第4章微分の応用

End Behavior for Polynomial Functions多項式関数の無限遠での振る舞い

Consider the power function

f (x) = x^{n}

where

n

is a positive integer. From Figure 4.50 and Figure 4.51, we see that

n

を正の整数とし、累乗関数

f (x) = x^{n}

を考える。図4.50と図4.51から、次のことが分かる。

lim_{x \to \infty} x^{n} = \infty; n = 1, 2, 3,…

and

また、

lim_{x \to − \infty} x^{n} = {\begin{matrix} \infty; n = 2, 4, 6,… \\ − \infty; n = 1, 3, 5,… \end{matrix} .

lim_{x \to − \infty} x^{n} = {\begin{matrix} \infty; n = 2, 4, 6,… \\ − \infty; n = 1, 3, 5,… \end{matrix}

x²、x⁴、x⁶のグラフ。いずれもy軸に対称で、左右の遠方では正の無限大へ向かう。|x|が1を超えると、指数が大きい関数ほど急速に増大する。 — Figure 4.50図 4.50
For power functions with an even exponent of $n,$ $lim_{x \to \infty} x^{n} = \infty = lim_{x \to − \infty} x^{n} .$
指数 $n$ が偶数である累乗関数では、 $lim_{x \to \infty} x^{n} = \infty = lim_{x \to − \infty} x^{n}$ となる。

x、x³、x⁵のグラフ。いずれも原点を通り、右の遠方では正の無限大、左の遠方では負の無限大へ向かう。|x|が1を超えると、指数が大きい関数ほど絶対値が速く増大する。 — Figure 4.51図 4.51
For power functions with an odd exponent of $n,$ $lim_{x \to \infty} x^{n} = \infty$ and $lim_{x \to − \infty} x^{n} = − \infty .$
指数 $n$ が奇数である累乗関数では、 $lim_{x \to \infty} x^{n} = \infty$ かつ $lim_{x \to − \infty} x^{n} = − \infty$ となる。

Using these facts, it is not difficult to evaluate

lim_{x \to \infty} c x^{n}

and

lim_{x \to − \infty} c x^{n},

where

c

is any constant and

n

is a positive integer. If

c > 0,

the graph of

y = c x^{n}

is a vertical stretch or compression of

y = x^{n},

and therefore

以上を使えば、

c

を任意の定数、

n

を正の整数とするときの

lim_{x \to \infty} c x^{n}

と

lim_{x \to − \infty} c x^{n}

を求められる。

c > 0

の場合、

y = c x^{n}

のグラフは

y = x^{n}

のグラフを縦方向に拡大または縮小したものなので、次の結果が得られる。

lim_{x \to \infty} c x^{n} = lim_{x \to \infty} x^{n} and lim_{x \to − \infty} c x^{n} = lim_{x \to − \infty} x^{n} if c > 0 .

lim_{x \to \infty} c x^{n} = lim_{x \to \infty} x^{n} および lim_{x \to − \infty} c x^{n} = lim_{x \to − \infty} x^{n} 条件： c > 0

c < 0,

the graph of

y = c x^{n}

is a vertical stretch or compression combined with a reflection about the

x

-axis, and therefore

c < 0

の場合、

y = c x^{n}

のグラフは、縦方向の拡大・縮小と

x

軸に関する対称移動を組み合わせたものになる。したがって、次の結果が得られる。

lim_{x \to \infty} c x^{n} = − lim_{x \to \infty} x^{n} and lim_{x \to − \infty} c x^{n} = − lim_{x \to − \infty} x^{n} if c < 0 .

lim_{x \to \infty} c x^{n} = − lim_{x \to \infty} x^{n} および lim_{x \to − \infty} c x^{n} = − lim_{x \to − \infty} x^{n} 条件： c < 0

c = 0, y = c x^{n} = 0,

in which case

lim_{x \to \infty} c x^{n} = 0 = lim_{x \to − \infty} c x^{n} .

c = 0

y = c x^{n} = 0

なので、

lim_{x \to \infty} c x^{n} = 0 = lim_{x \to − \infty} c x^{n}

となる。

Example 4.24例題 4.24

Limits at Infinity for Power Functions累乗関数の無限遠での極限

For each function

f,

evaluate

lim_{x \to \infty} f (x)

and

lim_{x \to − \infty} f (x) .

