第4章微分の応用

4.4 The Mean Value Theorem4.4　平均値の定理

Learning Objectives学習目標

Explain the meaning of Rolle’s theorem.
ロルの定理の意味を説明できる。
Describe the significance of the Mean Value Theorem.
平均値の定理の意義を説明できる。
State three important consequences of the Mean Value Theorem.
平均値の定理から得られる三つの重要な結果を述べられる。

The Mean Value Theorem is one of the most important theorems in calculus. We look at some of its implications at the end of this section. First, let’s start with a special case of the Mean Value Theorem, called Rolle’s theorem.

英語のヒント

平均値の定理は、微積分で最も重要な定理の一つである。この節の終わりでは、定理から得られるいくつかの結論を学ぶ。まず、その特別な場合であるロルの定理から始めよう。

Rolle’s Theoremロルの定理

Informally, Rolle’s theorem states that if the outputs of a differentiable function

f

are equal at the endpoints of an interval, then there must be an interior point

c

where

f' (c) = 0 .

Figure 4.21 illustrates this theorem.

ロルの定理を大まかにいうと、微分可能な関数

f

の値が区間の両端で等しければ、その間に

f' (c) = 0

となる内点

c

が少なくとも一つ存在する、という主張である。図4.21にその様子を示す。

両端a,bで同じ値をとる三つの関数。(a) 上に凸の放物線で、内点cの山頂においてf′(c)=0。(b) 下に凸の放物線で、内点cの谷底においてf′(c)=0。(c) 正弦波の1周期のような曲線で、山頂c₁と谷底c₂の両方で導関数の値が0となる。 — Figure 4.21図 4.21
If a differentiable function f satisfies $f (a) = f (b),$ then its derivative must be zero at some point(s) between $a$ and $b .$
微分可能な関数fが $f (a) = f (b)$ を満たすなら、 $a$ と $b$ の間の少なくとも一つの点で、導関数の値が0になる。

Proof証明

Let

k = f (a) = f (b) .

We consider three cases:

k = f (a) = f (b)

とおく。次の三つの場合を考える。

$f (x) = k$ for all $x \in (a, b) .$
すべての $x \in (a, b)$ で $f (x) = k$ 。
There exists $x \in (a, b)$ such that $f (x) > k .$
$f (x) > k$ となる $x \in (a, b)$ が存在する。
There exists $x \in (a, b)$ such that $f (x) < k .$
$f (x) < k$ となる $x \in (a, b)$ が存在する。

Case 1: If

f (x) = k

for all

x \in (a, b),

then

f' (x) = 0

for all

x \in (a, b) .

場合1：すべての

x \in (a, b)

で

f (x) = k

なら、すべての

x \in (a, b)

で

f' (x) = 0

である。

Case 2: Since

f

is a continuous function over the closed, bounded interval

[a, b],

by the extreme value theorem, it has an absolute maximum. Also, since there is a point

x \in (a, b)

such that

f (x) > k,

the absolute maximum is greater than

k .

Therefore, the absolute maximum does not occur at either endpoint. As a result, the absolute maximum must occur at an interior point

c \in (a, b) .

Because

f

has a maximum at an interior point

c,

and

f

is differentiable at

c,

by Fermat’s theorem,

f' (c) = 0 .

場合2：

f

は閉じた有界区間

[a, b]

上で連続なので、最大値・最小値の定理により最大値をもつ。しかも、

f (x) > k

となる点

x \in (a, b)

が存在するため、最大値は

k

より大きい。したがって、最大値はどちらの端点でも生じず、内点

c \in (a, b)

で生じる。

f

は内点

c

で最大値をとり、

f

は

c

で微分可能なので、フェルマーの定理から

f' (c) = 0

である。

Case 3: The case when there exists a point

x \in (a, b)

such that

f (x) < k

is analogous to case 2, with maximum replaced by minimum.

