第4章微分の応用

Exercises 25–31練習問題 25–31

For the following exercises, consider a right cone that is leaking water. The dimensions of the conical tank are a height of 16 ft and a radius of 5 ft.

英語のヒント

以下の問題では、水が漏れ出している直円錐形のタンクを考える。タンクの高さは16 ft、半径は5 ftである。

Exercise 25問題 25

How fast does the depth of the water change when the water is 10 ft high if the cone leaks water at a rate of 10 ft³/min?

円錐から水が10 ft³/minの割合で漏れ出す場合、水の深さが10 ftのとき、水深はどのくらいの割合で変化するか。

Solution解き方

The depth of the water decreases at

\frac{128}{125 π}

ft/min.

水深は

\frac{128}{125 π}

ft/minの割合で減少する。

Exercise 26問題 26

Find the rate at which the surface area of the water changes when the water is 10 ft high if the cone leaks water at a rate of 10 ft³/min.

円錐から水が10 ft³/minの割合で漏れ出す場合、水の深さが10 ftのとき、水面の面積の変化率を求めよ。

Exercise 27問題 27

If the water level is decreasing at a rate of 3 in/min when the depth of the water is 8 ft, determine the rate at which water is leaking out of the cone.

水深8 ftのとき、水位が3 in/minの割合で低下している。円錐から水が漏れ出す割合を求めよ。

Solution解き方

The volume is decreasing at a rate of

\frac{(25 π)}{16} {ft}^{3} /min .

体積は

\frac{(25 π)}{16} {ft}^{3} /min

の割合で減少している。

Exercise 28問題 28

A vertical cylinder is leaking water at a rate of 1 ft³/sec. If the cylinder has a height of 10 ft and a radius of 1 ft, at what rate is the height of the water changing when the height is 6 ft?

鉛直に置いた円柱形の容器から、水が1 ft³/secの割合で漏れ出している。円柱の高さが10 ft、半径が1 ftの場合、水深6 ftのとき、水面の高さはどのくらいの割合で変化するか。

Exercise 29問題 29

A cylinder is leaking water but you are unable to determine at what rate. The cylinder has a height of 2 m and a radius of 2 m. Find the rate at which the water is leaking out of the cylinder if the rate at which the height is decreasing is 10 cm/min when the height is 1 m.

円柱形の容器から水が漏れ出しているが、その割合を直接には求められない。容器の高さは2 m、半径は2 mである。水深1 mのとき、水面の高さが10 cm/minの割合で低下しているなら、水が漏れ出す割合を求めよ。

Solution解き方

The water flows out at rate

\frac{(2 π)}{5} m^{3} /min.

水は

\frac{(2 π)}{5} m^{3} /min.

の割合で流れ出している。

Exercise 30問題 30

A trough has ends shaped like isosceles triangles, with width 3 m and height 4 m, and the trough is 10 m long. Water is being pumped into the trough at a rate of

5 m^{3} /min .

At what rate does the height of the water change when the water is 1 m deep?

英語のヒント

両端が底辺3 m、高さ4 mの二等辺三角形になっている、長さ10 mの樋型の水槽がある。この水槽に

5 m^{3} /min

の割合で水を送り込む。水深が1 mのとき、水面の高さの変化率を求めよ。

両端が幅3、高さ4の二等辺三角形になっている樋型の水槽。長さ10の長方形が側面を作り、内部には水が入っている。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 31問題 31

A tank is shaped like an upside-down square pyramid, with base of 4 m by 4 m and a height of 12 m (see the following figure). How fast does the height increase when the water is 2 m deep if water is being pumped in at a rate of

\frac{2}{3}

m³/sec?

英語のヒント

一辺4 mの正方形を底面とし、高さ12 mの四角錐を上下逆にした形のタンクがある（次の図）。

\frac{2}{3}

m³/secの割合で水を送り込むとき、水深2 mの瞬間に、水面の高さはどのくらいの速さで増加するか。

正方形の一辺が4、高さが12の四角錐を上下逆にした図。内部に水が入っているが、水量は指定されていない。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

\frac{3}{2}

m/sec

\frac{3}{2}

m/sec。

Exercises 32–36練習問題 32–36

For the following problems, consider a pool shaped like the bottom half of a sphere, that is being filled at a rate of 25 ft³/min. The radius of the pool is 10 ft. The formula for the volume of a partial hemisphere is

V = \frac{πh}{6} (3 r^{2} + h^{2})

where

h

is the height of the water and

r

is the radius of the water.