各関数

f

について、

lim_{x \to \infty} f (x)

と

lim_{x \to − \infty} f (x)

を求めよ。

$f (x) = −5 x^{3}$
$f (x) = −5 x^{3}$
$f (x) = 2 x^{4}$
$f (x) = 2 x^{4}$

Solution解き方

Since the coefficient of $x^{3}$ is $−5,$ the graph of $f (x) = −5 x^{3}$ involves a vertical stretch and reflection of the graph of $y = x^{3}$ about the $x$ -axis. Therefore, $lim_{x \to \infty} (−5 x^{3}) = − \infty$ and $lim_{x \to − \infty} (−5 x^{3}) = \infty .$
$x^{3}$ の係数は $−5$ なので、 $f (x) = −5 x^{3}$ のグラフは、 $y = x^{3}$ のグラフを縦方向に拡大し、 $x$ 軸に関して対称移動したものになる。したがって、 $lim_{x \to \infty} (−5 x^{3}) = − \infty$ かつ $lim_{x \to − \infty} (−5 x^{3}) = \infty$ である。
Since the coefficient of $x^{4}$ is $2,$ the graph of $f (x) = 2 x^{4}$ is a vertical stretch of the graph of $y = x^{4} .$ Therefore, $lim_{x \to \infty} 2 x^{4} = \infty$ and $lim_{x \to − \infty} 2 x^{4} = \infty .$
$x^{4}$ の係数は $2$ なので、 $f (x) = 2 x^{4}$ のグラフは $y = x^{4}$ のグラフを縦方向に拡大したものになる。したがって、 $lim_{x \to \infty} 2 x^{4} = \infty$ かつ $lim_{x \to − \infty} 2 x^{4} = \infty$ である。

We now look at how the limits at infinity for power functions can be used to determine

lim_{x \to ± \infty} f (x)

for any polynomial function

f .

Consider a polynomial function

次に、累乗関数の無限遠での極限を利用して、任意の多項式関数

f

の

lim_{x \to ± \infty} f (x)

を求める方法を考える。次の多項式関数をとる。

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0}

of degree

n \geq 1

so that

a_{n} \neq 0 .

Factoring, we see that

次数を

n \geq 1

とするので、

a_{n} \neq 0

である。共通因子をくくり出すと、

f (x) = a_{n} x^{n} (1 + \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \frac{1}{x} + … + \frac{a_{1}}{a_{n}} \frac{1}{x^{n - 1}} + \frac{a_{0}}{a_{n}} \frac{1}{x^{n}}) .

f (x) = a_{n} x^{n} (1 + \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \frac{1}{x} + … + \frac{a_{1}}{a_{n}} \frac{1}{x^{n - 1}} + \frac{a_{0}}{a_{n}} \frac{1}{x^{n}})

x \to ± \infty,

all the terms inside the parentheses approach zero except the first term. We conclude that

x \to ± \infty

のとき、括弧内の第1項以外はすべて0へ近づく。したがって、次のことが分かる。

lim_{x \to ± \infty} f (x) = lim_{x \to ± \infty} a_{n} x^{n} .

lim_{x \to ± \infty} f (x) = lim_{x \to ± \infty} a_{n} x^{n}

For example, the function

f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 4

behaves like

g (x) = 5 x^{3}

x \to ± \infty

as shown in Figure 4.52 and Table 4.4.

