第4章微分の応用

Solving Optimization Problems when the Interval Is Not Closed or Is Unbounded閉じていない区間・有界でない区間での最適化

In the previous examples, we considered functions on closed, bounded domains. Consequently, by the extreme value theorem, we were guaranteed that the functions had absolute extrema. Let’s now consider functions for which the domain is neither closed nor bounded.

英語のヒント

これまでの例では、有界閉区間上の関数を扱った。そのため、最大値・最小値の定理によって、最大値と最小値の存在が保証されていた。今度は、定義域が閉区間でも有界でもない関数を考えよう。

Many functions still have at least one absolute extrema, even if the domain is not closed or the domain is unbounded. For example, the function

f (x) = x^{2} + 4

over

(− \infty, \infty)

has an absolute minimum of

4

x = 0 .

Therefore, we can still consider functions over unbounded domains or open intervals and determine whether they have any absolute extrema. In the next example, we try to minimize a function over an unbounded domain. We will see that, although the domain of consideration is

(0, \infty),

the function has an absolute minimum.

定義域が閉じていなかったり有界でなかったりしても、最大値または最小値をもつ関数は多い。例えば、

(− \infty, \infty)

上の関数

f (x) = x^{2} + 4

は、

x = 0

で最小値

4

をとる。したがって、有界でない定義域や開区間でも、最大値・最小値があるかを調べることはできる。次の例では、有界でない範囲で関数の最小値を求める。考える範囲は

(0, \infty)

だが、最小値が存在することが分かる。

In the following example, we look at constructing a box of least surface area with a prescribed volume. It is not difficult to show that for a closed-top box, by symmetry, among all boxes with a specified volume, a cube will have the smallest surface area. Consequently, we consider the modified problem of determining which open-topped box with a specified volume has the smallest surface area.

英語のヒント

次の例では、体積を指定して、表面積が最小になる箱を作る。ふたのある直方体なら、体積が一定のときに表面積が最小になるのは立方体である。そこで問題を変え、体積が一定の、ふたのない箱のうち、表面積が最小になるものを考えよう。

Example 4.37例題 4.37

Minimizing Surface Area表面積を最小にする

A rectangular box with a square base, an open top, and a volume of

216

in.³ is to be constructed. What should the dimensions of the box be to minimize the surface area of the box? What is the minimum surface area?

底面が正方形で、ふたがなく、体積が

216

in³の直方体の箱を作る。表面積を最小にするには、箱の寸法をどう選べばよいか。また、最小表面積はいくらか。

Solution解き方

Step 1: Draw a rectangular box and introduce the variable

x

to represent the length of each side of the square base; let

y

represent the height of the box. Let

S

denote the surface area of the open-top box.

手順1．箱の図を描く。正方形の底面の一辺を

x

、高さを

y

とする。ふたのない箱の表面積を

S

とする。

正方形の底面をもつ、ふたのない箱。底面の一辺がx、高さがyと示されている。 — Figure 4.69図 4.69
We want to minimize the surface area of a square-based box with a given volume.
英語のヒント
体積が決まった、正方形の底面をもつ箱の表面積を最小にしたい。

Step 2: We need to minimize the surface area. Therefore, we need to minimize

S .

手順2．表面積を最小にしたいので、最小にする量は

S

である。

Step 3: Since the box has an open top, we need only determine the area of the four vertical sides and the base. The area of each of the four vertical sides is

x \cdot y .

The area of the base is

x^{2} .

Therefore, the surface area of the box is

手順3．箱にふたはないので、四つの側面と底面の面積だけを足せばよい。側面1枚の面積は

x \cdot y

、底面の面積は

x^{2}

である。したがって、箱の表面積は、

S = 4 x y + x^{2} .

S = 4 x y + x^{2}

Step 4: Since the volume of this box is

x^{2} y

and the volume is given as

216 in .^{3},

the constraint equation is

手順4．箱の体積は

x^{2} y

であり、これが

216 in .^{3}

と指定されているので、制約条件は、

x^{2} y = 216 .

x^{2} y = 216

Solving the constraint equation for

y,

we have

y = \frac{216}{x^{2}} .

Therefore, we can write the surface area as a function of

x

only:

この制約の式を

y

について解くと、

y = \frac{216}{x^{2}}

となる。したがって、表面積を

x

だけの関数として、次のように表せる。

S (x) = 4 x (\frac{216}{x^{2}}) + x^{2} .

S (x) = 4 x (\frac{216}{x^{2}}) + x^{2}

Therefore,

S (x) = \frac{864}{x} + x^{2} .

したがって、

S (x) = \frac{864}{x} + x^{2}

。

Step 5: Since we are requiring that

x^{2} y = 216,

we cannot have

x = 0 .

Therefore, we need

x > 0 .

