第4章微分の応用

Indefinite Integrals不定積分

We now look at the formal notation used to represent antiderivatives and examine some of their properties. These properties allow us to find antiderivatives of more complicated functions. Given a function

f,

we use the notation

f^{'} (x)

\frac{d f}{d x}

to denote the derivative of

f .

Here we introduce notation for antiderivatives. If

F

is an antiderivative of

f,

we say that

F (x) + C

is the most general antiderivative of

f

and write

原始関数を表す正式な記法と、その性質を考えよう。これらの性質によって、より複雑な関数の原始関数を求められる。関数

f

に対して、

f

の導関数は

f^{'} (x)

または

\frac{d f}{d x}

と表した。ここでは原始関数の記法を導入する。

F

が

f

の原始関数なら、

F (x) + C

を

f

の最も一般的な原始関数といい、次のように書く。

\int f (x) d x = F (x) + C .

\int f (x) d x = F (x) + C

The symbol

\int

is called an integral sign, and

\int f (x) d x

is called the indefinite integral of

f .

英語のヒント

記号

\int

を積分記号といい、

\int f (x) d x

を

f

の不定積分という。

Given the terminology introduced in this definition, the act of finding the antiderivatives of a function

f

is usually referred to as integrating

f .

この定義に基づき、関数

f

の原始関数を求めることを、通常「

f

を積分する」という。

For a function

f

and an antiderivative

F,

the functions

F (x) + C,

where

C

is any real number, is often referred to as the family of antiderivatives of

f .

For example, since

x^{2}

is an antiderivative of

2 x

and any antiderivative of

2 x

is of the form

x^{2} + C,

we write

英語のヒント

関数

f

とその原始関数

F

に対し、

C

を任意の実数として得られる関数

F (x) + C

の集まりを、

f

の原始関数族という。たとえば、

x^{2}

は

2 x

の原始関数であり、

2 x

の原始関数はすべて

x^{2} + C

という形なので、次のように書く。

\int 2 x d x = x^{2} + C .

\int 2 x d x = x^{2} + C

The collection of all functions of the form

x^{2} + C,

where

C

is any real number, is known as the family of antiderivatives of

2 x .

Figure 4.85 shows a graph of this family of antiderivatives.

英語のヒント

C

を任意の実数としたときの、

x^{2} + C

という形の関数すべての集まりが、

2 x

の原始関数族である。図4.85に、そのグラフを示す。

y=x²+2、y=x²+1、y=x²、y=x²−1、y=x²−2のグラフが描かれている。 — Figure 4.85図 4.85
The family of antiderivatives of $2 x$ consists of all functions of the form $x^{2} + C,$ where $C$ is any real number.
$2 x$ の原始関数族は、 $C$ を任意の実数とした $x^{2} + C$ という形の関数すべてからなる。

For some functions, evaluating indefinite integrals follows directly from properties of derivatives. For example, for

n \neq − 1,

いくつかの関数では、微分の性質から直接、不定積分を求められる。たとえば、

n \neq − 1

なら、

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C

which comes directly from

これは、次の微分公式から直接わかる。

\frac{d}{d x} (\frac{x^{n + 1}}{n + 1}) = (n + 1) \frac{x^{n}}{n + 1} = x^{n} .

\frac{d}{d x} (\frac{x^{n + 1}}{n + 1}) = (n + 1) \frac{x^{n}}{n + 1} = x^{n}

This fact is known as the power rule for integrals.

この公式を、べき関数の積分公式という。

Evaluating indefinite integrals for some other functions is also a straightforward calculation. The following table lists the indefinite integrals for several common functions. A more complete list appears in Appendix A.

ほかにも、不定積分をそのまま計算できる関数がある。次の表は、よく使う関数の不定積分をまとめたものである。さらに詳しい一覧は付録Aにある。

Integration Formulas積分公式

Table 4.13表 4.13
Differentiation Formula 微分公式	Indefinite Integral 不定積分
$\frac{d}{d x} (k) = 0$	$\int k d x = \int k x^{0} d x = k x + C$
$\frac{d}{d x} (x^{n}) = n x^{n - 1}$	$\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ for $n \neq − 1$ $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ （ $n \neq − 1$ ）
$\frac{d}{d x} (ln \| x \|) = \frac{1}{x}$	$\int \frac{1}{x} d x = ln \| x \| + C$
$\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x}$	$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\frac{d}{d x} (sin x) = cos x$	$\int cos x d x = sin x + C$
$\frac{d}{d x} (cos x) = − sin x$	$\int sin x d x = − cos x + C$
$\frac{d}{d x} (tan x) = {sec}^{2} x$	$\int {sec}^{2} x d x = tan x + C$
$\frac{d}{d x} (csc x) = − csc x cot x$	$\int csc x cot x d x = − csc x + C$
$\frac{d}{d x} (sec x) = sec x tan x$	$\int sec x tan x d x = sec x + C$
$\frac{d}{d x} (cot x) = − {csc}^{2} x$	$\int {csc}^{2} x d x = − cot x + C$
$\frac{d}{d x} ({sin}^{−1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = {sin}^{−1} x + C$
$\frac{d}{d x} ({tan}^{−1} x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$	$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = {tan}^{−1} x + C$
$\frac{d}{d x} ({sec}^{−1} \| x \|) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$	$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x = {sec}^{−1} \| x \| + C$

From the definition of indefinite integral of

f,

we know

f

の不定積分の定義から、次の等式が成り立つのは、

\int f (x) d x = F (x) + C

if and only if

F

is an antiderivative of

f .

