第4章微分の応用

Corollaries of the Mean Value Theorem平均値の定理から得られる系

Let’s now look at three corollaries of the Mean Value Theorem. These results have important consequences, which we use in upcoming sections.

英語のヒント

平均値の定理から得られる三つの系を見よう。これらは、以後の節で使う重要な結果である。

At this point, we know the derivative of any constant function is zero. The Mean Value Theorem allows us to conclude that the converse is also true. In particular, if

f^{'} (x) = 0

for all

x

in some interval

I,

then

f (x)

is constant over that interval. This result may seem intuitively obvious, but it has important implications that are not obvious, and we discuss them shortly.

英語のヒント

定数関数の導関数が0になることは、すでに知っている。平均値の定理を使うと、その逆も正しいと示せる。すなわち、ある区間

I

内のすべての

x

について

f^{'} (x) = 0

なら、

f (x)

はその区間で一定である。直感的には当たり前に見えるかもしれないが、この結果からは、すぐには明らかでない重要な結論も得られる。まもなく、その点を説明する。

Proof証明

Since

f

is differentiable over

I,

f

must be continuous over

I .

Suppose

f (x)

is not constant for all

x

I .

Then there exist

a, b \in I,

where

a \neq b

and

f (a) \neq f (b) .

Choose the notation so that

a < b .

Therefore,

f

は

I

上で微分可能なので、

f

は

I

上で連続である。ここで、

I

内のすべての

x

について

f (x)

が一定ではないと仮定する。すると、

a \neq b

かつ

f (a) \neq f (b)

となる

a, b \in I

が存在する。

a < b

となるようにa,bの名前を選べば、

\frac{f (b) - f (a)}{b - a} \neq 0 .

\frac{f (b) - f (a)}{b - a} \neq 0

Since

f

is a differentiable function, by the Mean Value Theorem, there exists

c \in (a, b)

such that

f

は微分可能なので、平均値の定理により、次式を満たす

c \in (a, b)

が存在する。

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Therefore, there exists

c \in I

such that

f^{'} (c) \neq 0,

which contradicts the assumption that

f^{'} (x) = 0

for all

x \in I .

したがって、

f^{'} (c) \neq 0

となる

c \in I

が存在する。これは、すべての

x \in I

で

f^{'} (x) = 0

であるという仮定に矛盾する。

□

From Theorem 4.6, it follows that if two functions have the same derivative, they differ by, at most, a constant.

定理4.6から、同じ区間で二つの関数の導関数が等しければ、その差は定数であると分かる。

Proof証明

Let

h (x) = f (x) - g (x) .

Then,

h^{'} (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x) = 0

for all

x \in I .

By Corollary 1, there is a constant

C

such that

h (x) = C

for all

x \in I .

Therefore,

f (x) = g (x) + C

for all

x \in I .

h (x) = f (x) - g (x)

とおく。すると、すべての

x \in I

で

h^{'} (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x) = 0

となる。系1により、定数

C

が存在して、すべての

x \in I

で

h (x) = C

が成り立つ。したがって、すべての

x \in I

で

f (x) = g (x) + C

である。

□

This fact is important because it means that for a given function

f,

if there exists a function

F

such that

F^{'} (x) = f (x);

then, the only other functions that have a derivative equal to

f

are

F (x) + C

for some constant

C .

We discuss this result in more detail later in the chapter.

この事実は重要である。関数

f

が与えられ、

F^{'} (x) = f (x)

を満たす関数

F

が存在するとしよう。このとき、導関数が

f

に等しくなる他の関数は、定数

C

を用いて

F (x) + C

と表されるものに限られる。この結果は、同じ区間上で考えていることを前提としている。この章の後半で、さらに詳しく扱う。

The third corollary of the Mean Value Theorem discusses when a function is increasing and when it is decreasing. Recall that a function

f

is increasing over

I

f (x_{1}) < f (x_{2})

whenever

x_{1} < x_{2},

whereas

f

is decreasing over

I

f (x_{1}) > f (x_{2})

whenever

x_{1} < x_{2} .

Using the Mean Value Theorem, we can show that if the derivative of a function is positive, then the function is increasing; if the derivative is negative, then the function is decreasing (Figure 4.29). We make use of this fact in the next section, where we show how to use the derivative of a function to locate local maximum and minimum values of the function, and how to determine the shape of the graph.

英語のヒント

三つ目の系は、関数がいつ増加し、いつ減少するかに関わる。関数

f

が区間

I

上で増加するとは、

x_{1} < x_{2}

なら必ず

f (x_{1}) < f (x_{2})

となることだった。一方、

f

が

I

上で減少するとは、

x_{1} < x_{2}

なら必ず

f (x_{1}) > f (x_{2})

となることである。平均値の定理を使うと、導関数が正なら関数は増加し、導関数が負なら関数は減少すると示せる（図4.29）。次の節では、この事実を用いて極大・極小の位置を調べ、グラフの形を決める方法を学ぶ。

波打つ関数f(x)のグラフ。x=aまでは増加してf′>0、aからbまでは減少してf′<0、bより右では再び増加してf′>0となる。 — Figure 4.29図 4.29
If a function has a positive derivative over some interval $I,$ then the function increases over that interval $I;$ if the derivative is negative over some interval $I,$ then the function decreases over that interval $I .$
区間 $I$ で導関数が正なら、その区間 $I$ で関数は増加する。区間 $I$ で導関数が負なら、その区間 $I$ で関数は減少する。

Proof証明

We will prove i.; the proof of ii. is similar. Suppose

f

is continuous and differentiable over an interval

I

and

f' (x) > 0

for all

x \in I

. By way of contradiction, suppose that

f

is not an increasing function on

I

. Then there exist

a

and

b

I

such that

a < b

, but

f (a) > f (b)

. Since

f

is a differentiable function over

I

, the Mean Value Theorem guarantees that there is some value

c \in (a, b)

such that

英語のヒント

(i)を証明する。(ii)も同様に示せる。

f

は区間

I

上で連続かつ微分可能であり、すべての

x \in I

で

f' (x) > 0

とする。背理法を用い、

f

が

I

上で増加しないと仮定する。すると、

I

内に

a

と

b

が存在し、

a < b

であるのに

f (a) \geq f (b)

となる。

f

は

I

上で微分可能なので、平均値の定理より、次式を満たす

c \in (a, b)

が存在する。

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

Now

a < b

, so

b - a > 0

. Because

f (a) > f (b)

, it follows that

f (b) - f (a) < 0

. It follows that the quotient of

f (b) - f (a)

and

b - a

is negative. So, for c,

a < b

より、

b - a > 0

である。また、

f (a) \geq f (b)

から

f (b) - f (a) \leq 0

となる。したがって、

f (b) - f (a)

を

b - a

で割った値は0以下になる。このcについて、

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 0 .

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} \leq 0

However,

f^{'} (x) > 0

for all

x \in I

including

c

. This is a contradiction. The assumption that

f

is not an increasing function on

I

is false. Therefore,

f

must be increasing throughout

I

しかし、

c

を含むすべての

x \in I

で

f^{'} (x) > 0

であり、これは矛盾である。よって、

f

が

I

上で増加しないという仮定は誤りで、

f

は

I

全体で増加する。

□