第4章微分の応用

Failures of Newton’s Methodニュートン法がうまくいかない場合

1. At one of the approximations $x_n,$ the derivative $f^{\prime }$ is zero at $x_n,$ but $f\left(x_n\right)\ne 0.$ As a result, the tangent line of $f$ at $x_n$ does not intersect the $x$-axis. Therefore, we cannot continue the iterative process.

   途中の近似値$x_n$において、導関数$f^{\prime }$は$x_n$で0だが、$f\left(x_n\right)\ne 0$である。この場合、$x_n$での$f$の接線は$x$軸と交わらず、反復を続けられない。
2. The approximations $x_0,x_1,x_2\text{,…}$ may approach a different root. If the function $f$ has more than one root, it is possible that our approximations do not approach the one for which we are looking, but approach a different root (see Figure 4.80). This event most often occurs when we do not choose the approximation $x_0$ close enough to the desired root.

   英語のヒント

   近似値$x_0,x_1,x_2\text{,…}$が、目的とは違う根に近づくことがある。関数$f$が複数の根を持つ場合、探していた根とは別の根へ近づく可能性がある（図4.80）。これは、最初の近似値$x_0$を、求めたい根に十分近く選ばなかったときに起こりやすい。
3. The approximations may fail to approach a root entirely. In Example 4.48, we provide an example of a function and an initial guess $x_0$ such that the successive approximations never approach a root because the successive approximations continue to alternate back and forth between two values.

   英語のヒント

   近似値が、どの根にも近づかないことがある。例題4.48では、ある関数と初期値$x_0$に対して、近似値が2つの値を交互に行き来し続け、根に近づかない例を示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Example 4.48例題 4.48

When Newton’s Method Failsニュートン法が失敗する例

Consider the function $f\left(x\right)=x^3-2x+2.$ Let $x_0=0.$ Show that the sequence $x_1,x_2\text{,…}$ fails to approach a root of $f.$

関数$f\left(x\right)=x^3-2x+2$を考え、$x_0=0$とする。数列$x_1,x_2\text{,…}$が$f$の根に近づかないことを示せ。

Solution解き方

For $f\left(x\right)=x^3-2x+2,$ the derivative is $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-2.$ Therefore,

$f\left(x\right)=x^3-2x+2$の導関数は$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-2$である。したがって、

$x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime }\left(x_0\right)}=0-\frac{f\left(0\right)}{f^{\prime }\left(0\right)}=-\frac{2}{\mathrm{-2}}=1.$

$x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime }\left(x_0\right)}=0-\frac{f\left(0\right)}{f^{\prime }\left(0\right)}=-\frac{2}{\mathrm{-2}}=1$

In the next step,

次の段階では、

$x_2=x_1-\frac{f\left(x_1\right)}{f\prime \left(x_1\right)}=1-\frac{f\left(1\right)}{f^{\prime }\left(1\right)}=1-\frac{1}{1}=0.$

$x_2=x_1-\frac{f\left(x_1\right)}{f\prime \left(x_1\right)}=1-\frac{f\left(1\right)}{f^{\prime }\left(1\right)}=1-\frac{1}{1}=0$

Consequently, the numbers $x_0,x_1,x_2\text{,…}$ continue to bounce back and forth between $0$ and $1$ and never get closer to the root of $f$ which is over the interval $\left[\mathrm{-2},\mathrm{-1}\right]$ (see Figure 4.81). Fortunately, if we choose an initial approximation $x_0$ closer to the actual root, we can avoid this situation.

このため、$x_0,x_1,x_2\text{,…}$は$0$と$1$の間を行き来し続け、区間$\left[\mathrm{-2},\mathrm{-1}\right]$にある$f$の根には近づかない（図4.81）。実際の根にもっと近い初期値$x_0$を選べば、この状況を避けられる。

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Other Iterative Processesほかの反復過程

Example 4.49例題 4.49

Finding a Limit for an Iterative Process反復過程の極限を求める

Let $F\left(x\right)=\frac{1}{2}x+4$ and let $x_0=0.$ For all $n\ge 1,$ let $x_n=F\left(x_{n-1}\right).$ Find the values $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5.$ Make a conjecture about what happens to this list of numbers $x_1,x_2,x_3\text{…},x_n\text{,…}$ as $n\to \infty .$ If the list of numbers $x_1,x_2,x_3\text{,…}$ approaches a finite number $x*,$ then $x*$ satisfies $x*=F\left(x*\right),$ and $x*$ is called a fixed point of $F.$