Therefore, when claiming that

F

が

f

の原始関数である場合、かつその場合に限る。したがって、次のように主張するなら、

\int f (x) d x = F (x) + C

it is important to check whether this statement is correct by verifying that

F^{'} (x) = f (x) .

英語のヒント

F^{'} (x) = f (x)

を確かめることによって、主張が正しいかどうかを確認することが重要である。

Example 4.51例題 4.51

Verifying an Indefinite Integral不定積分を検算する

Each of the following statements is of the form

\int f (x) d x = F (x) + C .

Verify that each statement is correct by showing that

F^{'} (x) = f (x) .

次の各等式は、

\int f (x) d x = F (x) + C

という形をしている。

F^{'} (x) = f (x)

を示して、それぞれが正しいことを確かめよ。

$\int (x + e^{x}) d x = \frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C$
$\int (x + e^{x}) d x = \frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C$
$\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$
$\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

Solution解き方

Since
次が成り立つので、

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C) = x + e^{x},$
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C) = x + e^{x}$

the statement
等式

$\int (x + e^{x}) d x = \frac{x^{2}}{2} + e^{x} + C$

is correct.
Note that we are verifying an indefinite integral for a sum. Furthermore, $\frac{x^{2}}{2}$ and $e^{x}$ are antiderivatives of $x$ and $e^{x},$ respectively, and the sum of the antiderivatives is an antiderivative of the sum. We discuss this fact again later in this section.
は正しい。ここでは、和の不定積分を確かめている。 $\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{x}$ は、それぞれ $x$ と $e^{x}$ の原始関数であり、原始関数の和が、和の原始関数になる。この性質は、後でもう一度取り上げる。
Using the product rule, we see that
積の微分公式を使うと、次がわかる。

$\frac{d}{d x} (x e^{x} - e^{x} + C) = e^{x} + x e^{x} - e^{x} = x e^{x} .$
$\frac{d}{d x} (x e^{x} - e^{x} + C) = e^{x} + x e^{x} - e^{x} = x e^{x}$

Therefore, the statement
したがって、等式

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

is correct.
Note that we are verifying an indefinite integral for a product. The antiderivative $x e^{x} - e^{x}$ is not a product of the antiderivatives. Furthermore, the product of antiderivatives, $x^{2} e^{x} / 2$ is not an antiderivative of $x e^{x}$ since
は正しい。ここでは、積の不定積分を確かめている。ただし、原始関数 $x e^{x} - e^{x}$ は、各因子の原始関数を掛けたものではない。また、原始関数どうしの積 $x^{2} e^{x} / 2$ は、 $x e^{x}$ の原始関数ではない。実際、

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} e^{x}}{2}) = x e^{x} + \frac{x^{2} e^{x}}{2} \neq x e^{x} .$
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} e^{x}}{2}) = x e^{x} + \frac{x^{2} e^{x}}{2} \neq x e^{x}$

In general, the product of antiderivatives is not an antiderivative of a product.
英語のヒント
一般に、原始関数どうしの積は、積の原始関数にはならない。

In Table 4.13, we listed the indefinite integrals for many elementary functions. Let’s now turn our attention to evaluating indefinite integrals for more complicated functions. For example, consider finding an antiderivative of a sum

f + g .

In Example 4.51a. we showed that an antiderivative of the sum

x + e^{x}

is given by the sum

(\frac{x^{2}}{2}) + e^{x}

—that is, an antiderivative of a sum is given by a sum of antiderivatives. This result was not specific to this example. In general, if

F

and

G

are antiderivatives of any functions

f

and

g,

respectively, then

表4.13には、多くの初等関数の不定積分を挙げた。次に、より複雑な関数の不定積分を考えよう。たとえば、和

f + g

の原始関数を求めたいとする。例題4.51aでは、和

x + e^{x}

の原始関数が、原始関数の和

(\frac{x^{2}}{2}) + e^{x}

になることを示した。これは、この例だけの性質ではない。一般に、

F

と

G

がそれぞれ関数

f

と

g

の原始関数なら、

\frac{d}{d x} (F (x) + G (x)) = F^{'} (x) + G^{'} (x) = f (x) + g (x) .

\frac{d}{d x} (F (x) + G (x)) = F^{'} (x) + G^{'} (x) = f (x) + g (x)

Therefore,

F (x) + G (x)

is an antiderivative of

f (x) + g (x)

and we have

したがって、

F (x) + G (x)

は

f (x) + g (x)

の原始関数であり、次が成り立つ。

\int (f (x) + g (x)) d x = F (x) + G (x) + C .

