第4章微分の応用

Key Concepts重要な概念

A differentiable function $y = f (x)$ can be approximated at $a$ by the linear function
微分可能な関数 $y = f (x)$ は、点 $a$ の近くで、次の一次関数によって近似できる。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a) .$
$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$
For a function $y = f (x),$ if $x$ changes from $a$ to $a + d x,$ then
関数 $y = f (x)$ について、 $x$ が $a$ から $a + d x$ に変わるなら、

$d y = f' (x) d x$

is an approximation for the change in $y .$ The actual change in $y$ is
が $y$ の変化量の近似となる。 $y$ の実際の変化量は、

$Δ y = f (a + d x) - f (a) .$
$Δ y = f (a + d x) - f (a)$
A measurement error $d x$ can lead to an error in a calculated quantity $f (x) .$ The error in the calculated quantity is known as the propagated error. The propagated error can be estimated by
測定誤差 $d x$ は、計算で求める量 $f (x)$ にも誤差を生じさせる。その計算値の誤差を伝播誤差と呼ぶ。伝播誤差は次のように近似できる。

$d y \approx f' (x) d x .$
$d y \approx f' (x) d x$
To estimate the relative error of a particular quantity $q,$ we estimate $\frac{Δ q}{q} .$
ある量 $q$ の相対誤差を求めるには、 $\frac{Δ q}{q}$ を見積もる。

Key Equations重要な式

Linear approximation 線形近似	$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$
A differential 微分量	$d y = f' (x) d x .$ $d y = f' (x) d x$

Exercises 46–49練習問題 46–49

Exercise 46問題 46

What is the linear approximation for any generic linear function

y = m x + b ?

一般の一次関数

y = m x + b

の線形近似は、どのようなものになるか。

Exercise 47問題 47

Determine the necessary conditions such that the linear approximation function is constant. Use a graph to prove your result.

線形近似の関数が定数関数となるために必要な条件を求めよ。グラフを使って、その結果を示せ。

Solution解き方

f^{'} (a) = 0

f^{'} (a) = 0

Exercise 48問題 48

Explain why the linear approximation becomes less accurate as you increase the distance between

x

and

a .

Use a graph to prove your argument.

x

と

a

の距離が大きくなると、線形近似の精度が悪くなる理由を説明せよ。グラフを使って論拠を示せ。

Exercise 49問題 49

When is the linear approximation exact?

線形近似が正確な値を与えるのは、どのような場合か。

Solution解き方

The linear approximation exact when

y = f (x)

is linear or constant.

y = f (x)

が一次関数または定数関数のとき、線形近似は正確な値を与える。

Exercises 50–55練習問題 50–55

For the following exercises, find the linear approximation

L (x)

y = f (x)

near

x = a

for the function.

以下の問題では、与えられた関数

y = f (x)

について、

x = a

の近くでの線形近似

L (x)

を求めよ。

Exercise 50問題 50

f (x) = x + x^{4}, a = 0

f (x) = x + x^{4}, a = 0

Exercise 51問題 51

f (x) = \frac{1}{x}, a = 2

f (x) = \frac{1}{x}, a = 2

Solution解き方

L (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x - 2)

L (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} (x - 2)

Exercise 52問題 52

f (x) = tan x, a = \frac{π}{4}

f (x) = tan x, a = \frac{π}{4}

Exercise 53問題 53

f (x) = sin x, a = \frac{π}{2}

f (x) = sin x, a = \frac{π}{2}

Solution解き方

L (x) = 1

L (x) = 1

Exercise 54問題 54

f (x) = x sin x, a = 2 π

f (x) = x sin x, a = 2 π

Exercise 55問題 55

f (x) = {sin}^{2} x, a = 0

f (x) = {sin}^{2} x, a = 0

Solution解き方

L (x) = 0

L (x) = 0

Exercises 56–61練習問題 56–61

For the following exercises, compute the values given within 0.01 by deciding on the appropriate

f (x)

and

a,

and evaluating

L (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) .

Check your answer using a calculator.

以下の問題では、適切な

f (x)

と

a

を選び、

L (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a)

を計算して、与えられた値を誤差0.01以内で求めよ。電卓を使って答えを確認せよ。

Exercise 56問題 56

[T]

{(2.001)}^{6}

［T］

{(2.001)}^{6}

Exercise 57問題 57

[T]

sin (0.02)

［T］

sin (0.02)

Solution解き方

0.02

Exercise 58問題 58

[T]

cos (0.03)

［T］

cos (0.03)

Exercise 59問題 59

[T]

{(15.99)}^{1 / 4}

［T］

{(15.99)}^{1 / 4}

Solution解き方

1.9996875

1.9996875

Exercise 60問題 60

[T]

\frac{1}{0.98}

［T］

\frac{1}{0.98}

Exercise 61問題 61

[T]

sin (3.14)

［T］

sin (3.14)

Solution解き方

0.001593

0.001593

Exercises 62–67練習問題 62–67

For the following exercises, determine the appropriate

f (x)

and

a,

and evaluate

L (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) .

