第4章微分の応用

Key Concepts重要な概念

If $c$ is a critical point of $f$ and $f^{'} (x) > 0$ for $x < c$ and $f^{'} (x) < 0$ for $x > c,$ then $f$ has a local maximum at $c .$
$c$ が連続関数 $f$ の臨界点で、その近くの $x < c$ で $f^{'} (x) > 0$ 、 $x > c$ で $f^{'} (x) < 0$ なら、 $f$ は $c$ で極大値をとる。
If $c$ is a critical point of $f$ and $f^{'} (x) < 0$ for $x < c$ and $f^{'} (x) > 0$ for $x > c,$ then $f$ has a local minimum at $c .$
$c$ が連続関数 $f$ の臨界点で、その近くの $x < c$ で $f^{'} (x) < 0$ 、 $x > c$ で $f^{'} (x) > 0$ なら、 $f$ は $c$ で極小値をとる。
If $f^{″} (x) > 0$ over an interval $I,$ then $f$ is concave up over $I .$
区間 $I$ 上で $f^{″} (x) > 0$ なら、 $f$ は $I$ 上で下に凸である。
If $f^{″} (x) < 0$ over an interval $I,$ then $f$ is concave down over $I .$
区間 $I$ 上で $f^{″} (x) < 0$ なら、 $f$ は $I$ 上で上に凸である。
If $f^{'} (c) = 0$ and $f^{″} (c) > 0,$ then $f$ has a local minimum at $c .$
$f^{'} (c) = 0$ かつ $f^{″} (c) > 0$ なら、 $f$ は $c$ で極小値をとる。
If $f^{'} (c) = 0$ and $f^{″} (c) < 0,$ then $f$ has a local maximum at $c .$
$f^{'} (c) = 0$ かつ $f^{″} (c) < 0$ なら、 $f$ は $c$ で極大値をとる。
If $f^{'} (c) = 0$ and $f^{″} (c) = 0,$ then evaluate $f^{'} (x)$ at a test point $x$ to the left of $c$ and a test point $x$ to the right of $c,$ to determine whether $f$ has a local extremum at $c .$
$f^{'} (c) = 0$ かつ $f^{″} (c) = 0$ の場合、 $c$ の左側の試験点 $x$ と、 $c$ の右側の試験点 $x$ で $f^{'} (x)$ の符号を調べ、 $f$ が $c$ で極値をとるかを判定する。試験点は、他の臨界点を挟まない小区間内から選ぶ。

Exercises 194–200練習問題 194–200

Exercise 194問題 194

c

is a critical point of

f (x),

when is there no local maximum or minimum at

c ?

Explain.

c

が

f (x)

の臨界点であるとする。どのような場合、

c

で極大値も極小値もとらないか。説明せよ。

Exercise 195問題 195

For the function

y = x^{3},

x = 0

both an inflection point and a local maximum/minimum?

関数

y = x^{3}

について、

x = 0

は変曲点であると同時に、極大・極小の位置でもあるか。

Solution解き方

It is not a local maximum/minimum because

f^{'}

does not change sign

f^{'}

の符号が変わらないので、極大でも極小でもない。

Exercise 196問題 196

For the function

y = x^{3},

x = 0

an inflection point?

関数

y = x^{3}

について、

x = 0

は変曲点の位置か。

Exercise 197問題 197

Is it possible for a point

c

to be both an inflection point and a local extremum of a twice differentiable function?

2回微分可能な関数について、点

c

が変曲点の位置であると同時に、極値をとる位置でもあることは可能か。

Solution解き方

不可能。

Exercise 198問題 198

Why do you need continuity for the first derivative test? Come up with an example.

第1次導関数による判定に、なぜ連続性が必要なのか。例を挙げよ。

Exercise 199問題 199

Explain whether a concave-down function has to cross

y = 0

for some value of

x .

英語のヒント

上に凸の関数は、ある

x

の値で必ず

y = 0

と交わるか。説明せよ。

Solution解き方

False; for example,

y = \sqrt{x} .