英語のヒント

場合3：

f (x) < k

となる点

x \in (a, b)

が存在する場合は、場合2の「最大値」を「最小値」に置き換えて、同様に示せる。

□

An important point about Rolle’s theorem is that the differentiability of the function

f

is critical. If

f

is not differentiable, even at a single point, the result may not hold. For example, the function

f (x) = | x | - 1

is continuous over

[−1, 1]

and

f (−1) = 0 = f (1),

but

f' (c) \neq 0

for any

c \in (−1, 1)

as shown in the following figure.

ロルの定理では、関数

f

が微分可能であることが欠かせない。

f

が一点でも微分不可能なら、結論が成り立たない場合がある。例えば

f (x) = | x | - 1

は

[−1, 1]

上で連続で、

f (−1) = 0 = f (1)

を満たす。しかし、

c \in (−1, 1)

のうち導関数が存在する点では

f' (c) \neq 0

であり、x=0では導関数が存在しない。そのため、導関数の値が0となる点はない。次の図を参照。

f(x)=|x|−1のグラフ。f(1)=f(−1)だが、導関数が0になるcはない。x=0ではV字の角があり、微分不可能である。 — Figure 4.22図 4.22
Since $f (x) = | x | - 1$ is not differentiable at $x = 0,$ the conditions of Rolle’s theorem are not satisfied. In fact, the conclusion does not hold here; there is no $c \in (−1, 1)$ such that $f' (c) = 0 .$
$f (x) = | x | - 1$ は $x = 0$ で微分不可能なので、ロルの定理の仮定を満たさない。実際、結論も成り立たず、 $f' (c) = 0$ を満たす $c \in (−1, 1)$ は存在しない。

Let’s now consider functions that satisfy the conditions of Rolle’s theorem and calculate explicitly the points

c

where

f' (c) = 0 .

次に、ロルの定理の仮定を満たす関数について、

f' (c) = 0

となる点

c

を具体的に計算しよう。

Example 4.14例題 4.14

Using Rolle’s Theoremロルの定理を使う

For each of the following functions, verify that the function satisfies the criteria stated in Rolle’s theorem and find all values

c

in the given interval where

f' (c) = 0 .

次の各関数がロルの定理の仮定を満たすことを確認し、与えられた区間内で

f' (c) = 0

となる

c

をすべて求めよ。

$f (x) = x^{2} + 2 x$ over $[−2, 0]$
区間 $[−2, 0]$ における $f (x) = x^{2} + 2 x$
$f (x) = x^{3} - 4 x$ over $[−2, 2]$
区間 $[−2, 2]$ における $f (x) = x^{3} - 4 x$

Solution解き方

Since $f$ is a polynomial, it is continuous and differentiable everywhere. In addition, $f (−2) = 0 = f (0) .$ Therefore, $f$ satisfies the criteria of Rolle’s theorem. We conclude that there exists at least one value $c \in (−2, 0)$ such that $f' (c) = 0 .$ Since $f' (x) = 2 x + 2 = 2 (x + 1),$ we see that $f' (c) = 2 (c + 1) = 0$ implies $c = −1$ as shown in the following graph.
$f$ は多項式なので、すべての点で連続かつ微分可能である。また、 $f (−2) = 0 = f (0)$ である。したがって、 $f$ はロルの定理の仮定を満たし、 $f' (c) = 0$ となる $c \in (−2, 0)$ が少なくとも一つ存在する。 $f' (x) = 2 x + 2 = 2 (x + 1)$ なので、 $f' (c) = 2 (c + 1) = 0$ より $c = −1$ を得る。次のグラフに示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.23図 4.23
This function is continuous and differentiable over $[−2, 0],$ $f' (c) = 0$ when $c = −1 .$
この関数は $[−2, 0]$ 上で連続かつ微分可能であり、 $c = −1$ で $f' (c) = 0$ となる。
As in part a. $f$ is a polynomial and therefore is continuous and differentiable everywhere. Also, $f (−2) = 0 = f (2) .$ That said, $f$ satisfies the criteria of Rolle’s theorem. Differentiating, we find that $f' (x) = 3 x^{2} - 4 .$ Therefore, $f' (c) = 0$ when $x = ± \frac{2}{\sqrt{3}} .$ Both points are in the interval $[−2, 2],$ and, therefore, both points satisfy the conclusion of Rolle’s theorem as shown in the following graph.
(a)と同様、 $f$ は多項式なので、すべての点で連続かつ微分可能である。また、 $f (−2) = 0 = f (2)$ である。よって、 $f$ はロルの定理の仮定を満たす。微分すると $f' (x) = 3 x^{2} - 4$ なので、 $x = ± \frac{2}{\sqrt{3}}$ で $f' (c) = 0$ となる。二つの点はともに $[−2, 2]$ の内部にあり、どちらもロルの定理の結論を満たす。次のグラフを参照。

