第4章微分の応用

Growth Rates of Functions関数の増大の速さ

Suppose the functions

f

and

g

both approach infinity as

x \to \infty .

Although the values of both functions become arbitrarily large as the values of

x

become sufficiently large, sometimes one function is growing more quickly than the other. For example,

f (x) = x^{2}

and

g (x) = x^{3}

both approach infinity as

x \to \infty .

However, as shown in the following table, the values of

x^{3}

are growing much faster than the values of

x^{2} .

英語のヒント

関数

f

と

g

は、どちらも

x \to \infty

のとき無限大に近づくとする。

x

を十分大きくすると両方の関数値がいくらでも大きくなるが、その増え方は一方のほうが速いことがある。たとえば、

f (x) = x^{2}

も

g (x) = x^{3}

も、

x \to \infty

のとき無限大に近づく。しかし、次の表のとおり、

x^{3}

の値は

x^{2}

の値よりはるかに速く増える。

Comparing the Growth Rates of $x^{2}$ and $x^{3}$ $x^{2}$ と $x^{3}$ の増大の速さを比較する

Table 4.7表 4.7
$x$	$10$	$100$	$1000$	$10,000$
$f (x) = x^{2}$	$100$	$10,000$	$1,000,000$	$100,000,000$
$g (x) = x^{3}$	$1000$	$1,000,000$	$1,000,000,000$	$1,000,000,000,000$

In fact,

実際、

lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} x = \infty . or, equivalently, lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 .

lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} x = \infty . または、同値な形で、 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

As a result, we say

x^{3}

is growing more rapidly than

x^{2}

x \to \infty .

On the other hand, for

f (x) = x^{2}

and

g (x) = 3 x^{2} + 4 x + 1,

although the values of

g (x)

are always greater than the values of

f (x)

for

x > 0,

each value of

g (x)

is roughly three times the corresponding value of

f (x)

x \to \infty,

as shown in the following table. In fact,

このため、

x \to \infty

のとき、

x^{3}

は

x^{2}

より速く増大するという。一方、

f (x) = x^{2}

と

g (x) = 3 x^{2} + 4 x + 1

を考える。

x > 0

では常に

g (x)

のほうが

f (x)

より大きい。しかし、次の表のとおり、

x \to \infty

となるにつれ、

g (x)

の値は対応する

f (x)

の値のおよそ3倍になる。実際、

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1} = \frac{1}{3} .

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1} = \frac{1}{3}

Comparing the Growth Rates of $x^{2}$ and $3 x^{2} + 4 x + 1$ $x^{2}$ と $3 x^{2} + 4 x + 1$ の増大の速さを比較する

Table 4.8表 4.8
$x$	$10$	$100$	$1000$	$10,000$
$f (x) = x^{2}$	$100$	$10,000$	$1,000,000$	$100,000,000$
$g (x) = 3 x^{2} + 4 x + 1$	$341$	$30,401$	$3,004,001$	$300,040,001$

In this case, we say that

x^{2}

and

3 x^{2} + 4 x + 1

are growing at the same rate as

x \to \infty .

この場合、

x^{2}

と

3 x^{2} + 4 x + 1

は、

x \to \infty

のとき同じ程度の速さで増大するという。

More generally, suppose

f

and

g

are two functions that approach infinity as

x \to \infty .

We say

g

grows more rapidly than

f

x \to \infty

英語のヒント

より一般に、

f

と

g

は、

x \to \infty

のとき無限大に近づく2つの関数とする。次の条件が成り立つとき、

x \to \infty

のとき

g

は

f

より速く増大するという。

lim_{x \to \infty} \frac{g (x)}{f (x)} = \infty; or, equivalently, lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = 0 .

lim_{x \to \infty} \frac{g (x)}{f (x)} = \infty; または、同値な形で、 lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = 0

On the other hand, if there exists a constant

M \neq 0

such that

一方、次を満たす定数

M \neq 0

が存在するなら、

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = M,

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = M

we say

f

and

g

grow at the same rate as

x \to \infty .

f

と

g

は、

x \to \infty

のとき同じ程度の速さで増大するという。

Next we see how to use L’Hôpital’s rule to compare the growth rates of power, exponential, and logarithmic functions.

