第4章微分の応用

Key Concepts重要な概念

To solve an optimization problem, begin by drawing a picture and introducing variables.
最適化問題では、まず図を描き、変数を定義する。
Find an equation relating the variables.
変数どうしの関係を表す方程式を作る。
Find a function of one variable to describe the quantity that is to be minimized or maximized.
最大または最小にしたい量を、一変数の関数で表す。
Look for critical points to locate local extrema.
臨界点を調べて極値の候補を求める。さらに、端点や端での振る舞いも確認し、区間全体の最大・最小を判定する。

Exercises 311–314練習問題 311–314

For the following exercises, answer by proof, counterexample, or explanation.

次の問いに、証明・反例・説明のいずれかを用いて答えよ。

Exercise 311問題 311

When you find the maximum for an optimization problem, why do you need to check the sign of the derivative around the critical points?

最適化問題で最大値を探すとき、臨界点の周囲で導関数の符号を調べるのはなぜか。

Solution解き方

The critical points can be the minima, maxima, or neither.

臨界点は、極小点にも極大点にもなりうるし、どちらでもないこともあるからである。

Exercise 312問題 312

Why do you need to check the endpoints for optimization problems?

最適化問題では、なぜ端点も調べる必要があるのか。

Exercise 313問題 313

True or False. For every continuous nonlinear function, you can find the value

x

that maximizes the function.

正しいか誤りか。「連続な非線形関数なら、必ずその関数を最大にする

x

を求められる。」

Solution解き方

False;

y = x^{2}

has a minimum only

誤り。例えば実数全体での

y = x^{2}

は最小値だけをもち、最大値はもたない。

Exercise 314問題 314

True or False. For every continuous nonconstant function on a closed, finite domain, there exists at least one

x

that minimizes or maximizes the function.

英語のヒント

正しいか誤りか。「空でない有界な閉じた定義域上の連続な非定数関数では、関数を最小または最大にする

x

が少なくとも一つ存在する。」

Exercises 315–318練習問題 315–318

For the following exercises, set up and evaluate each optimization problem.

次の最適化問題を立式し、解け。

Exercise 315問題 315

To carry a suitcase on an airplane, the length

+ width +

height of the box must be less than or equal to

62 in .

Assuming the base of the suitcase is square, show that the volume is

V = h {(31 - (\frac{1}{2}) h)}^{2} .

What height allows you to have the largest volume?

飛行機に持ち込むスーツケースでは、長さ

+ 幅 +

高さの合計が

62 in

以下でなければならない。底面が正方形とし、寸法の合計を上限まで使うと、体積が

V = h {(31 - (\frac{1}{2}) h)}^{2}

となることを示せ。どの高さで体積が最大になるか。

Solution解き方

h = \frac{62}{3}

in.

h = \frac{62}{3}

in。

Exercise 316問題 316

You are constructing a cardboard box with the dimensions

2 m by 4 m .

You then cut equal-size squares from each corner so you may fold the edges. What are the dimensions of the box with the largest volume?

2 m × 4 m

の長方形の厚紙から箱を作る。四隅から同じ大きさの正方形を切り取り、辺を折り上げる。体積が最大になる箱の寸法を求めよ。

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Exercise 317問題 317

Find the positive integer that minimizes the sum of the number and its reciprocal.

正の整数とその逆数の和が最小になるような、正の整数を求めよ。

Solution解き方

1

1

Exercise 318問題 318

Find two positive integers such that their sum is

10,

and minimize and maximize the sum of their squares.

和が

10

となる二つの正の整数について、平方和を最小にする組と最大にする組を求めよ。

Exercises 319–326練習問題 319–326

For the following exercises, consider the construction of a pen to enclose an area.

以下の問題では、柵で土地を囲うことを考える。

Exercise 319問題 319

You have

400 ft

of fencing to construct a rectangular pen for cattle. What are the dimensions of the pen that maximize the area?

400 ft

の柵を使って、牛のための長方形の囲いを作る。面積を最大にする寸法を求めよ。

Solution解き方

100 ft by 100 ft

100 フィート × 100 ft

Exercise 320問題 320

You have

800 ft

of fencing to make a pen for hogs. If you have a river on one side of your property, what is the dimension of the rectangular pen that maximizes the area?

800 ft

の柵で豚の囲いを作る。土地の一辺に川があり、その辺には柵が不要とする。面積が最大になる長方形の囲いの寸法を求めよ。

Exercise 321問題 321

You need to construct a fence around an area of

1600 {ft}^{2} .

What are the dimensions of the rectangular pen to minimize the amount of material needed?

面積

1600 {ft}^{2}

の土地の周囲に柵を作る。必要な材料を最小にする長方形の寸法を求めよ。

Solution解き方

40 ft by 40 ft

40 フィート × 40 ft

Exercise 322問題 322

Two poles are connected by a wire that is also connected to the ground. The first pole is

20 ft

tall and the second pole is

10 ft

tall. There is a distance of

30 ft

between the two poles. Where should the wire be anchored to the ground to minimize the amount of wire needed?