必ず交わるわけではない。例えば

y = \sqrt{x}

を定義域x>0で考えると、上に凸だが常に正であり、y=0と交わらない。

Exercise 200問題 200

Explain whether a polynomial of degree

2

can have an inflection point.

2

次多項式が変曲点をもちうるか、説明せよ。

Exercises 201–205練習問題 201–205

For the following exercises, analyze the graphs of

f^{'},

then list all intervals where

f

is increasing or decreasing.

次の各問では、導関数

f^{'}

のグラフを読み取り、

f

が増加する区間と減少する区間をすべて挙げよ。

Exercise 201問題 201

導関数f′(x)のグラフ。初めは負で、x=−2でx軸を横切って正になる。少し増加してから減少し、x=−1で負に変わる。(1,−6)付近で極小をとった後、増加してx=2で正に変わる。

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Solution解き方

Increasing for

−2 < x < −1

and

x > 2;

decreasing for

x < −2

and

−1 < x < 2

−2 < x < −1

と

x > 2

で増加し、

x < −2

と

−1 < x < 2

で減少する。

Exercise 202問題 202

導関数f′(x)のグラフ。負の値からx=−2で正に変わり、x=−1でx軸に接するが符号は変わらない。原点で正から負へ変わり、極小を過ぎて増加し、x=1で再び正に変わる。

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Exercise 203問題 203

導関数f′(x)のグラフ。負の値から原点でx軸に接するが、再び負になる。やがて増加してx=1でx軸を横切り、その後は正となる。

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Solution解き方

Decreasing for

x < 1,

increasing for

x > 1

x < 1

で減少し、

x > 1

で増加する。

Exercise 204問題 204

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Exercise 205問題 205

導関数f′(x)の左右対称なグラフ。x=−2で正から負へ変わり、(−1.5,−1.5)付近の谷を経てx=−1で正になる。原点でx軸に接した後も正で、x=1で負に変わる。(1.5,−1.5)付近の谷を経て、x=2で再び正になる。

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Solution解き方

Decreasing for

−2 < x < −1

and

1 < x < 2;

increasing for

−1 < x < 1

and

x < −2

and

x > 2

−2 < x < −1

と

1 < x < 2

で減少し、

−1 < x < 1

、

x < −2

、

x > 2

で増加する。

Exercises 206–210練習問題 206–210

For the following exercises, analyze the graphs of

f^{'},

then list all intervals where

次の各問では、導関数

f^{'}

のグラフを読み取り、次を求めよ。

$f$ is increasing and decreasing and
$f$ が増加する区間と減少する区間。
the minima and maxima are located.
極大・極小をとる位置。

Exercise 206問題 206

導関数f′(x)のグラフ。x=−2でx軸を横切って負になり、谷を経てx=−1で正になる。その後、山を経て原点でx軸に接し、再び増加する。

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Exercise 207問題 207

導関数f′(x)のグラフ。x=−2で正に変わり、x=−1で負に変わる。谷を経て原点で負から正に変わり、その後の山を経てx=1で負に変わる。さらに谷を経てx=2で再び正になる。

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Solution解き方

a. Increasing over

−2 < x < −1, 0 < x < 1, x > 2,

decreasing over

x < −2,

−1 < x < 0, 1 < x < 2;

b. maxima at

x = −1

and

x = 1,

minima at

x = −2

and

x = 0

and

x = 2

(a)

−2 < x < −1, 0 < x < 1, x > 2

で増加し、

x < −2

と

−1 < x < 0, 1 < x < 2

で減少する。(b)

x = −1

と

x = 1

で極大、

x = −2

、

x = 0

、

x = 2

で極小となる。

Exercise 208問題 208

導関数f′(x)をx=−2からx=2まで描いたグラフ。左端では0に近く、そこから急速に増加する。図の全域で正である。

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Exercise 209問題 209

導関数f′(x)のグラフ。負の値から増加し、変曲点である原点でx軸を横切り、その後も増加する。

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Solution解き方

a. Increasing over

x > 0,

decreasing over

x < 0;

b. Minimum at

x = 0

(a)

x > 0

で増加し、

x < 0

で減少する。(b)

x = 0

で極小となる。

Exercise 210問題 210

導関数f′(x)のグラフ。負の値からx=−1で正に変わる。その後は原点およびx=1でx軸に接するが、負にはならず、最後は増加する。

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Exercises 211–215練習問題 211–215

For the following exercises, analyze the graphs of

f^{'},

then list all inflection points and intervals

f

that are concave up and concave down.