次に、ロピタルの定理を使って、べき関数・指数関数・対数関数の増大の速さを比較しよう。

Example 4.45例題 4.45

Comparing the Growth Rates of $ln (x),$ $x^{2},$ and $e^{x}$ $ln (x)$ 、 $x^{2}$ 、 $e^{x}$ の増大の速さを比較する

For each of the following pairs of functions, use L’Hôpital’s rule to evaluate

lim_{x \to \infty} (\frac{f (x)}{g (x)}) .

次の各関数の組について、ロピタルの定理を使って

lim_{x \to \infty} (\frac{f (x)}{g (x)})

を求めよ。

$f (x) = x^{2} and g (x) = e^{x}$
$f (x) = x^{2} および g (x) = e^{x}$
$f (x) = ln (x) and g (x) = x^{2}$
$f (x) = ln (x) および g (x) = x^{2}$

Solution解き方

Since $lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$ and $lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty,$ we can use L’Hôpital’s rule to evaluate $lim_{x \to \infty} [\frac{x^{2}}{e^{x}}] .$ We obtain
$lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$ かつ $lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$ なので、 $lim_{x \to \infty} [\frac{x^{2}}{e^{x}}]$ を求めるのにロピタルの定理を使える。次のようになる。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}} .$
$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Since $lim_{x \to \infty} 2 x = \infty$ and $lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty,$ we can apply L’Hôpital’s rule again. Since
$lim_{x \to \infty} 2 x = \infty$ かつ $lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$ なので、もう一度ロピタルの定理を使える。次が成り立つので、

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^{x}} = 0,$
$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^{x}} = 0$

we conclude that
次の結論を得る。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = 0 .$
$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = 0$

Therefore, $e^{x}$ grows more rapidly than $x^{2}$ as $x \to \infty$ (See Figure 4.73 and Table 4.9).
したがって、 $x \to \infty$ のとき、 $e^{x}$ は $x^{2}$ より速く増大する（図4.73、表4.9）。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.73図 4.73
An exponential function grows at a faster rate than a power function.
指数関数は、べき関数より速く増大する。

Growth rates of a power function and an exponential function.べき関数と指数関数の増大の速さ

$x$

$5$

$10$

$15$

$20$

$x^{2}$

$25$

$100$

$225$

$400$

$e^{x}$

$148$

$22,026$

$3,269,017$

$485,165,195$

Table 4.9表 4.9
Since $lim_{x \to \infty} ln x = \infty$ and $lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty,$ we can use L’Hôpital’s rule to evaluate $lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x^{2}} .$ We obtain
$lim_{x \to \infty} ln x = \infty$ かつ $lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$ なので、 $lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x^{2}}$ を求めるのにロピタルの定理を使える。次のようになる。

$lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{1 / x}{2 x} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}} = 0 .$
$lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{1 / x}{2 x} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}} = 0$

Thus, $x^{2}$ grows more rapidly than $ln x$ as $x \to \infty$ (see Figure 4.74 and Table 4.10).
したがって、 $x \to \infty$ のとき、 $x^{2}$ は $ln x$ より速く増大する（図4.74、表4.10）。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.74図 4.74
A power function grows at a faster rate than a logarithmic function.
べき関数は、対数関数より速く増大する。

Growth rates of a power function and a logarithmic functionべき関数と対数関数の増大の速さ

$x$

$10$

$100$

$1000$

$10,000$

$ln (x)$

$2.303$

$4.605$

$6.908$

$9.210$

$x^{2}$

$100$

$10,000$

$1,000,000$

$100,000,000$

Table 4.10表 4.10

Using the same ideas as in Example 4.45a. it is not difficult to show that

e^{x}

grows more rapidly than

x^{p}

for any

p > 0 .