例えば、関数

f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 4

は、

x \to ± \infty

のとき

g (x) = 5 x^{3}

と同じ向きに発散する。図4.52と表4.4を参照。

f(x)=5x³−3x²+4とg(x)=5x³のグラフ。両関数は、右の遠方では正の無限大へ、左の遠方では負の無限大へ向かう。関数値の差が0になるという意味ではなく、最高次の項が発散の向きと主要な増大率を決めている。 — Figure 4.52図 4.52
The end behavior of a polynomial is determined by the behavior of the term with the largest exponent.
英語のヒント
多項式の無限遠での振る舞いは、最高次の項によって決まる。

A polynomial’s end behavior is determined by the term with the largest exponent.多項式の無限遠での振る舞いを決めるのは最高次の項である。

Table 4.4表 4.4
$x$	$10$	$100$	$1000$
$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 4$	$4704$	$4,970,004$	$4,997,000,004$
$g (x) = 5 x^{3}$	$5000$	$5,000,000$	$5,000,000,000$
$x$	$−10$	$−100$	$−1000$
$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 4$	$−5296$	$−5,029,996$	$−5,002,999,996$
$g (x) = 5 x^{3}$	$−5000$	$−5,000,000$	$−5,000,000,000$

End Behavior for Algebraic Functions代数関数の無限遠での振る舞い

The end behavior for rational functions and functions involving radicals is a little more complicated than for polynomials. In Example 4.25, we show that the limits at infinity of a rational function

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}

depend on the relationship between the degree of the numerator and the degree of the denominator. To evaluate the limits at infinity for a rational function, we divide the numerator and denominator by the highest power of

x

appearing in the denominator. This determines which term in the overall expression dominates the behavior of the function at large values of

x .

英語のヒント

有理関数や根号を含む関数の無限遠での振る舞いは、多項式の場合より少し複雑になる。例4.25では、有理関数

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}

の無限遠での極限が、分子と分母の次数の関係によって決まることを示す。有理関数の無限遠での極限を求めるには、分子と分母を、分母に現れる

x

の最高の累乗で割る。すると、

x

が大きいとき、式のどの項が関数の振る舞いを支配するかが分かる。

Example 4.25例題 4.25

Determining End Behavior for Rational Functions有理関数の無限遠での振る舞いを調べる

For each of the following functions, determine the limits as

x \to \infty

and

x \to − \infty .

Then, use this information to describe the end behavior of the function.

次の各関数について、

x \to \infty

と

x \to − \infty

のときの極限を求めよ。その結果を使って、無限遠での振る舞いを説明せよ。

$f (x) = \frac{3 x - 1}{2 x + 5}$ (Note: The degree of the numerator and the denominator are the same.)
$f (x) = \frac{3 x - 1}{2 x + 5}$ （分子と分母の次数は等しい。）
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x}{4 x^{3} - 5 x + 7}$ (Note: The degree of numerator is less than the degree of the denominator.)
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x}{4 x^{3} - 5 x + 7}$ （分子の次数は分母の次数より小さい。）
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2}$ (Note: The degree of numerator is greater than the degree of the denominator.)
$f (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2}$ （分子の次数は分母の次数より大きい。）

Solution解き方

The highest power of $x$ in the denominator is $x .$ Therefore, dividing the numerator and denominator by $x$ and applying the algebraic limit laws, we see that
分母に現れる $x$ の最高の累乗は $x$ である。そこで分子と分母を $x$ で割り、極限の四則演算の法則を使うと、

$\begin{matrix} lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x - 1}{2 x + 5} & = lim_{x \to ± \infty} \frac{3 - 1 / x}{2 + 5 / x} \\ = \frac{lim_{x \to ± \infty} (3 - 1 / x)}{lim_{x \to ± \infty} (2 + 5 / x)} \\ = \frac{lim_{x \to ± \infty} 3 - lim_{x \to ± \infty} 1 / x}{lim_{x \to ± \infty} 2 + lim_{x \to ± \infty} 5 / x} \\ = \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} . \end{matrix}$