次の各問では、導関数

f^{'}

のグラフを読み取り、

f

の変曲点の位置と、下に凸・上に凸となる区間をすべて挙げよ。

Exercise 211問題 211

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Solution解き方

Concave up on all

x,

no inflection points

すべての

x

で下に凸。変曲点はない。

Exercise 212問題 212

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Exercise 213問題 213

導関数f′(x)はx³のようなグラフで、負の値から原点を通って正の値へと増加を続ける。

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Solution解き方

Concave up on all

x,

no inflection points

すべての

x

で下に凸。変曲点はない。

Exercise 214問題 214

導関数f′(x)のグラフ。負の値から増加し、x≈−0.5でx軸を横切る。(0,1.5)付近で極大をとり、減少して(1,0)でx軸に接した後、再び増加する。

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Exercise 215問題 215

導関数f′(x)のグラフ。負の値からx=−1で正に変わり、(0,1)で極大をとる。その後減少して(1,0)でx軸に接し、再び増加する。

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Solution解き方

Concave up for

x < 0

and

x > 1,

concave down for

0 < x < 1,

inflection points at

x = 0

and

x = 1

x < 0

と

x > 1

で下に凸、

0 < x < 1

で上に凸。変曲点の位置は

x = 0

と

x = 1

。

Exercises 216–220練習問題 216–220

For the following exercises, draw a graph that satisfies the given specifications for the domain

x ϵ [−3, 3] .

The function does not have to be continuous or differentiable.

次の各問では、定義域

x ϵ [−3, 3]

上で指定された条件を満たすグラフを描け。関数は連続でなくてもよく、微分不可能な点があってもよい。

Exercise 216問題 216

f (x) > 0, f^{'} (x) > 0

over

x > 1, −3 < x < 0, f^{'} (x) = 0

over

0 < x < 1

x > 1, −3 < x < 0

では

f (x) > 0, f^{'} (x) > 0

。また、

0 < x < 1

ではf′(x)=0。

Exercise 217問題 217

f^{'} (x) > 0

over

x > 2, −3 < x < −1, f^{'} (x) < 0

over

−1 < x < 2, f^{″} (x) < 0

for all

x

x > 2, −3 < x < −1

では

f^{'} (x) > 0

、

−1 < x < 2

ではf′(x)<0。さらに、すべての

x

でf″(x)<0。

Solution解き方

Answers will vary

解答は一通りではない。

Exercise 218問題 218

f^{″} (x) < 0

over

−1 < x < 1, f^{″} (x) > 0, −3 < x < −1, 1 < x < 3,

local maximum at

x = 0,

local minima at

x = ± 2

凹凸の条件は、

−1 < x < 1

−3 < x < −1

1 < x < 3

f^{″} (x) > 0

である。前者は

f^{″} (x) < 0

を満たす区間を表す。また、

x = 0

で極大、

x = ± 2

で極小となる。

Exercise 219問題 219

There is a local maximum at

x = 2,

local minimum at

x = 1,

and the graph is neither concave up nor concave down.

x = 2

で極大、

x = 1

で極小となる。グラフは、下に凸でも上に凸でもない。

Solution解き方

Answers will vary

解答は一通りではない。

Exercise 220問題 220

There are local maxima at

x = ± 1,

the function is concave up for all

x,

and the function remains positive for all

x .

x = ± 1

で極大となり、すべての

x

で下に凸であり、すべての

x

で正である。

Exercises 221–222練習問題 221–222

For the following exercises, determine

以下の問題では、次を求めよ。

intervals where $f$ is increasing or decreasing and
$f$ が増加する区間と減少する区間。
local minima and maxima of $f .$
$f$ の極小値と極大値

If needed, use a calculator to graph the functions, but show your work.