Calculate the numerical error in the linear approximations that follow.

以下の問題では、適切な

f (x)

と

a

を選び、

L (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a)

を計算せよ。続く線形近似について、数値としての誤差を求めよ。

Exercise 62問題 62

[T]

{(1.01)}^{3}

［T］

{(1.01)}^{3}

Exercise 63問題 63

[T]

cos (0.01)

［T］

cos (0.01)

Solution解き方

1;

error,

~0.00005

誤差は

1

、

~0.00005

。

Exercise 64問題 64

[T]

{(sin (0.01))}^{2}

［T］

{(sin (0.01))}^{2}

Exercise 65問題 65

[T]

{(1.01)}^{−3}

［T］

{(1.01)}^{−3}

Solution解き方

0.97;

error,

~0.0006

誤差は

0.97

、

~0.0006

。

Exercise 66問題 66

[T]

{(1 + \frac{1}{10})}^{10}

［T］

{(1 + \frac{1}{10})}^{10}

Exercise 67問題 67

[T]

\sqrt{8.99}

［T］

\sqrt{8.99}

Solution解き方

3 - \frac{1}{600};

error,

~4.632 \times 10^{−7}

誤差は

3 - \frac{1}{600}

、

~4.632 \times 10^{−7}

。

Exercises 68–71練習問題 68–71

For the following exercises, find the differential of the function.

以下の問題では、関数の微分量を求めよ。

Exercise 68問題 68

y = 3 x^{4} + x^{2} - 2 x + 1

y = 3 x^{4} + x^{2} - 2 x + 1

Exercise 69問題 69

y = x cos x

y = x cos x

Solution解き方

d y = (cos x - x sin x) d x

d y = (cos x - x sin x) d x

Exercise 70問題 70

y = \sqrt{1 + x}

y = \sqrt{1 + x}

Exercise 71問題 71

y = \frac{x^{2} + 2}{x - 1}

y = \frac{x^{2} + 2}{x - 1}

Solution解き方

d y = (\frac{x^{2} - 2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}) d x

d y = (\frac{x^{2} - 2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}) d x

Exercises 72–77練習問題 72–77

For the following exercises, find the differential and evaluate for the given

x

and

d x .

以下の問題では、微分量を求め、与えられた

x

と

d x

での値を計算せよ。

Exercise 72問題 72

y = 3 x^{2} - x + 6,

x = 2,

d x = 0.1

y = 3 x^{2} - x + 6

x = 2

d x = 0.1

Exercise 73問題 73

y = \frac{1}{x + 1},

x = 1,

d x = 0.25

y = \frac{1}{x + 1}

x = 1

d x = 0.25

Solution解き方

d y = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x,

- \frac{1}{16}

d y = - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x

- \frac{1}{16}

Exercise 74問題 74

y = tan x,

x = 0,

d x = \frac{π}{10}

y = tan x

x = 0

d x = \frac{π}{10}

Exercise 75問題 75

y = \frac{3 x^{2} + 2}{\sqrt{x + 1}},

x = 0,

d x = 0.1

y = \frac{3 x^{2} + 2}{\sqrt{x + 1}}

x = 0

d x = 0.1

Solution解き方

d y = \frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{2 {(x + 1)}^{3 / 2}} d x,

−0.1

d y = \frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{2 {(x + 1)}^{3 / 2}} d x

−0.1

Exercise 76問題 76

y = \frac{sin (2 x)}{x},

x = π,

d x = 0.25

y = \frac{sin (2 x)}{x}

x = π

d x = 0.25

Exercise 77問題 77

y = x^{3} + 2 x + \frac{1}{x},

x = 1,

d x = 0.05

y = x^{3} + 2 x + \frac{1}{x}

x = 1

d x = 0.05

Solution解き方

d y = (3 x^{2} + 2 - \frac{1}{x^{2}}) d x,

0.2

d y = (3 x^{2} + 2 - \frac{1}{x^{2}}) d x

0.2

Exercises 78–86練習問題 78–86

For the following exercises, find the change in volume

d V

or in surface area

d A .

以下の問題では、体積の変化量の近似

d V

、または表面積の変化量の近似

d A

を求めよ。

Exercise 78問題 78

d V

if the sides of a cube change from 10 to 10.1.