Since $lim_{x \to ± \infty} f (x) = \frac{3}{2},$ we know that $y = \frac{3}{2}$ is a horizontal asymptote for this function as shown in the following graph.
$lim_{x \to ± \infty} f (x) = \frac{3}{2}$ なので、 $y = \frac{3}{2}$ がこの関数の水平漸近線である。次のグラフに示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.53図 4.53
The graph of this rational function approaches a horizontal asymptote as $x \to ± \infty .$
この有理関数のグラフは、 $x \to ± \infty$ のとき水平漸近線へ近づく。
Since the largest power of $x$ appearing in the denominator is $x^{3},$ divide the numerator and denominator by $x^{3} .$ After doing so and applying algebraic limit laws, we obtain
分母に現れる $x$ の最高の累乗は $x^{3}$ なので、分子と分母を $x^{3}$ で割る。そのうえで極限の四則演算の法則を使うと、

$lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x}{4 x^{3} - 5 x + 7} = lim_{x \to ± \infty} \frac{3 / x + 2 / x^{2}}{4 - 5 / x^{2} + 7 / x^{3}} = \frac{3 (0) + 2 (0)}{4 - 5 (0) + 7 (0)} = 0 .$
$lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x}{4 x^{3} - 5 x + 7} = lim_{x \to ± \infty} \frac{3 / x + 2 / x^{2}}{4 - 5 / x^{2} + 7 / x^{3}} = \frac{3 (0) + 2 (0)}{4 - 5 (0) + 7 (0)} = 0$

Therefore $f$ has a horizontal asymptote of $y = 0$ as shown in the following graph.
したがって、 $f$ には水平漸近線 $y = 0$ がある。次のグラフに示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.54図 4.54
The graph of this rational function approaches the horizontal asymptote $y = 0$ as $x \to ± \infty .$
この有理関数のグラフは、 $x \to ± \infty$ のとき水平漸近線 $y = 0$ へ近づく。
Dividing the numerator and denominator by $x,$ we have
分子と分母を $x$ で割ると、

$lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2} = lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x + 4}{1 + 2 / x} .$
$lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2} = lim_{x \to ± \infty} \frac{3 x + 4}{1 + 2 / x}$

As $x \to ± \infty,$ the denominator approaches $1 .$ As $x \to \infty,$ the numerator approaches $+ \infty .$ As $x \to − \infty,$ the numerator approaches $− \infty .$ Therefore $lim_{x \to \infty} f (x) = \infty,$ whereas $lim_{x \to − \infty} f (x) = − \infty$ as shown in the following figure.
$x \to ± \infty$ のとき、分母は $1 .$ へ近づく。 $x \to \infty$ のとき分子は $+ \infty$ へ向かい、 $x \to − \infty$ のとき分子は $− \infty$ へ向かう。したがって、 $lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ であり、 $lim_{x \to − \infty} f (x) = − \infty$ である。次の図に示す。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.55図 4.55
As $x \to \infty,$ the values $f (x) \to \infty .$ As $x \to − \infty,$ the values $f (x) \to − \infty .$
$x \to \infty$ のとき $f (x) \to \infty$ となり、 $x \to − \infty$ のとき $f (x) \to − \infty$ となる。

Before proceeding, consider the graph of

f (x) = \frac{(3 x^{2} + 4 x)}{(x + 2)}

shown in Figure 4.56. As

x \to \infty

and

x \to − \infty,

the graph of

f

appears almost linear. Although

f

is certainly not a linear function, we now investigate why the graph of

f

seems to be approaching a linear function. First, using long division of polynomials, we can write

英語のヒント

先へ進む前に、図4.56の

f (x) = \frac{(3 x^{2} + 4 x)}{(x + 2)}

のグラフを考えよう。

x \to \infty

および

x \to − \infty

のとき、

f

のグラフはほぼ直線に見える。

f

自体は1次関数ではない。それでも

f

のグラフが直線へ近づいて見えるのはなぜか。まず、多項式の割り算を行うと、次のように書ける。

f (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2} = 3 x - 2 + \frac{4}{x + 2} .