必要なら電卓でグラフを描いてよいが、計算過程を示すこと。

Exercise 221問題 221

f (x) = sin x + {sin}^{3} x

over

− π < x < π

区間

− π < x < π

における

f (x) = sin x + {sin}^{3} x

Solution解き方

a. Increasing over

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2},

decreasing over

x < - \frac{π}{2}, x > \frac{π}{2}

b. Local maximum at

x = \frac{π}{2};

local minimum at

x = - \frac{π}{2}

指定された定義域内で、(a)

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

では増加し、

x < - \frac{π}{2}, x > \frac{π}{2}

では減少する。(b)

x = \frac{π}{2}

で極大、

x = - \frac{π}{2}

で極小となる。

Exercise 222問題 222

f (x) = x^{2} + cos x

f (x) = x^{2} + cos x

Exercises 223練習問題 223

For the following exercises, determine a. intervals where

f

is concave up or concave down, and b. the inflection points of

f .

次の各問では、(a)

f

が下に凸・上に凸となる区間と、(b)

f

の変曲点を求めよ。

Exercise 223問題 223

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2

Solution解き方

a. Concave up for

x > \frac{4}{3},

concave down for

x < \frac{4}{3}

b. Inflection point at

x = \frac{4}{3}

(a)

x > \frac{4}{3}

で下に凸、

x < \frac{4}{3}

で上に凸。(b) 変曲点の位置は

x = \frac{4}{3}

。

Exercises 224–230練習問題 224–230

For the following exercises, determine

以下の問題では、次を求めよ。

intervals where $f$ is increasing or decreasing,
$f$ が増加する区間と減少する区間。
local minima and maxima of $f,$
$f$ の極小値と極大値
intervals where $f$ is concave up and concave down, and
$f$ が下に凸となる区間と上に凸となる区間。
the inflection points of $f .$
$f$ の変曲点。

Exercise 224問題 224

f (x) = x^{2} - 6 x

f (x) = x^{2} - 6 x

Exercise 225問題 225

f (x) = x^{3} - 6 x^{2}

f (x) = x^{3} - 6 x^{2}

Solution解き方

a. Increasing over

x < 0

and

x > 4,

decreasing over

0 < x < 4

b. Maximum at

x = 0,

minimum at

x = 4

c. Concave up for

x > 2,

concave down for

x < 2

d. Infection point at

x = 2

(a)

x < 0

と

x > 4

で増加し、

0 < x < 4

で減少する。(b)

x = 0

で極大、

x = 4

で極小となる。(c)

x > 2

で下に凸、

x < 2

で上に凸。(d) 変曲点の位置は

x = 2

。

Exercise 226問題 226

f (x) = x^{4} - 6 x^{3}

f (x) = x^{4} - 6 x^{3}

Exercise 227問題 227

f (x) = x^{11} - 6 x^{10}

f (x) = x^{11} - 6 x^{10}

Solution解き方

a. Increasing over

x < 0

and

x > \frac{60}{11},

decreasing over

0 < x < \frac{60}{11}

b. Minimum at

x = \frac{60}{11}

, local maximum at x = 0 c. Concave down for

x < \frac{54}{11},

concave up for

x > \frac{54}{11}

d. Inflection point at

x = \frac{54}{11}

(a)

x < 0

と

x > \frac{60}{11}

で増加し、

0 < x < \frac{60}{11}

で減少する。(b)

x = \frac{60}{11}

で極小、x=0で極大となる。(c)

