}) .

L (x) = f (\frac{π}{3}) + f' (\frac{π}{3}) (x - \frac{π}{3})

We see that

次の値が得られる。

\begin{matrix} f (x) = sin x & \Rightarrow & f (\frac{π}{3}) = sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ f' (x) = cos x & \Rightarrow & f' (\frac{π}{3}) = cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \end{matrix}

Therefore, the linear approximation of

f

x = π / 3

is given by Figure 4.9.

したがって、

x = π / 3

における

f

の線形近似は、次のようになる（図4.9）。

L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})

To estimate

sin (62 °)

using

L,

we must first convert

62 °

to radians. We have

62 ° = \frac{62 π}{180}

radians, so the estimate for

sin (62 °)

is given by

英語のヒント

L

を使って

sin (62 °)

を近似するには、まず

62 °

をラジアンに換算する必要がある。

62 ° = \frac{62 π}{180}

ラジアンなので、

sin (62 °)

の近似値は次のようになる。

sin (62 °) = f (\frac{62 π}{180}) \approx L (\frac{62 π}{180}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (\frac{62 π}{180} - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{180}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{180} \approx 0.88348 .

sin (62 °) = f (\frac{62 π}{180}) \approx L (\frac{62 π}{180}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (\frac{62 π}{180} - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{180}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{180} \approx 0.88348

関数f(x)=sin xのグラフと、点(π/3,√3/2)での接線。xがπ/3に近いところで、接線がよい近似になっている様子が分かる。 — Figure 4.9図 4.9
The linear approximation to $f (x) = sin x$ at $x = π / 3$ provides an approximation to $sin x$ for $x$ near $π / 3 .$
$x = π / 3$ における $f (x) = sin x$ の線形近似は、 $x$ が $π / 3$ に近いところで $sin x$ を近似する。

Linear approximations may be used in estimating roots and powers. In the next example, we find the linear approximation for

f (x) = {(1 + x)}^{n}

x = 0,

which can be used to estimate roots and powers for real numbers near 1. The same idea can be extended to a function of the form

f (x) = {(m + x)}^{n}

to estimate roots and powers near a different number

m .

英語のヒント

線形近似は、累乗根や累乗の値を求めるのにも使える。次の例では、

x = 0

における

f (x) = {(1 + x)}^{n}

の線形近似を求める。これは、1に近い実数の累乗根や累乗を近似するために使える。同じ考え方を

f (x) = {(m + x)}^{n}

という形の関数に拡張すると、別の数

m

の近くで、累乗根や累乗を近似できる。

Example 4.7例題 4.7

Approximating Roots and Powers累乗根と累乗を近似する

Find the linear approximation of

f (x) = {(1 + x)}^{n}

x = 0 .

Use this approximation to estimate

{(1.01)}^{3} .

x = 0

における

f (x) = {(1 + x)}^{n}

の線形近似を求めよ。その近似を使って

{(1.01)}^{3}

の近似値を求めよ。

Solution解き方

The linear approximation at

x = 0

is given by

x = 0

における線形近似は、

L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0) .

L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)

Because

ここで、次の値を使う。

\begin{matrix} f (x) = {(1 + x)}^{n} & \Rightarrow & f (0) = 1 \\ f' (x) = n {(1 + x)}^{n - 1} & \Rightarrow & f' (0) = n, \end{matrix}

the linear approximation is given by Figure 4.10(a).

したがって、線形近似は次のようになる（図4.10(a)）。

L (x) = 1 + n (x - 0) = 1 + n x

We can approximate

{(1.01)}^{3}

by evaluating

L (0.01)

when

n = 3 .

We conclude that

n = 3

として

L (0.01)

を計算すれば、

{(1.01)}^{3}

を近似できる。したがって、

{(1.01)}^{3} = f (1.01) \approx L (0.01) = 1 + 3 (0.01) = 1.03 .

{(1.01)}^{3} = f (1.01) \approx L (0.01) = 1 + 3 (0.01) = 1.03

(a)と(b)の二つの図。(a)はf(x)=(1+x)³のグラフと、点(0,1)での接線。(b)は接点付近を拡大し、(0,1)の近くで接線がよい近似となることを示している。 — Figure 4.10図 4.10
(a) The linear approximation of $f (x)$ at $x = 0$ is $L (x) .$ (b) The actual value of ${1.01}^{3}$ is 1.030301. The linear approximation of $f (x)$ at $x = 0$ estimates ${1.01}^{3}$ to be 1.03.
(a) $x = 0$ における $f (x)$ の線形近似は $L (x)$ である。(b) ${1.01}^{3}$ の実際の値は1.030301である。 $x = 0$ における $f (x)$ の線形近似によって、 ${1.01}^{3}$ の近似値は1.03となる。

第4章微分の応用

4.2 Linear Approximations and Differentials4.2 線形近似と微分量

Learning Objectives学習目標

Linear Approximation of a Function at a Pointある点での関数の線形近似

Linear Approximation of xxの線形近似

Linear Approximation of sinxsinxの線形近似

Approximating Roots and Powers累乗根と累乗を近似する

4.2 Linear Approximations and Differentials4.2　線形近似と微分量

Linear Approximation of $\sqrt{x}$ $\sqrt{x}$ の線形近似

Linear Approximation of $sin x$ $sin x$ の線形近似