In Figure 4.75 and Table 4.11, we compare

e^{x}

with

x^{3}

and

x^{4}

x \to \infty .

例題4.45aと同じ考え方を使えば、任意の

p > 0

について、

e^{x}

は

x^{p}

より速く増大することを示せる。図4.75と表4.11では、

x \to \infty

のときの

e^{x}

を、

x^{3}

および

x^{4}

と比較している。

(a) y=eˣとy=x³のグラフ。十分大きなxでは、eˣのほうがx³より速く増える。(b) y=eˣとy=x⁴のグラフ。こちらも十分大きなxではeˣのほうが速く増えるが、eˣがx⁴を追い越す位置は、x³との比較の場合より右側にある。 — Figure 4.75図 4.75
The exponential function $e^{x}$ grows faster than $x^{p}$ for any $p > 0 .$ (a) A comparison of $e^{x}$ with $x^{3} .$ (b) A comparison of $e^{x}$ with $x^{4} .$
任意の $p > 0$ について、指数関数 $e^{x}$ は $x^{p}$ より速く増大する。(a) $e^{x}$ と $x^{3}$ の比較。(b) $e^{x}$ と $x^{4}$ の比較。

An exponential function grows at a faster rate than any power function指数関数は、どのべき関数よりも速く増大する

Table 4.11表 4.11
$x$	$5$	$10$	$15$	$20$
$x^{3}$	$125$	$1000$	$3375$	$8000$
$x^{4}$	$625$	$10,000$	$50,625$	$160,000$
$e^{x}$	$148$	$22,026$	$3,269,017$	$485,165,195$

Similarly, it is not difficult to show that

x^{p}

grows more rapidly than

ln x

for any

p > 0 .

In Figure 4.76 and Table 4.12, we compare

ln x

with

\sqrt[3]{x}

and

\sqrt{x} .

同様に、任意の

p > 0

について、

x^{p}

は

ln x

より速く増大することを示せる。図4.76と表4.12では、

ln x

を

\sqrt[3]{x}

および

\sqrt{x}

と比較している。

y=√x、y=∛x、y=ln(x)のグラフ。十分大きなxでは、ln(x)の増え方が、どちらのべき根の関数よりも遅くなることがわかる。 — Figure 4.76図 4.76
The function $y = ln (x)$ grows more slowly than $x^{p}$ for any $p > 0$ as $x \to \infty .$
任意の $p > 0$ について、 $x \to \infty$ のとき、関数 $y = ln (x)$ は $x^{p}$ より遅く増大する。

A logarithmic function grows at a slower rate than any root function対数関数は、どのべき根の関数よりも遅く増大する

Table 4.12表 4.12
$x$	$10$	$100$	$1000$	$10,000$
$ln (x)$	$2.303$	$4.605$	$6.908$	$9.210$
$\sqrt[3]{x}$	$2.154$	$4.642$	$10$	$21.544$
$\sqrt{x}$	$3.162$	$10$	$31.623$	$100$

Key Concepts重要な概念

L’Hôpital’s rule can be used to evaluate the limit of a quotient when the indeterminate form $\frac{0}{0}$ or $\infty / \infty$ arises.
商の極限が $\frac{0}{0}$ 型または $\infty / \infty$ 型の不定形になるとき、ロピタルの定理を使って極限を求められる。
L’Hôpital’s rule can also be applied to other indeterminate forms if they can be rewritten in terms of a limit involving a quotient that has the indeterminate form $\frac{0}{0}$ or $\infty / \infty .$
ほかの不定形でも、 $\frac{0}{0}$ 型または $\infty / \infty$ 型の商の極限に書き換えられれば、ロピタルの定理を使える。
The exponential function $e^{x}$ grows faster than any power function $x^{p},$ $p > 0 .$
指数関数 $e^{x}$ は、任意のべき関数 $x^{p}$ （ $p > 0$ ）より速く増大する。
The logarithmic function $ln x$ grows more slowly than any power function $x^{p},$ $p > 0 .$
対数関数 $ln x$ は、任意のべき関数 $x^{p}$ （ $p > 0$ ）より遅く増大する。

Exercises 356–361練習問題 356–361

For the following exercises, evaluate the limit.