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Figure 4.24図 4.24
For this polynomial over $[−2, 2],$ $f' (c) = 0$ at $x = ± 2 / \sqrt{3} .$
この多項式は、区間 $[−2, 2]$ 内の $x = ± 2 / \sqrt{3}$ において $f' (c) = 0$ となる。

The Mean Value Theorem and Its Meaning平均値の定理とその意味

Rolle’s theorem is a special case of the Mean Value Theorem. In Rolle’s theorem, we consider differentiable functions

f

defined on a closed interval

[a, b]

with

f (a) = f (b)

. The Mean Value Theorem generalizes Rolle’s theorem by considering functions that do not necessarily have equal value at the endpoints. Consequently, we can view the Mean Value Theorem as a slanted version of Rolle’s theorem (Figure 4.25). The Mean Value Theorem states that if

f

is continuous over the closed interval

[a, b]

and differentiable over the open interval

(a, b),

then there exists a point

c \in (a, b)

such that the tangent line to the graph of

f

c

is parallel to the secant line connecting

(a, f (a))

and

(b, f (b)) .

英語のヒント

ロルの定理は、平均値の定理の特別な場合である。ロルの定理では、閉区間

[a, b]

に定義され、

f (a) = f (b)

を満たす微分可能な関数

f

を考えた。平均値の定理は、両端での値が等しいとは限らない関数へと、ロルの定理を一般化したものである。そのため、ロルの定理を「傾けたもの」と捉えられる（図4.25）。平均値の定理によれば、

f

が閉区間

[a, b]

上で連続、開区間

(a, b)

上で微分可能なら、

c \in (a, b)

が存在し、

f

のグラフの

c

における接線が、

(a, f (a))

と

(b, f (b))

を結ぶ割線と平行になる。

波打つ曲線y=f(x)と、両端(a,f(a))、(b,f(b))を結ぶ割線。その傾きは[f(b)−f(a)]/(b−a)。区間内のc₁とc₂における接線が割線と平行に描かれ、それぞれの傾きf′(c₁)、f′(c₂)が示されている。 — Figure 4.25図 4.25
The Mean Value Theorem says that for a function that meets its conditions, at some point the tangent line has the same slope as the secant line between the ends. For this function, there are two values $c_{1}$ and $c_{2}$ such that the tangent line to $f$ at $c_{1}$ and $c_{2}$ has the same slope as the secant line.
平均値の定理は、仮定を満たす関数には、接線の傾きが両端を結ぶ割線の傾きと一致する点があると述べる。この関数には、そのような値 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ が二つある。 $f$ の $c_{1}$ と $c_{2}$ における接線は、どちらも割線と同じ傾きをもつ。

Proof証明

The proof follows from Rolle’s theorem by introducing an appropriate function that satisfies the criteria of Rolle’s theorem. Consider the line connecting

(a, f (a))

and

(b, f (b)) .