f (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{x + 2} = 3 x - 2 + \frac{4}{x + 2}

Since

\frac{4}{(x + 2)} \to 0

x \to ± \infty,

we conclude that

x \to ± \infty

のとき

\frac{4}{(x + 2)} \to 0

なので、

lim_{x \to ± \infty} (f (x) - (3 x - 2)) = lim_{x \to ± \infty} \frac{4}{x + 2} = 0 .

lim_{x \to ± \infty} (f (x) - (3 x - 2)) = lim_{x \to ± \infty} \frac{4}{x + 2} = 0

Therefore, the graph of

f

approaches the line

y = 3 x - 2

x \to ± \infty .

This line is known as an oblique asymptote for

f

(Figure 4.56).

英語のヒント

したがって、

x \to ± \infty

のとき、

f

のグラフは直線

y = 3 x - 2

へ近づく。この直線を

f

の「斜漸近線」という（図4.56）。

f(x)=(3x²+4x)/(x+2)のグラフと、その斜漸近線y=3x−2。 — Figure 4.56図 4.56
The graph of the rational function $f (x) = (3 x^{2} + 4 x) / (x + 2)$ approaches the oblique asymptote $y = 3 x - 2 as x \to ± \infty .$
有理関数 $f (x) = (3 x^{2} + 4 x) / (x + 2)$ のグラフは、 $x \to \pm \infty$ $y = 3 x - 2$ 。

We can summarize the results of Example 4.25 to make the following conclusion regarding end behavior for rational functions. Consider a rational function

例4.25の結果を整理すると、有理関数の無限遠での振る舞いについて、次のようにまとめられる。有理関数

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0}}{b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + … + b_{1} x + b_{0}},

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0}}{b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + … + b_{1} x + b_{0}}

where

a_{n} \neq 0 and b_{m} \neq 0 .

を考える。ただし、

a_{n} \neq 0 かつ b_{m} \neq 0

とする。

If the degree of the numerator is the same as the degree of the denominator $(n = m),$ then $f$ has a horizontal asymptote of $y = a_{n} / b_{m}$ as $x \to ± \infty .$
分子と分母の次数が等しい $(n = m)$ とき、 $f$ は $x \to ± \infty$ において、水平漸近線 $y = a_{n} / b_{m}$ をもつ。
If the degree of the numerator is less than the degree of the denominator $(n < m),$ then $f$ has a horizontal asymptote of $y = 0$ as $x \to ± \infty .$
分子の次数が分母の次数より小さい $(n < m)$ とき、 $f$ は $x \to ± \infty$ において、水平漸近線 $y = 0$ をもつ。
If the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator $(n > m),$ then $f$ does not have a horizontal asymptote. The limits at infinity are either positive or negative infinity, depending on the signs of the leading terms. In addition, using long division, the function can be rewritten as
分子の次数が分母の次数より大きい $(n > m)$ とき、 $f$ は水平漸近線をもたない。無限遠での極限は、最高次の項の符号に応じて、正または負の無限大になる。さらに、多項式の割り算を使えば、この関数を次のように書き直せる。

$f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = g (x) + \frac{r (x)}{q (x)},$
$f (x) = \frac{p (x)}{q (x)} = g (x) + \frac{r (x)}{q (x)}$

where the degree of $r (x)$ is less than the degree of $q (x) .$ As a result, $lim_{x \to ± \infty} r (x) / q (x) = 0 .$ Therefore, the values of $[f (x) - g (x)]$ approach zero as $x \to ± \infty .$ If the degree of $p (x)$ is exactly one more than the degree of $q (x)$ $(n = m + 1),$ the function $g (x)$ is a linear function. In this case, we call $g (x)$ an oblique asymptote.
Now let’s consider the end behavior for functions involving a radical.
ここで、 $r (x)$ の次数は $q (x)$ の次数より小さい。そのため、 $lim_{x \to ± \infty} r (x) / q (x) = 0$ となる。したがって、 $x \to ± \infty$ のとき $[f (x) - g (x)]$ の値は0へ近づく。 $p (x)$ の次数が $q (x)$ の次数よりちょうど1大きい $(n = m + 1)$ 場合、 $g (x)$ は1次関数になる。このとき、直線y= $g (x)$ を斜漸近線と呼ぶ。次に、根号を含む関数の無限遠での振る舞いを考えよう。