英語のヒント

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}x+4$、$x_0=0$とする。すべての$n\ge 1$について$x_n=F\left(x_{n-1}\right)$と定め、$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$を求めよ。$n\to \infty$のとき、この数列$x_1,x_2,x_3\text{…},x_n\text{,…}$がどうなるかを推測せよ。数列$x_1,x_2,x_3\text{,…}$が有限の値$x*$へ近づくなら、この連続な関数では$x*$は$x*=F\left(x*\right)$を満たす。$x*$を$F$の不動点という。

Solution解き方

If $x_0=0,$ then

$x_0=0$ならば、

$\begin{array}{}\\ \\ x_1=\frac{1}{2}\left(0\right)+4=4\hfill \\ x_2=\frac{1}{2}\left(4\right)+4=6\hfill \\ x_3=\frac{1}{2}\left(6\right)+4=7\hfill \\ x_4=\frac{1}{2}\left(7\right)+4=7.5\hfill \\ x_5=\frac{1}{2}\left(7.5\right)+4=7.75\hfill \\ x_6=\frac{1}{2}\left(7.75\right)+4=7.875\hfill \\ x_7=\frac{1}{2}\left(7.875\right)+4=7.9375\hfill \\ x_8=\frac{1}{2}\left(7.9375\right)+4=7.96875\hfill \\ x_9=\frac{1}{2}\left(7.96875\right)+4=\mathrm{7.984375.}\hfill \end{array}$

From this list, we conjecture that the values $x_n$ approach $8.$

これらの値から、$x_n$は$8.$に近づくと予想できる。

Figure 4.82 provides a graphical argument that the values approach $8$ as $n\to \infty .$ Starting at the point $\left(x_0,x_0\right),$ we draw a vertical line to the point $\left(x_0,F\left(x_0\right)\right).$ The next number in our list is $x_1=F\left(x_0\right).$ We use $x_1$ to calculate $x_2.$ Therefore, we draw a horizontal line connecting $\left(x_0,x_1\right)$ to the point $\left(x_1,x_1\right)$ on the line $y=x,$ and then draw a vertical line connecting $\left(x_1,x_1\right)$ to the point $\left(x_1,F\left(x_1\right)\right).$ The output $F\left(x_1\right)$ becomes $x_2.$ Continuing in this way, we could create an infinite number of line segments. These line segments are trapped between the lines $F\left(x\right)=\frac{x}{2}+4$ and $y=x.$ The line segments get closer to the intersection point of these two lines, which occurs when $x=F\left(x\right).$ Solving the equation $x=\frac{x}{2}+4,$ we conclude they intersect at $x=8.$ Therefore, our graphical evidence agrees with our numerical evidence that the list of numbers $x_0,x_1,x_2\text{,…}$ approaches $x*=8$ as $n\to \infty .$

図4.82は、$n\to \infty$のとき値が$8$へ近づくことを、グラフで説明している。点$\left(x_0,x_0\right)$から鉛直線を引き、点$\left(x_0,F\left(x_0\right)\right)$へ進む。数列の次の値は$x_1=F\left(x_0\right)$である。$x_1$から$x_2$を計算するため、$\left(x_0,x_1\right)$から水平線を引き、直線$y=x$上の点$\left(x_1,x_1\right)$へ進む。そこから鉛直線で$\left(x_1,x_1\right)$と$\left(x_1,F\left(x_1\right)\right)$を結ぶ。出力$F\left(x_1\right)$が次の値$x_2$になる。この操作を続ければ、線分をいくらでも作れる。それらは$F\left(x\right)=\frac{x}{2}+4$と$y=x$の2直線の間に収まり、2直線の交点へ近づく。交点では$x=F\left(x\right)$なので、$x=\frac{x}{2}+4$を解くと$x=8$とわかる。こうして、グラフからも数値計算からも、$n\to \infty$のとき数列$x_0,x_1,x_2\text{,…}$は$x*=8$へ近づくと考えられる。

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