立方体の一辺の長さが10から10.1に変わるときの

d V

。

Exercise 79問題 79

d A

if the sides of a cube change from

x

x + d x .

立方体の一辺の長さが

x

から

x + d x

に変わるときの

d A

。

Solution解き方

12 x d x

12 x d x

Exercise 80問題 80

d A

if the radius of a sphere changes from

r

d r .

球の半径が

r

から

d r

だけ変化するときの

d A

。

Exercise 81問題 81

d V

if the radius of a sphere changes from

r

d r .

球の半径が

r

から

d r

だけ変化するときの

d V

。

Solution解き方

4 π r^{2} d r

4 π r^{2} d r

Exercise 82問題 82

d V

if a circular cylinder with

r = 2

changes height from 3 cm to

3.05 cm .

r = 2

の円柱の高さが3 cmから

3.05 cm

に変わるときの

d V

。

Exercise 83問題 83

d V

if a circular cylinder of height 3 changes from

r = 2

r = 1.9 cm .

高さ3の円柱の半径が

r = 2

から

r = 1.9 cm

に変わるときの

d V

。

Solution解き方

−1.2 π {cm}^{3}

−1.2 π {cm}^{3}

Exercise 84問題 84

A spherical golf ball is measured to have a radius of

5 mm,

with a possible measurement error of

0.1 mm .

What is the possible change in volume?

球形のゴルフボールの半径を

5 mm

と測定した。生じ得る測定誤差は

0.1 mm

である。体積はどの程度変わり得るか。

Exercise 85問題 85

A pool has a rectangular base of 10 ft by 20 ft and a depth of 6 ft. What is the change in volume if you only fill it up to 5.5 ft?

底面が10 ft×20 ftの長方形で、深さ6 ftのプールがある。水を深さ5.5 ftまでしか入れない場合、満水の場合と比べて体積はどれだけ変わるか。

Solution解き方

−100

ft³

−100

ft³。

Exercise 86問題 86

An ice cream cone has height 4 in. and radius 1 in. If the cone is 0.1 in. thick, what is the difference between the volume of the cone, including the shell, and the volume of the ice cream you can fit inside the shell?

英語のヒント

アイスクリームのコーンは、高さ4 in.、半径1 in.である。コーンの殻の厚さが0.1 in.の場合、殻を含めた円錐の体積と、殻の内側に入るアイスクリームの体積との差はどれくらいか。

Exercises 87–89練習問題 87–89

For the following exercises, confirm the approximations by using the linear approximation at

x = 0 .

以下の問題では、

x = 0

における線形近似を使い、示された近似式を確かめよ。

Exercise 87問題 87

\sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{1}{2} x

\sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{1}{2} x

Exercise 88問題 88

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \approx 1

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \approx 1

Exercise 89問題 89

\sqrt{c^{2} + x^{2}} \approx c

\sqrt{c^{2} + x^{2}} \approx c

differential

微分量

the differential

d x

is an independent variable that can be assigned any nonzero real number; the differential

d y

is defined to be

d y = f' (x) d x

微分量

d x

は、0でない任意の実数を割り当てられる独立変数である。微分量

d y

は

d y = f' (x) d x

と定義される。

differential form

微分形式

given a differentiable function

y = f (x),

the equation

d y = f' (x) d x

is the differential form of the derivative of

y

with respect to

x

微分可能な関数

y = f (x)

に対し、式

d y = f' (x) d x

を、

x

に関する

y

の導関数の微分形式と呼ぶ。

linear approximation

線形近似

the linear function

L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)

is the linear approximation of

f

x = a

一次関数

L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)

を、

x = a

における

f

の線形近似と呼ぶ。

percentage error

百分率誤差

the relative error expressed as a percentage

相対誤差を百分率で表したもの。

propagated error

伝播誤差

the error that results in a calculated quantity

f (x)

resulting from a measurement error dx

測定誤差dxの結果として、計算で求めた量

f (x)

に生じる誤差。

relative error

相対誤差

given an absolute error

Δ q

for a particular quantity,

\frac{Δ q}{q}

is the relative error.

ある量の絶対誤差を

Δ q

とするとき、

\frac{Δ q}{q}

を相対誤差と呼ぶ。

tangent line approximation (linearization)

接線近似（線形化）

since the linear approximation of

f

x = a

is defined using the equation of the tangent line, the linear approximation of

f

x = a

is also known as the tangent line approximation to

f

x = a

x = a

における

f

の線形近似は、接線の式を使って定義される。そのため、

x = a

での

f

の線形近似を、

x = a

における

f

の接線近似とも呼ぶ。