Example 4.26例題 4.26

Determining End Behavior for a Function Involving a Radical根号を含む関数の無限遠での振る舞い

Find the limits as

x \to \infty

and

x \to − \infty

for

f (x) = \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}}

and describe the end behavior of

f .

f (x) = \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}}

について、

x \to \infty

と

x \to − \infty

のときの極限を求め、

f

の無限遠での振る舞いを説明せよ。

Solution解き方

Let’s use the same strategy as we did for rational functions: divide the numerator and denominator by a power of

x .

To determine the appropriate power of

x,

consider the expression

\sqrt{4 x^{2} + 5}

in the denominator. Since

有理関数で用いたのと同じ方針で、分子と分母を

x

の累乗で割ろう。どの

x

の累乗で割ればよいかを判断するため、分母の

\sqrt{4 x^{2} + 5}

に注目する。

\sqrt{4 x^{2} + 5} \approx \sqrt{4 x^{2}} = 2 | x |

for large values of

x

in effect

x

appears just to the first power in the denominator. Therefore, we divide the numerator and denominator by

| x | .

Then, using the fact that

| x | = x

for

x > 0,

| x | = − x

for

x < 0,

and

| x | = \sqrt{x^{2}}

for all

x,

we calculate the limits as follows:

この関係から、

x

の絶対値が大きいとき、分母は実質的に

x

の1次の大きさになる。そこで、分子と分母を

| x |

で割る。

x > 0

では

| x | = x

、

x < 0

では

| x | = − x

であり、すべての

x

について

| x | = \sqrt{x^{2}}

であることを利用すると、極限は次のように計算できる。

\begin{matrix} lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}} & = & lim_{x \to \infty} \frac{(1 / | x |) (3 x - 2)}{(1 / | x |) \sqrt{4 x^{2} + 5}} \\ = & lim_{x \to \infty} \frac{(1 / x) (3 x - 2)}{\sqrt{(1 / x^{2}) (4 x^{2} + 5)}} \\ = & lim_{x \to \infty} \frac{3 - 2 / x}{\sqrt{4 + 5 / x^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \\ lim_{x \to − \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5}} & = & lim_{x \to − \infty} \frac{(1 / | x |) (3 x - 2)}{(1 / | x |) \sqrt{4 x^{2} + 5}} \\ = & lim_{x \to − \infty} \frac{(−1 / x) (3 x - 2)}{\sqrt{(1 / x^{2}) (4 x^{2} + 5)}} \\ = & lim_{x \to − \infty} \frac{−3 + 2 / x}{\sqrt{4 + 5 / x^{2}}} = \frac{−3}{\sqrt{4}} = \frac{−3}{2} . \end{matrix}

Therefore,

f (x)

approaches the horizontal asymptote

y = \frac{3}{2}

x \to \infty

and the horizontal asymptote

y = - \frac{3}{2}

x \to − \infty

as shown in the following graph.

したがって、

f (x)

は、

x \to \infty

のとき水平漸近線

y = \frac{3}{2}

へ、

x \to − \infty

のとき水平漸近線

y = - \frac{3}{2}

へ近づく。次のグラフに示す。

f(x)=(3x−2)/√(4x²+5)のグラフ。二つの水平漸近線y=±3/2がある。左の遠方ではy=−3/2へ下側から近づき、途中でこの漸近線を横切る。 — Figure 4.57図 4.57
This function has two horizontal asymptotes and it crosses one of the asymptotes.
この関数には二つの水平漸近線があり、その一方と交わる。