\int (f (x) + g (x)) d x = F (x) + G (x) + C

Similarly,

同様に、

\int (f (x) - g (x)) d x = F (x) - G (x) + C .

\int (f (x) - g (x)) d x = F (x) - G (x) + C

In addition, consider the task of finding an antiderivative of

k f (x),

where

k

is any real number. Since

さらに、

k

を任意の実数として、

k f (x)

の原始関数を考える。次が成り立つので、

\frac{d}{d x} (k f (x)) = k \frac{d}{d x} F (x) = k f^{'} (x)

for any real number

k,

we conclude that

任意の実数

k

に対し、次を得る。

\int k f (x) d x = k F (x) + C .

\int k f (x) d x = k F (x) + C

These properties are summarized next.

これらの性質をまとめよう。

From this theorem, we can evaluate any integral involving a sum, difference, or constant multiple of functions with antiderivatives that are known. Evaluating integrals involving products, quotients, or compositions is more complicated (see Example 4.51b. for an example involving an antiderivative of a product.) We look at and address integrals involving these more complicated functions in Introduction to Integration. In the next example, we examine how to use this theorem to calculate the indefinite integrals of several functions.

この定理から、原始関数がわかっている関数どうしの和・差・定数倍なら、積分を求められる。積・商・合成を含む積分は、より複雑である。積の原始関数を扱った例題4.51bも参照してほしい。こうした複雑な関数の積分は「積分への導入」以降で扱う。次の例では、この定理を使っていくつかの不定積分を計算する。

Example 4.52例題 4.52

Evaluating Indefinite Integrals不定積分を計算する

Evaluate each of the following indefinite integrals:

次の各不定積分を求めよ。

$\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x$
$\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x$
$\int \frac{x^{2} + 4 \sqrt[3]{x}}{x} d x$
$\int \frac{x^{2} + 4 \sqrt[3]{x}}{x} d x$
$\int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$
$\int \frac{4}{1 + x^{2}} d x$
$\int tan x cos x d x$
$\int tan x cos x d x$

Solution解き方

Using Theorem 4.16, we can integrate each of the four terms in the integrand separately. We obtain
定理4.16により、被積分関数の4つの項を、それぞれ別々に積分できる。すると、

$\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x = \int 5 x^{3} d x - \int 7 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x .$
$\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x = \int 5 x^{3} d x - \int 7 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x$

From the second part of Theorem 4.16, each coefficient can be written in front of the integral sign, which gives
定理4.16の第2の性質により、各係数を積分記号の前へ出すと、

$\int 5 x^{3} d x - \int 7 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x = 5 \int x^{3} d x - 7 \int x^{2} d x + 3 \int x d x + 4 \int 1 d x .$
$\int 5 x^{3} d x - \int 7 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 4 d x = 5 \int x^{3} d x - 7 \int x^{2} d x + 3 \int x d x + 4 \int 1 d x$

Using the power rule for integrals, we conclude that
べき関数の積分公式を使うと、次を得る。

$\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x = \frac{5}{4} x^{4} - \frac{7}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + C .$
$\int (5 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x + 4) d x = \frac{5}{4} x^{4} - \frac{7}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + C$
Rewrite the integrand as
被積分関数を次のように書き換える。

$\frac{x^{2} + 4 \sqrt[3]{x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x}}{x} .$
$\frac{x^{2} + 4 \sqrt[3]{x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x}}{x}$

Then, to evaluate the integral, integrate each of these terms separately. Using the power rule, we have
各項を別々に積分し、べき関数の積分公式を使うと、

$\begin{matrix} \int (x + \frac{4}{x^{2 / 3}}) d x & = \int x d x + 4 \int x^{−2 / 3} d x \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 4 \frac{1}{(\frac{−2}{3}) + 1} x^{(−2 / 3) + 1} + C \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 12 x^{1 / 3} + C . \end{matrix}$
Using Theorem 4.16, write the integral as
定理4.16により、積分を次のように書く。

$4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x .$
$4 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Then, use the fact that ${tan}^{−1} (x)$ is an antiderivative of $\frac{1}{(1 + x^{2})}$ to conclude that
${tan}^{−1} (x)$ が $\frac{1}{(1 + x^{2})}$ の原始関数であることを使うと、

$\int \frac{4}{1 + x^{2}} d x = 4 {tan}^{−1} (x) + C .$
$\int \frac{4}{1 + x^{2}} d x = 4 {tan}^{−1} (x) + C$
Rewrite the integrand as
被積分関数を次のように書き換える。

$tan x cos x = \frac{sin x}{cos x} cos x = sin x .$
$tan x cos x = \frac{sin x}{cos x} cos x = sin x$

Therefore,
したがって、

$\int tan x cos x = \int sin x = − cos x + C .$
$\int tan x cos x = \int sin x = − cos x + C$