次の各極限を求めよ。

Exercise 356問題 356

Evaluate the limit

lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x} .

極限

lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x}

を求めよ。

Exercise 357問題 357

Evaluate the limit

lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{k}} .

極限

lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{k}}

を求めよ。

Solution解き方

\infty

\infty

Exercise 358問題 358

Evaluate the limit

lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x^{k}} .

極限

lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x^{k}}

を求めよ。

Exercise 359問題 359

Evaluate the limit

lim_{x \to a} \frac{x - a}{x^{2} - a^{2}}, a \neq 0

極限

lim_{x \to a} \frac{x - a}{x^{2} - a^{2}}, a \neq 0

を求めよ。

Solution解き方

\frac{1}{2 a}

\frac{1}{2 a}

Exercise 360問題 360

Evaluate the limit

lim_{x \to a} \frac{x - a}{x^{3} - a^{3}}, a \neq 0

極限

lim_{x \to a} \frac{x - a}{x^{3} - a^{3}}, a \neq 0

を求めよ。

Exercise 361問題 361

Evaluate the limit

lim_{x \to a} \frac{x - a}{x^{n} - a^{n}}, a \neq 0

極限

lim_{x \to a} \frac{x - a}{x^{n} - a^{n}}, a \neq 0

を求めよ。

Solution解き方

\frac{1}{n a^{n - 1}}

\frac{1}{n a^{n - 1}}

Exercises 362–366練習問題 362–366

For the following exercises, determine whether you can apply L’Hôpital’s rule directly. Explain why or why not. Then, indicate if there is some way you can alter the limit so you can apply L’Hôpital’s rule.

次の各問について、ロピタルの定理をそのまま適用できるかどうかを、理由とともに答えよ。適用できない場合は、極限の式を書き換えることで適用できるようになるかを述べよ。

Exercise 362問題 362

lim_{x \to 0^{+}} x^{2} ln x

lim_{x \to 0^{+}} x^{2} ln x

Exercise 363問題 363

lim_{x \to \infty} x^{1 / x}

lim_{x \to \infty} x^{1 / x}

Solution解き方

Cannot apply directly; use logarithms

そのままでは使えない。対数をとる。

Exercise 364問題 364

lim_{x \to 0} x^{2 / x}

lim_{x \to 0} x^{2 / x}

Exercise 365問題 365

lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 / x}

lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 / x}

Solution解き方

Cannot apply directly; rewrite as

lim_{x \to 0} x^{3}

そのままでは使えない。

lim_{x \to 0} x^{3}

と書き換える。

Exercise 366問題 366

lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x}

lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x}

Exercises 367–395練習問題 367–395

For the following exercises, evaluate the limits with either L’Hôpital’s rule or previously learned methods.