x < \frac{54}{11}

で上に凸、

x > \frac{54}{11}

で下に凸。(d) 変曲点の位置は

x = \frac{54}{11}

。

Exercise 228問題 228

f (x) = x + x^{2} - x^{3}

f (x) = x + x^{2} - x^{3}

Exercise 229問題 229

f (x) = x^{2} + x + 1

f (x) = x^{2} + x + 1

Solution解き方

a. Increasing over

x > - \frac{1}{2},

decreasing over

x < - \frac{1}{2}

b. Minimum at

x = - \frac{1}{2}

c. Concave up for all

x

d. No inflection points

(a)

x > - \frac{1}{2}

で増加し、

x < - \frac{1}{2}

で減少する。(b)

x = - \frac{1}{2}

で最小となる。(c) すべての

x

で下に凸。(d) 変曲点はない。

Exercise 230問題 230

f (x) = x^{3} + x^{4}

f (x) = x^{3} + x^{4}

Exercises 231–240練習問題 231–240

For the following exercises, determine

以下の問題では、次を求めよ。

intervals where $f$ is increasing or decreasing,
$f$ が増加する区間と減少する区間。
local minima and maxima of $f,$
$f$ の極小値と極大値
intervals where $f$ is concave up and concave down, and
$f$ が下に凸となる区間と上に凸となる区間。
the inflection points of $f .$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.
$f$ の変曲点。グラフの概形を描き、その後で電卓を使って結果を比較せよ。計算で正確な値を求められない場合は、電卓を使ってよい。

Exercise 231問題 231

[T]

f (x) = sin (π x) - cos (π x)

over

x = [−1, 1]

［T］区間

x = [−1, 1]

における

f (x) = sin (π x) - cos (π x)

Solution解き方

a. Increases over

- \frac{1}{4} < x < \frac{3}{4},

decreases over

x > \frac{3}{4}

and

x < - \frac{1}{4}

b. Minimum at

x = - \frac{1}{4},

maximum at

x = \frac{3}{4}

c. Concave up for

- \frac{3}{4} < x < \frac{1}{4},

concave down for

x < - \frac{3}{4}

and

x > \frac{1}{4}

d. Inflection points at

x = - \frac{3}{4}, x = \frac{1}{4}

(a)

- \frac{1}{4} < x < \frac{3}{4}

で増加し、

x > \frac{3}{4}

と

x < - \frac{1}{4}

で減少する。(b)

x = - \frac{1}{4}

で極小、

x = \frac{3}{4}

で極大となる。(c)

- \frac{3}{4} < x < \frac{1}{4}

で下に凸、

x < - \frac{3}{4}

と

x > \frac{1}{4}

で上に凸。(d) 変曲点の位置は

x = - \frac{3}{4}, x = \frac{1}{4}

。

Exercise 232問題 232

[T]

f (x) = x + sin (2 x)

over

x = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

［T］区間

x = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

における

f (x) = x + sin (2 x)

Exercise 233問題 233

[T]

f (x) = sin x + tan x

over

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

［T］区間

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

における

f (x) = sin x + tan x

Solution解き方

a. Increasing for all

x

b. No local minimum or maximum c. Concave up for

x > 0,

concave down for

x < 0

d. Inflection point at

x = 0

(a) すべての

x

で増加する。(b) 極大・極小はない。(c)

x > 0

で下に凸、

x < 0

で上に凸。(d) 変曲点の位置は

x = 0

。

Exercise 234問題 234

[T]

f (x) = {(x - 2)}^{2} {(x - 4)}^{2}

［T］

f (x) = {(x - 2)}^{2} {(x - 4)}^{2}

Exercise 235問題 235

[T]

f (x) = \frac{1}{1 - x}, x \neq 1

［T］

f (x) = \frac{1}{1 - x}, x \neq 1

Solution解き方

a. Increasing for all

x

where defined b. No local minima or maxima c. Concave up for

x < 1;

concave down for

x > 1

d. No inflection points in domain

(a) 定義されている各区間のすべての

x

で増加する。(b) 極大・極小はない。(c)

x < 1

で下に凸、

x > 1

で上に凸。(d) 定義域内に変曲点はない。

Exercise 236問題 236

[T]

f (x) = \frac{sin x}{x}

over

x \in

[- 2 π, 0) \cup (0, 2 π]