2本の柱の上端から、地面上の同じ固定点へ針金を張る。柱の高さはそれぞれ

20 ft

と

10 ft

、柱の間の距離は

30 ft

である。必要な針金の合計を最小にするには、地面のどこに固定すればよいか。

高さ10 ftと20 ftの2本の柱が、30 ft離れて立っている。地面の固定点から両柱の上端へ針金を張る。短い柱から固定点までの距離がxと示されている。

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Exercise 323問題 323

[T] You are moving into a new apartment and notice there is a corner where the hallway narrows from

8 ft to 6 ft .

What is the length of the longest item that can be carried horizontally around the corner?

［電卓使用］新居への引っ越し中、廊下が直角に曲がるところで幅が

8 ftから6 ft

へ狭くなっていることに気づいた。この角を水平のまま通せる、細い棒状の荷物の最大の長さを求めよ。

幅8 ftの廊下と幅6 ftの廊下が直角につながるL字形。長さLの線分が内側の角に接し、両端がそれぞれ外側の壁に届いている。

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Solution解き方

19.73 ft .

19.73 ft

Exercise 324問題 324

A patient’s pulse measures

70 bpm, 80 bpm, then 120 bpm .

To determine an accurate measurement of pulse, the doctor wants to know what value minimizes the expression

{(x - 70)}^{2} + {(x - 80)}^{2} + {(x - 120)}^{2} ?

What value minimizes it?

ある患者の脈拍を3回測ると、

70 bpm、80 bpm、120 bpmの順

だった。代表値を求めるため、医師は式

{(x - 70)}^{2} + {(x - 80)}^{2} + {(x - 120)}^{2}

を最小にする値を知りたい。その値を求めよ。

Exercise 325問題 325

In the previous problem, assume the patient was nervous during the third measurement, so we only weight that value half as much as the others. What is the value that minimizes

{(x - 70)}^{2} + {(x - 80)}^{2} + \frac{1}{2} {(x - 120)}^{2} ?

前問で、患者は3回目の測定時に緊張していたとする。その値の重みを他の値の半分にするとき、

{(x - 70)}^{2} + {(x - 80)}^{2} + \frac{1}{2} {(x - 120)}^{2}

を最小にする値を求めよ。

Solution解き方

84 bpm

84 bpm

Exercise 326問題 326

You can run at a speed of

6

mph and swim at a speed of

3

mph and are located on the shore,

4

miles east of an island that is

1

mile north of the shoreline. How far should you run west to minimize the time needed to reach the island?

走る速さが

6

mph、泳ぐ速さが

3

mphである。島は海岸から北へ

1

miにあり、現在地は島の真南の海岸上の点から東へ

4

miの地点である。島までの時間を最小にするには、西へどれだけ走ってから泳げばよいか。

縦1 mi、横4 miの長方形の図。右下に現在地、左上に島が示される。下辺は海岸で、島はその北側にある。

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Exercises 327–329練習問題 327–329

For the following problems, consider a lifeguard at a circular pool with diameter

40 m .

He must reach someone who is drowning on the exact opposite side of the pool, at position

C .

The lifeguard swims with a speed

v

and runs around the pool at speed

w = 3 v .

以下の問題では、直径

40 m

の円形プールにいる救助員を考える。救助員は、ちょうど反対側の位置

C

で溺れている人のもとへ行かなければならない。泳ぐ速さは

v

、プールの縁を走る速さは

w = 3 v

とする。

円の直径の両端がAとC。円周上の別の点BへAから泳ぎ、BからCまで縁を走る経路を考える。泳ぐ方向ABと直径ACのなす角BACをθとしている。

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Exercise 327問題 327

Find a function that measures the total amount of time it takes to reach the drowning person as a function of the swim angle,

θ .

溺れている人に到達するまでの時間の合計を、泳ぐ角度

θ

の関数として表せ。

Solution解き方

T (θ) = \frac{40 θ}{3 v} + \frac{40 cos θ}{v}

T (θ) = \frac{40 θ}{3 v} + \frac{40 cos θ}{v}

Exercise 328問題 328

Find at what angle

θ

the lifeguard should swim to reach the drowning person in the least amount of time.

最短時間で到達するには、どの角度

θ

で泳げばよいかを求めよ。

Exercise 329問題 329

A truck uses gas as

g (v) = a v + \frac{b}{v},

where

v

represents the speed of the truck and

g

represents the gallons of fuel per mile. Assuming

a

and

b

are positive, at what speed is fuel consumption minimized?

トラックの燃料消費が

g (v) = a v + \frac{b}{v}

で表される。

v

は速さ、

g

は1 miあたりに使う燃料のガロン数を表す。

a

と

b

が正のとき、燃料消費を最小にする速さを求めよ。

Solution解き方

v = \sqrt{\frac{b}{a}}

v = \sqrt{\frac{b}{a}}

Exercises 330–331練習問題 330–331

For the following exercises, consider a limousine that gets

m (v) = \frac{(120 - 2 v)}{5} mi/gal

at speed

v,

the chauffeur costs

$15/h,

and gas is

$ 3.5 / gal .