次の各極限を、ロピタルの定理またはすでに学んだ方法で求めよ。

Exercise 367問題 367

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}

Solution解き方

6

6

Exercise 368問題 368

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x + 3}

lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x + 3}

Exercise 369問題 369

lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{−2} - 1}{x}

lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{−2} - 1}{x}

Solution解き方

−2

−2

Exercise 370問題 370

lim_{x \to π / 2} \frac{cos x}{\frac{π}{2} - x}

lim_{x \to π / 2} \frac{cos x}{\frac{π}{2} - x}

Exercise 371問題 371

lim_{x \to π} \frac{x - π}{sin x}

lim_{x \to π} \frac{x - π}{sin x}

Solution解き方

−1

−1

Exercise 372問題 372

lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{sin x}

lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{sin x}

Exercise 373問題 373

lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{n} - 1}{x}

lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{n} - 1}{x}

Solution解き方

n

n

Exercise 374問題 374

lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{n} - 1 - n x}{x^{2}}

lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{n} - 1 - n x}{x^{2}}

Exercise 375問題 375

lim_{x \to 0} \frac{sin x - tan x}{x^{3}}

lim_{x \to 0} \frac{sin x - tan x}{x^{3}}

Solution解き方

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

Exercise 376問題 376

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}

Exercise 377問題 377

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - 1}{x^{2}}

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - 1}{x^{2}}

Solution解き方

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

Exercise 378問題 378

lim_{x \to 0^{+}} \frac{tan x}{\sqrt{x}}

lim_{x \to 0^{+}} \frac{tan x}{\sqrt{x}}

Exercise 379問題 379

lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{ln x}

lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{ln x}

Solution解き方

1

1

Exercise 380問題 380

lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{1 / x}

lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{1 / x}

Exercise 381問題 381

lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x - 1}

lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x - 1}

Solution解き方

\frac{1}{6}

\frac{1}{6}

Exercise 382問題 382

lim_{x \to 0^{+}} x^{2 x}

lim_{x \to 0^{+}} x^{2 x}

Exercise 383問題 383

lim_{x \to \infty} x sin (\frac{1}{x})

lim_{x \to \infty} x sin (\frac{1}{x})

Solution解き方

1

1

Exercise 384問題 384

lim_{x \to 0} \frac{sin x - x}{x^{2}}

lim_{x \to 0} \frac{sin x - x}{x^{2}}

Exercise 385問題 385

lim_{x \to 0^{+}} x ln (x^{4})

lim_{x \to 0^{+}} x ln (x^{4})

Solution解き方

0

0

Exercise 386問題 386

lim_{x \to \infty} (x - e^{x})

lim_{x \to \infty} (x - e^{x})

Exercise 387問題 387

lim_{x \to \infty} x^{2} e^{− x}

lim_{x \to \infty} x^{2} e^{− x}

Solution解き方

0

0

Exercise 388問題 388

lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 2^{x}}{x}

lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 2^{x}}{x}

Exercise 389問題 389

lim_{x \to 0} \frac{1 + 1 / x}{1 - 1 / x}

lim_{x \to 0} \frac{1 + 1 / x}{1 - 1 / x}

Solution解き方

−1

−1

Exercise 390問題 390

lim_{x \to π / 4} (1 - tan x) cot x

lim_{x \to π / 4} (1 - tan x) cot x

Exercise 391問題 391

lim_{x \to \infty} x e^{1 / x}

lim_{x \to \infty} x e^{1 / x}

Solution解き方

\infty

\infty

Exercise 392問題 392

lim_{x \to 0^{+}} x^{1 / cos x}

lim_{x \to 0^{+}} x^{1 / cos x}

Exercise 393問題 393

lim_{x \to 0^{+}} x^{1 / x}

lim_{x \to 0^{+}} x^{1 / x}

Solution解き方

0

0

Exercise 394問題 394

lim_{x \to 0^{-}} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}

lim_{x \to 0^{-}} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}

Exercise 395問題 395

lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}

lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{x})}^{x}

Solution解き方

\frac{1}{e}

\frac{1}{e}

Exercises 396–405練習問題 396–405

For the following exercises, use a calculator to graph the function and estimate the value of the limit, then use L’Hôpital’s rule to find the limit directly.

次の各問では、計算機で関数のグラフを描いて極限値を推定し、その後ロピタルの定理を使って極限を計算せよ。

Exercise 396問題 396

[T]

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}

［T］

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}

Exercise 397問題 397

[T]

lim_{x \to 0} x sin (\frac{1}{x})

［T］

lim_{x \to 0} x sin (\frac{1}{x})

