第4章微分の応用

Exercises 246–250練習問題 246–250

For the following exercises, consider a third-degree polynomial

f (x),

which has the properties

f^{'} (1) = 0, f^{'} (3) = 0

(not applicable to Exercises 249 and 250). Determine whether the following statements are true or false. Justify your answer.

次の各問では、

f^{'} (1) = 0, f^{'} (3) = 0

を満たす3次多項式

f (x)

を考える。ただし、演習249・250にはこの導関数の条件を課さない。各命題が正しいか誤りかを判定し、理由を説明せよ。

Exercise 246問題 246

f (x) = 0

for some

1 \leq x \leq 3

1 \leq x \leq 3

を満たすあるxで、

f (x) = 0

となる。

Exercise 247問題 247

f^{″} (x) = 0

for some

1 \leq x \leq 3

1 \leq x \leq 3

を満たすあるxで、

f^{″} (x) = 0

となる。

Solution解き方

True, by the Mean Value Theorem

正しい。導関数に平均値の定理（両端の値が等しい場合のロルの定理）を適用すればよい。

Exercise 248問題 248

There is no absolute maximum at

x = 3

x = 3

で最大値をとることはない。

Exercise 249問題 249

f (x)

has three roots, then it has

1

inflection point.

f (x)

が三つの実数解をもつなら、変曲点は

1

個ある。

Solution解き方

True, examine derivative

正しい。導関数を調べれば分かる。

Exercise 250問題 250

f (x)

has one inflection point, then it has three real roots.

f (x)

が一つの変曲点をもつなら、三つの実数解をもつ。

concave down

上に凸（concave down）

f

is differentiable over an interval

I

and

f^{'}

is decreasing over

I,

then

f

is concave down over

I

f

が区間

I

上で微分可能で、

f^{'}

が

I

上で減少するとき、

f

は

I

上で上に凸である。

concave up

下に凸（concave up）

f

is differentiable over an interval

I

and

f^{'}

is increasing over

I,

then

f

is concave up over

I

f

が区間

I

上で微分可能で、

f^{'}

が

I

上で増加するとき、

f

は

I

上で下に凸である。

concavity

凹凸

the upward or downward curve of the graph of a function

関数のグラフが上向きに開くように曲がるか、下向きに開くように曲がるかという性質。

concavity test

凹凸の判定

suppose

f

is twice differentiable over an interval

I;

f^{″} > 0

over

I,

then

f

is concave up over

I;

f^{″} < 0

over

I,

then

f

is concave down over

I

f

が区間

I

上で2回微分可能であるとする。

I

上で

f^{″} > 0

なら、

f

は

I

上で下に凸となる。

I

上で

f^{″} < 0

なら、

f

は

I

上で上に凸となる。

first derivative test

第1次導関数による判定

let

f

be a continuous function over an interval

I

containing a critical point

c

such that

f

is differentiable over

I

except possibly at

c;

f^{'}

changes sign from positive to negative as

x

increases through

c,

then

f

has a local maximum at

c;

f^{'}

changes sign from negative to positive as

x

increases through

c,

then

f

has a local minimum at

c;

f^{'}

does not change sign as

x

increases through

c,

then

f

does not have a local extremum at

c

f

が、臨界点

c

を含む区間

I

上で連続であり、

f

は

c

を除いて

I

上で微分可能であるとする。

x

が

c

を通過するときに

f^{'}

の符号が正から負へ変わるなら、

f

は

c

で極大値をとる。

x

が

c

を通過するときに

f^{'}

の符号が負から正へ変わるなら、

f

は

c

で極小値をとる。

x

が

c

を通過しても、

f^{'}

が両側で同じ正負の符号を保つなら、

f

は

c

で極値をとらない。

inflection point

変曲点

f

is continuous at

c

and

f

changes concavity at

c,

the point

(c, f (c))

is an inflection point of

f

f

が

c

で連続で、

f

の凹凸が

c

で切り替わるとき、点

(c, f (c))

を

f

の変曲点という。

second derivative test

第2次導関数による判定

suppose

f^{'} (c) = 0

and

f^{″}

is continuous over an interval containing

c;

f^{″} (c) > 0,

then

f

has a local minimum at

c;

f^{″} (c) < 0,

then

f

has a local maximum at

c;

f^{″} (c) = 0,

then the test is inconclusive

f^{'} (c) = 0

であり、

f^{″}

が

c

を含む区間で連続であるとする。

f^{″} (c) > 0

なら、

f

は

c

で極小値をとる。

f^{″} (c) < 0

なら、

f

は

c

で極大値をとる。

f^{″} (c) = 0

の場合、この判定法だけでは結論を出せない。