Since the slope of that line is

ロルの定理の仮定を満たす適切な関数を導入すれば、平均値の定理を証明できる。点

(a, f (a))

と

(b, f (b))

を結ぶ直線を考える。この直線の傾きは、

\frac{f (b) - f (a)}{b - a}

and the line passes through the point

(a, f (a)),

the equation of that line can be written as

また、この直線は点

(a, f (a))

を通るので、その方程式は次のように書ける。

y = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (x - a) + f (a) .

y = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (x - a) + f (a)

Let

g (x)

denote the vertical difference between the point

(x, f (x))

and the point

(x, y)

on that line. Therefore,

点

(x, f (x))

と、この直線上の点

(x, y)

の高さの差を

g (x)

とする。したがって、

g (x) = f (x) - [\frac{f (b) - f (a)}{b - a} (x - a) + f (a)] .

波打つ曲線y=f(x)と、両端(a,f(a))、(b,f(b))を結ぶ割線。割線の方程式はy={[f(b)−f(a)]/(b−a)}(x−a)+f(a)。同じx座標における曲線と割線の高さの差が、g(x)として示されている。 — Figure 4.26図 4.26
The value $g (x)$ is the vertical difference between the point $(x, f (x))$ and the point $(x, y)$ on the secant line connecting $(a, f (a))$ and $(b, f (b)) .$
$g (x)$ は、曲線上の点 $(x, f (x))$ と、 $(a, f (a))$ ・ $(b, f (b))$ を結ぶ割線上の点 $(x, y)$ との高さの差である。

Since the graph of

f

intersects the secant line when

x = a

and

x = b,

we see that

g (a) = 0 = g (b) .

Since

f

is a differentiable function over

(a, b),

g

is also a differentiable function over

(a, b) .

Furthermore, since

f

is continuous over

[a, b],

g

is also continuous over

[a, b] .

Therefore,

g

satisfies the criteria of Rolle’s theorem. Consequently, there exists a point

c \in (a, b)

such that

g' (c) = 0 .

Since

f

のグラフと割線は

x = a

と

x = b

で交わるので、

g (a) = 0 = g (b)

である。

f

は

(a, b)

上で微分可能だから、

g

も

(a, b)

上で微分可能である。さらに、

f

は

[a, b]

上で連続だから、

g

も

[a, b]

上で連続である。よって、

g

はロルの定理の仮定を満たし、

g' (c) = 0

となる点

c \in (a, b)

が存在する。また、gの定義から、

g' (x) = f' (x) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a},

g' (x) = f' (x) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

we see that

したがって、

g' (c) = f' (c) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .

g' (c) = f' (c) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Since

g' (c) = 0,

we conclude that

g' (c) = 0

を代入すると、求める等式が得られる。

f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .

f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

□

In the next example, we show how the Mean Value Theorem can be applied to the function

f (x) = \sqrt{x}

over the interval

[0, 9] .

The method is the same for other functions, although sometimes with more interesting consequences.

次の例では、区間

[0, 9]

上の関数

f (x) = \sqrt{x}

に平均値の定理を適用する。他の関数でも方法は同じだが、結果がさらに興味深い意味をもつこともある。

Example 4.15例題 4.15

Verifying that the Mean Value Theorem Applies平均値の定理を適用できることを確認する

For

f (x) = \sqrt{x}

over the interval

[0, 9],

show that

f

satisfies the hypothesis of the Mean Value Theorem, and therefore there exists at least one value

c \in (0, 9)

such that

f^{'} (c)

is equal to the slope of the line connecting

(0, f (0))

and

(9, f (9)) .

Find these values

c

guaranteed by the Mean Value Theorem.

区間

[0, 9]

上の

f (x) = \sqrt{x}

について、

f

が平均値の定理の仮定を満たすことを示せ。これにより、

f^{'} (c)

が

(0, f (0))

と

(9, f (9))

を結ぶ直線の傾きに等しくなる

c \in (0, 9)

が少なくとも一つ存在すると分かる。定理によって存在が保証される

c

を求めよ。

Solution解き方

We know that

f (x) = \sqrt{x}

is continuous over

[0, 9]

and differentiable over

(0, 9) .

Therefore,

f

satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem, and there must exist at least one value

c \in (0, 9)

such that

f^{'} (c)

is equal to the slope of the line connecting

(0, f (0))

and

(9, f (9))

(Figure 4.27). To determine which value(s) of

c

are guaranteed, first calculate the derivative of

f .