英語のヒント

以下の問題では、球の下半分の形をしたプールに、25 ft³/minの割合で水を入れる場合を考える。プールの半径は10 ftである。半球の一部を水が占めるとき、その体積は

V = \frac{πh}{6} (3 r^{2} + h^{2})

で与えられる。ここで、

h

は水深、

r

は水面の円の半径である。

Exercise 32問題 32

Find the rate at which the depth of the water is changing when the water has a depth of 5 ft.

水深5 ftのとき、水深の変化率を求めよ。

Exercise 33問題 33

Find the rate at which the depth of the water is changing when the water has a depth of 1 ft.

水深1 ftのとき、水深の変化率を求めよ。

Solution解き方

\frac{25}{19 π}

ft/min

\frac{25}{19 π}

ft/min。

Exercise 34問題 34

If the height is increasing at a rate of 1 in./min when the depth of the water is 2 ft, find the rate at which water is being pumped in.

水深2 ftのとき、水面の高さが1 in./minの割合で増加している。水を送り込んでいる割合を求めよ。

Exercise 35問題 35

Gravel is being unloaded from a truck and falls into a pile shaped like a cone at a rate of 10 ft³/min. The radius of the cone base is three times the height of the cone. Find the rate at which the height of the gravel changes when the pile has a height of 5 ft.

英語のヒント

トラックから砂利を10 ft³/minの割合で降ろすと、円錐形の山になる。山の底面の半径は、高さの3倍である。山の高さが5 ftのとき、高さの変化率を求めよ。

Solution解き方

\frac{2}{45 π}

ft/min

\frac{2}{45 π}

ft/min。

Exercise 36問題 36

Using a similar setup from the preceding problem, find the rate at which the gravel is being unloaded if the pile is 5 ft high and the height is increasing at a rate of 4 in./min.

前問と同じような状況で、砂利の山が高さ5 ftに達し、その高さが4 in./minの割合で増加している。砂利を降ろしている割合を求めよ。

Exercises 37–41練習問題 37–41

For the following exercises, draw the situations and solve the related-rate problems.

以下の問題では、状況を図に描き、関連する変化率の問題を解け。

Exercise 37問題 37

You are stationary on the ground and are watching a bird fly horizontally at a rate of

10

m/sec. The bird is located 40 m above your head. How fast does the angle of elevation change when the horizontal distance between you and the bird is 9 m?

英語のヒント

あなたは地上で静止し、高さ40 mを水平に

10

m/secで飛ぶ鳥を見ている。あなたと鳥の水平距離が9 mのとき、鳥を見上げる仰角はどのくらいの割合で変化するか。

Solution解き方

The angle decreases at

\frac{400}{1681} rad/sec .

仰角は

\frac{400}{1681} rad/sec

の割合で減少する。

Exercise 38問題 38

You stand 40 ft from a bottle rocket on the ground and watch as it takes off vertically into the air at a rate of 20 ft/sec. Find the rate at which the angle of elevation changes when the rocket is 30 ft in the air.

英語のヒント

地上に置かれたボトルロケットから40 ft離れて立ち、そのロケットが鉛直上向きに20 ft/secで上昇するのを見る。ロケットが地上30 ftにあるとき、仰角の変化率を求めよ。

Exercise 39問題 39

A lighthouse, L, is on an island 4 mi away from the closest point, P, on the beach (see the following image). If the lighthouse light rotates clockwise at a constant rate of 10 revolutions/min, how fast does the beam of light move across the beach 2 mi away from the closest point on the beach?