以下の問題では、速さ

v

mphで走るときの燃費が

m (v) = \frac{(120 - 2 v)}{5} mi/gal

のリムジンを考える。運転手の人件費は

$15/h

、ガソリン代は

$ 3.5 / gal

とする。

Exercise 330問題 330

Find the cost per mile at speed

v .

速さ

v

で走るときの、1 miあたりの費用を求めよ。

Exercise 331問題 331

Find the cheapest driving speed.

費用が最小になる走行速度を求めよ。

Solution解き方

approximately

34 mph

約

34 mph

。

Exercises 332–334練習問題 332–334

For the following exercises, consider a pizzeria that sell pizzas for a revenue of

R (x) = a x

and costs

C (x) = b + c x + d x^{2},

where

x

represents the number of pizzas

; a > c

以下の問題では、ピザ店の売上高を

R (x) = a x

、費用を

C (x) = b + c x + d x^{2}

とする。

x

はピザの販売枚数を表す。係数は

; a > c

を満たす。

Exercise 332問題 332

Find the profit function for the number of pizzas. How many pizzas gives the largest profit per pizza?

販売枚数に対する利益の関数を求めよ。また、1枚あたりの利益を最大にする販売枚数を求めよ。総利益と1枚あたりの利益を区別すること。

Exercise 333問題 333

Assume that

R (x) = 10 x

and

C (x) = 2 x + x^{2} .

How many pizzas sold maximizes the profit?

R (x) = 10 x

、

C (x) = 2 x + x^{2}

とする。何枚売れば総利益が最大になるか。

Solution解き方

4

4

Exercise 334問題 334

Assume that

R (x) = 15 x,

and

C (x) = 60 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} .

How many pizzas sold maximizes the profit?

R (x) = 15 x

、

C (x) = 60 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2}

とする。何枚売れば総利益が最大になるか。

Exercises 335–336練習問題 335–336

For the following exercises, consider a wire

4 ft

long cut into two pieces. One piece forms a circle with radius

r

and the other forms a square of side

x .

以下の問題では、長さ

4 ft

の針金を二つに分け、一方で半径

r

の円、他方で一辺

x

の正方形を作る。一方の長さが0になる境界の場合も含めて考える。

Exercise 335問題 335

Choose

x

to maximize the sum of their areas.

面積の合計を最大にする

x

を求めよ。

Solution解き方

0

0

Exercise 336問題 336

Choose

x

to minimize the sum of their areas.

面積の合計を最小にする

x

を求めよ。

Exercises 337–340練習問題 337–340

For the following exercises, consider two nonnegative numbers

x

and

y

such that

x + y = 10 .

Maximize and minimize the quantities.

非負の数

x

、

y

が

x + y = 10

を満たすとする。次の各量の最大・最小を調べよ。

Exercise 337問題 337

x y

x y

Solution解き方

Maximal:

x = 5, y = 5;

minimal:

x = 0, y = 10

and

y = 0, x = 10

最大になる組：

x = 5, y = 5

。最小になる組：

x = 0, y = 10

または

y = 0, x = 10

。

Exercise 338問題 338

x^{2} y^{2}

x^{2} y^{2}

Exercise 339問題 339

y - \frac{1}{x}

y - \frac{1}{x}

Solution解き方

Maximal:

x = 1, y = 9;

minimal: none

最大になる組：

x = 1, y = 9

。最小値はない。

Exercise 340問題 340

x^{2} - y

x^{2} - y

Exercises 341–346練習問題 341–346

For the following exercises, draw the given optimization problem and solve.

次の最適化問題について図を描き、解け。

Exercise 341問題 341

Find the volume of the largest right circular cylinder that fits in a sphere of radius

1 .

半径

1 .

の球に収まる直円柱のうち、体積が最大になるものの体積を求めよ。

Solution解き方

\frac{4 π}{3 \sqrt{3}}

\frac{4 π}{3 \sqrt{3}}

Exercise 342問題 342

Find the volume of the largest right cone that fits in a sphere of radius

1 .

半径

1 .

の球に収まる直円錐のうち、体積が最大になるものの体積を求めよ。

Exercise 343問題 343

Find the area of the largest rectangle that fits into the triangle with sides

x = 0, y = 0

and

\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1 .

直線

x = 0, y = 0

と

\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1

で囲まれた三角形に収まる長方形について、最大面積を求めよ。

Solution解き方

6

6

Exercise 344問題 344

Find the largest volume of a cylinder that fits into a cone that has base radius

R

and height

h .

底面の半径

R

、高さ

h

の円錐に内接する円柱の最大体積を求めよ。

Exercise 345問題 345

Find the dimensions of the closed cylinder volume

V = 16 π

that has the least amount of surface area.

体積

V = 16 π

で上下にふたのある円柱について、表面積を最小にする寸法を求めよ。

Solution解き方

r = 2, h = 4

r = 2, h = 4

Exercise 346問題 346

Find the dimensions of a right cone with surface area

S = 4 π

that has the largest volume.

表面積

S = 4 π

の直円錐について、体積を最大にする寸法を求めよ。表面積には底面も含める。