The derivative

f^{'} (x) = \frac{1}{(2 \sqrt{x})} .

The slope of the line connecting

(0, f (0))

and

(9, f (9))

is given by

英語のヒント

f (x) = \sqrt{x}

は

[0, 9]

上で連続、

(0, 9)

上で微分可能である。したがって、

f

は平均値の定理の仮定を満たす。よって、

f^{'} (c)

が

(0, f (0))

と

(9, f (9))

を結ぶ直線の傾きに等しくなる

c \in (0, 9)

が少なくとも一つ存在する（図4.27）。その

c

を求めるために、まず

f

を微分する。導関数は

f^{'} (x) = \frac{1}{(2 \sqrt{x})}

である。一方、

(0, f (0))

と

(9, f (9))

を結ぶ直線の傾きは、

\frac{f (9) - f (0)}{9 - 0} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{0}}{9 - 0} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} .

\frac{f (9) - f (0)}{9 - 0} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{0}}{9 - 0} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

We want to find

c

such that

f^{'} (c) = \frac{1}{3} .

That is, we want to find

c

such that

求めるのは、

f^{'} (c) = \frac{1}{3}

を満たす

c

である。すなわち、次式を満たす

c

を求めればよい。

\frac{1}{2 \sqrt{c}} = \frac{1}{3} .

\frac{1}{2 \sqrt{c}} = \frac{1}{3}

Solving this equation for

c,

we obtain

c = \frac{9}{4} .

At this point, the slope of the tangent line equals the slope of the line joining the endpoints.

この方程式を

c

について解くと、

c = \frac{9}{4}

を得る。この点で、接線の傾きが両端を結ぶ直線の傾きに等しくなる。

f(x)=√xを(0,0)から(9,3)まで描いたグラフ。両端を結ぶ割線と、点(9/4,3/2)における接線が平行になっている。 — Figure 4.27図 4.27
The slope of the tangent line at $c = 9 / 4$ is the same as the slope of the line segment connecting $(0, 0)$ and $(9, 3) .$
$c = 9 / 4$ における接線の傾きは、 $(0, 0)$ と $(9, 3)$ を結ぶ線分の傾きに等しい。

One application that helps illustrate the Mean Value Theorem involves velocity. For example, suppose we drive a car for 1 h down a straight road with an average velocity of 45 mph. Let

s (t)

and

v (t)

denote the position and velocity of the car, respectively, for

0 \leq t \leq 1

h. Assuming that the position function

s (t)

is differentiable, we can apply the Mean Value Theorem to conclude that, at some time

c \in (0, 1),

the speed of the car was exactly

英語のヒント

平均値の定理の意味がよく分かる応用例に、速度がある。直線道路を1時間走り、平均速度が時速45マイルだったとしよう。時刻

0 \leq t \leq 1

（時間）における車の位置と速度を、それぞれ

s (t)

、

v (t)

で表す。位置関数

s (t)

が微分可能なら、平均値の定理により、ある時刻

c \in (0, 1)

で、車の速さがちょうど次の値だったと分かる。

v (c) = s^{'} (c) = \frac{s (1) - s (0)}{1 - 0} = 45 mph .

v (c) = s^{'} (c) = \frac{s (1) - s (0)}{1 - 0} = 45 mph

Example 4.16例題 4.16

Mean Value Theorem and Velocity平均値の定理と速度

If a rock is dropped from a height of 100 ft, its position

t

seconds after it is dropped until it hits the ground is given by the function

s (t) = −16 t^{2} + 100 .