英語のヒント

島にある灯台Lから、海岸上の最も近い点Pまでの距離は4 miである（次の図）。灯台の光が時計回りに毎分10回転の一定の速さで回るとき、光が海岸上の点Pから2 mi離れた場所を照らす瞬間に、照らされる位置は海岸に沿ってどのくらいの速さで動くか。

灯台L、海岸上でLから最も近い点P、Pの右2マイルにある点で作る直角三角形。LPは海岸に垂直で、PからLまでの距離は4マイルである。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

100 π mi/min

100 π mi/min

。

Exercise 40問題 40

Using the same setup as the previous problem, determine at what rate the beam of light moves across the beach 1 mi away from the closest point on the beach.

前問と同じ状況で、灯台から海岸上の最も近い点までを基準に、そこから1 mi離れた場所を照らす瞬間の、光の海岸上での移動速度を求めよ。

Exercise 41問題 41

You are walking to a bus stop at a right-angle corner. You move north at a rate of 2 m/sec and are 20 m south of the intersection. The bus travels west at a rate of 10 m/sec away from the intersection – you have missed the bus! What is the rate at which the angle between you and the bus is changing when you are 20 m south of the intersection and the bus is 10 m west of the intersection?

直角に交わる道路の角にあるバス停へ歩いている。あなたは交差点の20 m南にいて、北へ2 m/secで進む。一方、バスは交差点から西へ10 m/secで離れていく。バスに乗り遅れてしまったのだ。あなたが交差点の20 m南、バスが10 m西にいる瞬間に、あなたから交差点へ向かう方向と、あなたからバスへ向かう方向とのなす角は、どのくらいの割合で変化しているか。

Solution解き方

The angle is changing at a rate of

\frac{11}{25} rad/sec .

角度は

\frac{11}{25} rad/sec

の割合で変化している。

Exercises 42–45練習問題 42–45

For the following exercises, refer to the figure of baseball diamond, which has sides of 90 ft.

英語のヒント

以下の問題では、一辺90 ftの正方形となる野球のダイヤモンドの図を参照せよ。

野球場の図。本塁、一塁、二塁、三塁が一辺90 ftの正方形を作るように配置されている。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 42問題 42

[T] A batter hits a ball toward third base at 75 ft/sec and runs toward first base at a rate of 24 ft/sec. At what rate does the distance between the ball and the batter change when 2 sec have passed?

［T］打者が三塁の方向へ75 ft/secの速さでボールを打ち、自分は一塁に向かって24 ft/secで走る。2秒後、ボールと打者の間の距離はどのくらいの割合で変化しているか。

Exercise 43問題 43

[T] A batter hits a ball toward second base at 80 ft/sec and runs toward first base at a rate of 30 ft/sec. At what rate does the distance between the ball and the batter change when the runner has covered one-third of the distance to first base? (Hint: Recall the law of cosines.)

英語のヒント

［T］打者が二塁の方向へ80 ft/secの速さでボールを打ち、自分は一塁に向かって30 ft/secで走る。一塁までの距離の3分の1を走った瞬間、ボールと打者の間の距離はどのくらいの割合で変化しているか。（ヒント：余弦定理を思い出そう。）

Solution解き方

The distance is increasing at a rate of

62.50

ft/sec.

距離は

62.50

ft/secの割合で増加している。

Exercise 44問題 44

[T] A batter hits the ball and runs toward first base at a speed of 22 ft/sec. At what rate does the distance between the runner and second base change when the runner has run 30 ft?

［T］打者がボールを打ち、一塁に向かって22 ft/secで走る。30 ft走った瞬間に、走者と二塁の間の距離はどのくらいの割合で変化しているか。

Exercise 45問題 45

[T] Runners start at first and second base. When the baseball is hit, the runner at first base runs at a speed of 18 ft/sec toward second base and the runner at second base runs at a speed of 20 ft/sec toward third base. How fast is the distance between runners changing 1 sec after the ball is hit?

［T］一塁と二塁に走者がいる。ボールが打たれると、一塁の走者は二塁に向かって18 ft/sec、二塁の走者は三塁に向かって20 ft/secで走り始める。打球から1秒後、二人の走者の間の距離はどのくらいの割合で変化しているか。

Solution解き方

The distance is decreasing at a rate of

11.99

ft/sec.

距離は

11.99

ft/secの割合で減少している。

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