On the other hand,

x

is allowed to have any positive value. Note that as

x

becomes large, the height of the box

y

becomes correspondingly small so that

x^{2} y = 216 .

Similarly, as

x

becomes small, the height of the box becomes correspondingly large. We conclude that the domain is the open, unbounded interval

(0, \infty) .

Note that, unlike the previous examples, we cannot reduce our problem to looking for an absolute maximum or absolute minimum over a closed, bounded interval. However, in the next step, we discover why this function must have an absolute minimum over the interval

(0, \infty) .

手順5．

x^{2} y = 216

を満たす必要があるので、

x = 0

ではいけない。辺の長さだから

x > 0

である。

x

には、正の値ならどれでも選べる。

x

を大きくすると高さ

y

がそれに応じて小さくなり、

x^{2} y = 216

が保たれる。逆に

x

を小さくすると、高さが大きくなる。したがって、定義域は開いていて有界でない区間

(0, \infty)

である。これまでの例のように、端点を付け足した有界閉区間の最大値・最小値の問題にはできない。しかし次の手順で、この関数が区間

(0, \infty)

で最小値をもつ理由が分かる。

Step 6: Note that as

x \to 0^{+},

S (x) \to \infty .

Also, as

x \to \infty,

S (x) \to \infty .

Since

S

is a continuous function that approaches infinity at the ends, it must have an absolute minimum at some

x \in (0, \infty) .

This minimum must occur at a critical point of

S .

The derivative is

手順6．

x \to 0^{+}

のとき

S (x) \to \infty

であり、

x \to \infty

のときも

S (x) \to \infty

である。

S

は連続で、両端へ近づくと正の無限大へ発散するので、どこかの

x \in (0, \infty)

で最小値をとる。この最小値は

S

の臨界点でとられる。導関数は、

S^{'} (x) = - \frac{864}{x^{2}} + 2 x .

S^{'} (x) = - \frac{864}{x^{2}} + 2 x

Therefore,

S^{'} (x) = 0

when

2 x = \frac{864}{x^{2}} .

Solving this equation for

x,

we obtain

x^{3} = 432,

x = \sqrt[3]{432} = 6 \sqrt[3]{2} .

Since this is the only critical point of

S,

the absolute minimum must occur at

x = 6 \sqrt[3]{2}

(see Figure 4.70). When

x = 6 \sqrt[3]{2},

y = \frac{216}{{(6 \sqrt[3]{2})}^{2}} = 3 \sqrt[3]{2} in .

Therefore, the dimensions of the box should be

x = 6 \sqrt[3]{2} in .

and

y = 3 \sqrt[3]{2} in .

With these dimensions, the surface area is

2 x = \frac{864}{x^{2}}

のとき

S^{'} (x) = 0

である。この方程式を

x

について解くと、

x^{3} = 432

、すなわち

x = \sqrt[3]{432} = 6 \sqrt[3]{2}

となる。

S

の臨界点はこれだけなので、最小値は

x = 6 \sqrt[3]{2}

でとられる（図4.70）。

x = 6 \sqrt[3]{2}

のとき、

y = \frac{216}{{(6 \sqrt[3]{2})}^{2}} = 3 \sqrt[3]{2} in

である。したがって、箱の寸法は

x = 6 \sqrt[3]{2} in

、

y = 3 \sqrt[3]{2} in

にすればよい。このときの表面積は、

S (6 \sqrt[3]{2}) = \frac{864}{6 \sqrt[3]{2}} + {(6 \sqrt[3]{2})}^{2} = 108 \sqrt[3]{4} in .^{2}

S(x)=864/x+x²のグラフ。最小点に破線があり、「x=6∛2 inのとき、最小表面積は108∛4 in²」と示されている。 — Figure 4.70図 4.70
We can use a graph to determine the dimensions of a box of given the volume and the minimum surface area.
グラフから、指定された体積を保ちながら表面積を最小にする箱の寸法を確認できる。

Checkpoint 4.36確認問題 4.36

Consider the same open-top box, which is to have volume

216 in .^{3} .

Suppose the cost of the material for the base is

20 ¢ / in .^{2}

and the cost of the material for the sides is

30 ¢ / in .^{2}

and we are trying to minimize the cost of this box. Write the cost as a function of the side lengths of the base. (Let

x

be the side length of the base and

y

be the height of the box.)

同じく体積

216 in .^{3}

の、ふたのない箱を考える。底面の材料費は

20 ¢ / in .^{2}

、側面の材料費は

30 ¢ / in .^{2}

とする。費用を最小にしたいとき、費用を底面の一辺の長さの関数で表せ。底面の一辺を

x

、高さを

y

とする。

Solution解き方

c (x) = \frac{259.2}{x} + 0.2 x^{2}

dollars

c (x) = \frac{259.2}{x} + 0.2 x^{2}

（ドル）。