Solution解き方

0

0

Exercise 398問題 398

[T]

lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{1 - cos (π x)}

［T］

lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{1 - cos (π x)}

Exercise 399問題 399

[T]

lim_{x \to 1} \frac{e^{(x - 1)} - 1}{x - 1}

［T］

lim_{x \to 1} \frac{e^{(x - 1)} - 1}{x - 1}

Solution解き方

1

1

Exercise 400問題 400

[T]

lim_{x \to 1} \frac{{(x - 1)}^{2}}{ln x}

［T］

lim_{x \to 1} \frac{{(x - 1)}^{2}}{ln x}

Exercise 401問題 401

[T]

lim_{x \to π} \frac{1 + cos x}{sin x}

［T］

lim_{x \to π} \frac{1 + cos x}{sin x}

Solution解き方

0

0

Exercise 402問題 402

[T]

lim_{x \to 0} (csc x - \frac{1}{x})

［T］

lim_{x \to 0} (csc x - \frac{1}{x})

Exercise 403問題 403

[T]

lim_{x \to 0^{+}} tan (x^{x})

［T］

lim_{x \to 0^{+}} tan (x^{x})

Solution解き方

tan (1)

tan (1)

Exercise 404問題 404

[T]

lim_{x \to 0^{+}} \frac{ln x}{sin x}

［T］

lim_{x \to 0^{+}} \frac{ln x}{sin x}

Exercise 405問題 405

[T]

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{− x}}{x}

［T］

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{− x}}{x}

Solution解き方

2

2

indeterminate forms

不定形

when evaluating a limit, the forms

\frac{0}{0},

\infty / \infty,

0 \cdot \infty,

\infty - \infty,

0^{0},

\infty^{0},

and

1^{\infty}

are considered indeterminate because further analysis is required to determine whether the limit exists and, if so, what its value is

極限を求めるときに現れる

\frac{0}{0}

、

\infty / \infty

、

0 \cdot \infty

、

\infty - \infty

、

0^{0}

、

\infty^{0}

、

1^{\infty}

のような形。極限が存在するか、存在するならいくつかを決めるには、さらに調べる必要がある。

L’Hôpital’s rule

ロピタルの定理

f

and

g

are differentiable functions over an interval

a,

except possibly at

a,

and

lim_{x \to a} f (x) = 0 = lim_{x \to a} g (x)

lim_{x \to a} f (x)

and

lim_{x \to a} g (x)

are infinite, then

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)},

assuming the limit on the right exists or is

\infty

− \infty

f

と

g

が、

a

を含む開区間で、点

a

を除いて微分可能であるとする。

lim_{x \to a} f (x) = 0 = lim_{x \to a} g (x)

であるか、

lim_{x \to a} f (x)

と

lim_{x \to a} g (x)

がともに無限大となるなら、

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

が成り立つ。ただし、右辺の極限が存在するか

\infty

または

− \infty

であり、分母の導関数はその近傍で0でないものとする。

第4章微分の応用

Growth Rates of Functions関数の増大の速さ

Comparing the Growth Rates of x2 and x3x2とx3の増大の速さを比較する

Comparing the Growth Rates of x2 and 3x2+4x+1x2と3x2+4x+1の増大の速さを比較する

Comparing the Growth Rates of ln(x), x2, and exln(x)、x2、exの増大の速さを比較する

Growth rates of a power function and an exponential function.べき関数と指数関数の増大の速さ

Growth rates of a power function and a logarithmic functionべき関数と対数関数の増大の速さ

An exponential function grows at a faster rate than any power function指数関数は、どのべき関数よりも速く増大する

A logarithmic function grows at a slower rate than any root function対数関数は、どのべき根の関数よりも遅く増大する

Key Concepts重要な概念

Comparing the Growth Rates of $x^{2}$ and $x^{3}$ $x^{2}$ と $x^{3}$ の増大の速さを比較する

Comparing the Growth Rates of $x^{2}$ and $3 x^{2} + 4 x + 1$ $x^{2}$ と $3 x^{2} + 4 x + 1$ の増大の速さを比較する

Comparing the Growth Rates of $ln (x),$ $x^{2},$ and $e^{x}$ $ln (x)$ 、 $x^{2}$ 、 $e^{x}$ の増大の速さを比較する