[T]

f (x) = \frac{sin x}{x}

。定義域は

x \in

[- 2 π, 0) \cup (0, 2 π]

とする。

Exercise 237問題 237

f (x) = sin (x) e^{x}

over

x = [− π, π]

区間

x = [− π, π]

における

f (x) = sin (x) e^{x}

Solution解き方

a. Increasing over

- \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4},

decreasing over

x > \frac{3 π}{4}, x < - \frac{π}{4}

b. Minimum at

x = - \frac{π}{4},

maximum at

x = \frac{3 π}{4}

c. Concave up for

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2},

concave down for

x < - \frac{π}{2}, x > \frac{π}{2}

d. Infection points at

x = ± \frac{π}{2}

指定された定義域内で、(a)

- \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}

では増加し、

x > \frac{3 π}{4}, x < - \frac{π}{4}

では減少する。(b)

x = - \frac{π}{4}

で極小、

x = \frac{3 π}{4}

で極大となる。(c)

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

で下に凸、

x < - \frac{π}{2}, x > \frac{π}{2}

で上に凸。(d) 変曲点の位置は

x = ± \frac{π}{2}

。

Exercise 238問題 238

f (x) = ln x \sqrt{x}, x > 0

f (x) = ln x \sqrt{x}, x > 0

Exercise 239問題 239

f (x) = \frac{1}{4} \sqrt{x} + \frac{1}{x}, x > 0

f (x) = \frac{1}{4} \sqrt{x} + \frac{1}{x}, x > 0

Solution解き方

a. Increasing over

x > 4,

decreasing over

0 < x < 4

b. Minimum at

x = 4

c. Concave up for

0 < x < 8 \sqrt[3]{2},

concave down for

x > 8 \sqrt[3]{2}

d. Inflection point at

x = 8 \sqrt[3]{2}

(a)

x > 4

で増加し、

0 < x < 4

で減少する。(b)

x = 4

で最小となる。(c)

0 < x < 8 \sqrt[3]{2}

で下に凸、

x > 8 \sqrt[3]{2}

で上に凸。(d) 変曲点の位置は

x = 8 \sqrt[3]{2}

。

Exercise 240問題 240

f (x) = \frac{e^{x}}{x}, x \neq 0

f (x) = \frac{e^{x}}{x}, x \neq 0

Exercises 241–245練習問題 241–245

For the following exercises, interpret the sentences in terms of

f, f^{'}, and f^{″} .

次の各文の意味を、

f, f^{'}, 、 f^{″}

を用いて表せ。

Exercise 241問題 241

The population is growing more slowly. Here

f

is the population.

人口は増加しているが、その増え方は鈍くなっている。ここで

f

は人口を表す。

Solution解き方

f > 0, f^{'} > 0, f^{″} < 0

f > 0, f^{'} > 0, f^{″} < 0

Exercise 242問題 242

A bike accelerates faster, but a car goes faster. Here

f =

Bike’s position minus Car’s position.

自転車の加速度のほうが大きいが、車のほうが速く進んでいる。ここで

f =

自転車の位置−車の位置とする。

Exercise 243問題 243

The airplane lands smoothly. Here

f

is the plane’s altitude.

飛行機が滑らかに着陸する。ここで

f

は飛行機の高度を表す。

Solution解き方

f > 0, f^{'} < 0, f^{″} > 0

f > 0, f^{'} < 0, f^{″} > 0

Exercise 244問題 244

Stock prices are at their peak. Here

f

is the stock price.

株価がピークにある。ここで

f

は株価を表す。

Exercise 245問題 245

The economy is picking up speed. Here

f

is a measure of the economy, such as GDP.

経済の成長に勢いがついている。ここで

f

はGDPなど、経済の規模を表す指標とする。

Solution解き方

f > 0, f^{'} > 0, f^{″} > 0

f > 0, f^{'} > 0, f^{″} > 0