第4章微分の応用

Key Concepts重要な概念

Newton’s method approximates roots of $f (x) = 0$ by starting with an initial approximation $x_{0},$ then uses tangent lines to the graph of $f$ to create a sequence of approximations $x_{1}, x_{2}, x_{3},… .$
ニュートン法では、 $f (x) = 0$ の根を近似するため、初期値 $x_{0}$ から始め、 $f$ のグラフの接線を使って近似値の列 $x_{1}, x_{2}, x_{3},…$ を作る。
Typically, Newton’s method is an efficient method for finding a particular root. In certain cases, Newton’s method fails to work because the list of numbers $x_{0}, x_{1}, x_{2},…$ does not approach a finite value or it approaches a value other than the root sought.
ニュートン法は通常、特定の根を求める効率のよい方法である。しかし、数列 $x_{0}, x_{1}, x_{2},…$ が有限の値へ近づかなかったり、求めたい根とは違う値へ向かったりして、うまくいかない場合もある。
Any process in which a list of numbers $x_{0}, x_{1}, x_{2},…$ is generated by defining an initial number $x_{0}$ and defining the subsequent numbers by the equation $x_{n} = F (x_{n - 1})$ for some function $F$ is an iterative process. Newton’s method is an example of an iterative process, where the function $F (x) = x - [\frac{f (x)}{f^{'} (x)}]$ for a given function $f .$
初期値 $x_{0}$ を定め、ある関数 $F$ について $x_{n} = F (x_{n - 1})$ で後の項を定義し、数列 $x_{0}, x_{1}, x_{2},…$ を作る操作を反復過程という。ニュートン法もその1つであり、与えられた関数 $f$ に対して $F (x) = x - [\frac{f (x)}{f^{'} (x)}]$ を使う。

Exercises 406–410練習問題 406–410

For the following exercises, write Newton’s formula as

x_{n + 1} = F (x_{n})

for solving

f (x) = 0 .

次の各問では、

f (x) = 0

を解くためのニュートン法の公式を、

x_{n + 1} = F (x_{n})

という形に書け。

Exercise 406問題 406

f (x) = x^{2} + 1

f (x) = x^{2} + 1

Exercise 407問題 407

f (x) = x^{3} + 2 x + 1

f (x) = x^{3} + 2 x + 1

Solution解き方

F (x_{n}) = x_{n} - \frac{x_{n}^{3} + 2 x_{n} + 1}{3 x_{n}^{2} + 2}

F (x_{n}) = x_{n} - \frac{x_{n}^{3} + 2 x_{n} + 1}{3 x_{n}^{2} + 2}

Exercise 408問題 408

f (x) = sin x

f (x) = sin x

Exercise 409問題 409

f (x) = e^{x}

f (x) = e^{x}

Solution解き方

F (x_{n}) = x_{n} - \frac{e^{x_{n}}}{e^{x_{n}}}

F (x_{n}) = x_{n} - \frac{e^{x_{n}}}{e^{x_{n}}}

Exercise 410問題 410

f (x) = x^{3} + 3 x e^{x}

f (x) = x^{3} + 3 x e^{x}

Exercises 411–413練習問題 411–413

For the following exercises, solve

f (x) = 0

using the iteration

x_{n + 1} = x_{n} - c f (x_{n}),

which differs slightly from Newton’s method. Find a

c

that works and a

c

that fails to converge, with the exception of

c = 0 .

次の各問では、ニュートン法と少し異なる反復式

x_{n + 1} = x_{n} - c f (x_{n})

を使って、

f (x) = 0

を解け。うまくいく

c

の値と、収束しない

c

の値を、それぞれ1つ求めよ。ただし

c = 0

は除く。

Exercise 411問題 411

f (x) = x^{2} - 4,

with

x_{0} = 0

f (x) = x^{2} - 4

、初期値

x_{0} = 0

。

Solution解き方

| c | > 0.5

fails,

| c | \leq 0.5

works

| c | > 0.5

では収束せず、

| c | \leq 0.5

では収束する（c=0は設問で除外）。

Exercise 412問題 412

f (x) = x^{2} - 4 x + 3,

with

x_{0} = 2

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

、初期値

x_{0} = 2

。

Exercise 413問題 413

What is the value of

“ c ”

for Newton’s method?

ニュートン法では、

“ c ”

に相当する値は何か。

Solution解き方

c = \frac{1}{f^{'} (x_{n})}

c = \frac{1}{f^{'} (x_{n})}

Exercises 414–421練習問題 414–421

For the following exercises, start at

次の各問では、それぞれ次の初期値から始める。

x_{0} = 0.6

and

x_{0} = 0.6

、および

x_{0} = 2 .

x_{0} = 2

。

Compute

x_{1}

and

x_{2}

using the specified iterative method.