高さ100 ftから石を落とす。落としてから地面に達するまでの、

t

秒後の高さは

s (t) = −16 t^{2} + 100

で与えられる。

Determine how long it takes before the rock hits the ground.
石が地面に達するまでの時間を求めよ。
Find the average velocity $v_{avg}$ of the rock for when the rock is released and the rock hits the ground.
石を放してから地面に達するまでの平均速度 $v_{avg}$ を求めよ。
Find the time $t$ guaranteed by the Mean Value Theorem when the instantaneous velocity of the rock is $v_{avg} .$
石の瞬間速度が $v_{avg}$ に等しくなる時刻 $t$ を求めよ。そのような時刻の存在は、平均値の定理によって保証される。

Solution解き方

When the rock hits the ground, its position is $s (t) = 0 .$ Solving the equation $−16 t^{2} + 100 = 0$ for $t,$ we find that $t = ± \frac{5}{2} sec .$ Since we are only considering $t \geq 0,$ the ball will hit the ground $\frac{5}{2}$ sec after it is dropped.
石が地面に達したとき、 $s (t) = 0$ となる。方程式 $−16 t^{2} + 100 = 0$ を $t$ について解くと、 $t = ± \frac{5}{2} sec$ を得る。考えているのは $t \geq 0$ だけなので、石は落としてから $\frac{5}{2}$ 秒後に地面に達する。
The average velocity is given by
平均速度は、

$v_{avg} = \frac{s (5 / 2) - s (0)}{5 / 2 - 0} = \frac{0 - 100}{5 / 2} = −40 ft/sec .$
$v_{avg} = \frac{s (5 / 2) - s (0)}{5 / 2 - 0} = \frac{0 - 100}{5 / 2} = −40 ft/sec$
The instantaneous velocity is given by the derivative of the position function. Therefore, we need to find a time $t$ such that $v (t) = s^{'} (t) = v_{avg} = −40 ft/sec .$ Since $s (t)$ is continuous over the interval $[0, 5 / 2]$ and differentiable over the interval $(0, 5 / 2),$ by the Mean Value Theorem, there is guaranteed to be a point $c \in (0, 5 / 2)$ such that
瞬間速度は位置関数の導関数で与えられる。したがって、 $v (t) = s^{'} (t) = v_{avg} = −40 ft/sec$ となる時刻 $t$ を求めればよい。 $s (t)$ は区間 $[0, 5 / 2]$ 上で連続、区間 $(0, 5 / 2)$ 上で微分可能なので、平均値の定理より、次式を満たす $c \in (0, 5 / 2)$ が存在する。

$s^{'} (c) = \frac{s (5 / 2) - s (0)}{5 / 2 - 0} = −40 .$
$s^{'} (c) = \frac{s (5 / 2) - s (0)}{5 / 2 - 0} = −40$

Taking the derivative of the position function $s (t),$ we find that $s^{'} (t) = −32 t .$ Therefore, the equation reduces to $s^{'} (c) = −32 c = −40 .$ Solving this equation for $c,$ we have $c = \frac{5}{4} .$ Therefore, $\frac{5}{4}$ sec after the rock is dropped, the instantaneous velocity equals the average velocity of the rock during its free fall: $−40$ ft/sec.
位置関数 $s (t)$ を微分すると $s^{'} (t) = −32 t$ を得る。よって、方程式は $s^{'} (c) = −32 c = −40$ となる。これを $c$ について解くと $c = \frac{5}{4}$ である。つまり、落下開始から $\frac{5}{4}$ 秒後に、瞬間速度が自由落下中の平均速度 $−40$ ft/sと等しくなる。

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Figure 4.28図 4.28
At time $t = 5 / 4$ sec, the velocity of the rock is equal to its average velocity from the time it is dropped until it hits the ground.
時刻 $t = 5 / 4$ 秒で、石の速度は、落下開始から地面に達するまでの平均速度と等しくなる。

第4章微分の応用

4.4 The Mean Value Theorem4.4 平均値の定理

Learning Objectives学習目標

Rolle’s Theoremロルの定理

Proof証明

Using Rolle’s Theoremロルの定理を使う

The Mean Value Theorem and Its Meaning平均値の定理とその意味

Proof証明

Verifying that the Mean Value Theorem Applies平均値の定理を適用できることを確認する

Mean Value Theorem and Velocity平均値の定理と速度

4.4 The Mean Value Theorem4.4　平均値の定理