指定された反復法で、

x_{1}

と

x_{2}

を計算せよ。

Exercise 414問題 414

x_{n + 1} = x_{n}^{2} - \frac{1}{2}

x_{n + 1} = x_{n}^{2} - \frac{1}{2}

Exercise 415問題 415

x_{n + 1} = 2 x_{n} (1 - x_{n})

x_{n + 1} = 2 x_{n} (1 - x_{n})

Solution解き方

x_{1} = \frac{12}{25}, x_{2} = \frac{312}{625};

x_{1} = −4, x_{2} = −40

x_{1} = \frac{12}{25}, x_{2} = \frac{312}{625}

x_{1} = −4, x_{2} = −40

Exercise 416問題 416

x_{n + 1} = \sqrt{x_{n}}

x_{n + 1} = \sqrt{x_{n}}

Exercise 417問題 417

x_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{x_{n}}}

x_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{x_{n}}}

Solution解き方

x_{1} = 1.291, x_{2} = 0.8801;

x_{1} = 0.7071, x_{2} = 1.189

x_{1} = 1.291, x_{2} = 0.8801

x_{1} = 0.7071, x_{2} = 1.189

Exercise 418問題 418

x_{n + 1} = 3 x_{n} (1 - x_{n})

x_{n + 1} = 3 x_{n} (1 - x_{n})

Exercise 419問題 419

x_{n + 1} = x_{n}^{2} + x_{n} - 2

x_{n + 1} = x_{n}^{2} + x_{n} - 2

Solution解き方

x_{1} = - \frac{26}{25}, x_{2} = - \frac{1224}{625};

x_{1} = 4, x_{2} = 18

x_{1} = - \frac{26}{25}, x_{2} = - \frac{1224}{625}

x_{1} = 4, x_{2} = 18

Exercise 420問題 420

x_{n + 1} = \frac{1}{2} x_{n} - 1

x_{n + 1} = \frac{1}{2} x_{n} - 1

Exercise 421問題 421

x_{n + 1} = | x_{n} |

x_{n + 1} = | x_{n} |

Solution解き方

x_{1} = \frac{6}{10}, x_{2} = \frac{6}{10};

x_{1} = 2, x_{2} = 2

x_{1} = \frac{6}{10}, x_{2} = \frac{6}{10}

x_{1} = 2, x_{2} = 2

Exercises 422–431練習問題 422–431

For the following exercises, solve to four decimal places using Newton’s method and a computer or calculator. Choose any initial guess

x_{0}

that is not the exact root.

次の各方程式を、ニュートン法とコンピューターまたは計算機を使って解き、小数第4位まで求めよ。厳密な根そのものではない初期値

x_{0}

を選ぶこと。

Exercise 422問題 422

x^{2} - 10 = 0

x^{2} - 10 = 0

Exercise 423問題 423

x^{4} - 100 = 0

x^{4} - 100 = 0

Solution解き方

3.1623 or - 3.1623

3.1623 または - 3.1623

Exercise 424問題 424

x^{2} - x = 0

x^{2} - x = 0

Exercise 425問題 425

x^{3} - x = 0

x^{3} - x = 0

Solution解き方

0, −1 or 1

0, −1 または 1

Exercise 426問題 426

x + 5 cos (x) = 0

x + 5 cos (x) = 0

Exercise 427問題 427

x + tan (x) = 0,

choose

x_{0} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

x + tan (x) = 0

。初期値は

x_{0} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

を満たすように選ぶ。

Solution解き方

0

0

Exercise 428問題 428

\frac{1}{1 - x} = 2

\frac{1}{1 - x} = 2

Exercise 429問題 429

1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} = 2

1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} = 2

Solution解き方

0.5188 or - 1.2906

0.5188 または - 1.2906

Exercise 430問題 430

x^{3} + {(x + 1)}^{3} = 10^{3}

x^{3} + {(x + 1)}^{3} = 10^{3}

Exercise 431問題 431

x = {sin}^{2} (x)

x = {sin}^{2} (x)

Solution解き方

0

0

Exercises 432–435練習問題 432–435

For the following exercises, use Newton’s method to find the fixed points of the function where

f (x) = x;

round to three decimals.

次の各関数について、ニュートン法を使って

f (x) = x

を満たす不動点を求め、小数第3位まで答えよ。

Exercise 432問題 432

sin x

sin x

Exercise 433問題 433

tan (x)

x \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})

x \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})

の範囲での

tan (x)

。

Solution解き方

4.493

4.493

Exercise 434問題 434

e^{x} - 2

e^{x} - 2

Exercise 435問題 435

ln (x) + 2

ln (x) + 2

Solution解き方

0.159, 3.146

0.159, 3.146

Exercises 436–437練習問題 436–437

Newton’s method can be used to find maxima and minima of functions in addition to the roots. In this case apply Newton’s method to the derivative function

f^{'} (x)

to find its roots, instead of the original function. For the following exercises, consider the formulation of the method.

ニュートン法は、根だけでなく極大・極小を探すことにも使える。この場合、もとの関数ではなく導関数

f^{'} (x)

にニュートン法を適用し、その零点を求める。次の各問で、その方法を考えよう。

Exercise 436問題 436

To find candidates for maxima and minima, we need to find the critical points

f^{'} (x) = 0 .

Show that to solve for the critical points of a function

f (x),

Newton’s method is given by

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f^{'} (x_{n})}{f^{″} (x_{n})} .

極大・極小の候補を得るには、

f^{'} (x) = 0

を満たす停留点を求める必要がある。関数

f (x)

の停留点を求めるニュートン法が、

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f^{'} (x_{n})}{f^{″} (x_{n})}

で与えられることを示せ。

Exercise 437問題 437

What additional restrictions are necessary on the function

f ?

関数

f

には、さらにどのような条件が必要か。

Solution解き方

We need

f

to be twice continuously differentiable.

f

は2回連続微分可能である必要がある。また、反復式を計算する各点で2階導関数が0でないことが必要である。

Exercises 438–445練習問題 438–445

For the following exercises, use Newton’s method to find the location of the local minima and/or maxima of the following functions; round to three decimals.

次の各関数について、ニュートン法で局所的な極小・極大の位置を求め、小数第3位まで答えよ。

Exercise 438問題 438

Minimum of

f (x) = x^{2} + 2 x + 4

最小値は

f (x) = x^{2} + 2 x + 4

。

Exercise 439問題 439

Minimum of

f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 16

最小値は

f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} - 16

。

Solution解き方

x = 0

x = 0

Exercise 440問題 440

Minimum of

f (x) = x^{2} e^{x}

最小値は

f (x) = x^{2} e^{x}

。

Exercise 441問題 441

Maximum of

f (x) = x + \frac{1}{x}

f (x) = x + \frac{1}{x}

の極大。

Solution解き方

x = −1

x = −1

Exercise 442問題 442

Maximum of

f (x) = x^{3} + 10 x^{2} + 15 x - 2

f (x) = x^{3} + 10 x^{2} + 15 x - 2

の極大。

Exercise 443問題 443

Maximum of

f (x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x}

f (x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x}

の極大。

Solution解き方

x = 5.619

x = 5.619

Exercise 444問題 444

Minimum of

f (x) = x^{2} sin x,

closest non-zero minimum to

x = 0

f (x) = x^{2} sin x

の極小のうち、

x = 0

に最も近く、x=0ではないもの。

Exercise 445問題 445

Minimum of

f (x) = x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} + 12 x + 6

最小値は

f (x) = x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} + 12 x + 6

。

Solution解き方

x = −1.326

x = −1.326

Exercises 446–449練習問題 446–449

For the following exercises, use the specified method to solve the equation. If it does not work, explain why it does not work.

次の各問では、指定された方法で方程式を解け。うまくいかない場合は、その理由を説明せよ。

Exercise 446問題 446

Newton’s method,

x^{2} + 2 = 0

ニュートン法：

x^{2} + 2 = 0

。

Exercise 447問題 447

Newton’s method,

0 = e^{x}

ニュートン法：

0 = e^{x}

。

Solution解き方

There is no solution to the equation.

この方程式には解がない。

Exercise 448問題 448

Newton’s method,

0 = 1 + x^{2}

starting at

x_{0} = 0

ニュートン法：

0 = 1 + x^{2}

。初期値は

x_{0} = 0

とする。

Exercise 449問題 449

Solving

x_{n + 1} = − x_{n}^{3}

starting at

x_{0} = −1

x_{0} = −1

から始めて、

x_{n + 1} = − x_{n}^{3}

を反復する。

Solution解き方

It enters a cycle.

周期的なサイクルに入る。

Exercises 450–454練習問題 450–454

For the following exercises, use the secant method, an alternative iterative method to Newton’s method. The formula is given by

英語のヒント

次の各問では、ニュートン法とは別の反復法であるセカント法（割線法）を使う。その公式は次で与えられる。

x_{n} = x_{n - 1} - f (x_{n - 1}) \frac{x_{n - 1} - x_{n - 2}}{f (x_{n - 1}) - f (x_{n - 2})} .

x_{n} = x_{n - 1} - f (x_{n - 1}) \frac{x_{n - 1} - x_{n - 2}}{f (x_{n - 1}) - f (x_{n - 2})}

Exercise 450問題 450

Find a root to

0 = x^{2} - x - 3

accurate to three decimal places.

0 = x^{2} - x - 3

の根を、小数第3位まで正確に求めよ。

Exercise 451問題 451

Find a root to

0 = sin x + 3 x

accurate to four decimal places.

0 = sin x + 3 x

の根を、小数第4位まで正確に求めよ。

Solution解き方

0

0

Exercise 452問題 452

Find a root to

0 = e^{x} - 2

accurate to four decimal places.

0 = e^{x} - 2

の根を、小数第4位まで正確に求めよ。

Exercise 453問題 453

Find a root to

ln (x + 2) = \frac{1}{2}

accurate to four decimal places.

ln (x + 2) = \frac{1}{2}

の根を、小数第4位まで正確に求めよ。

Solution解き方

−0.3513

−0.3513

Exercise 454問題 454

Why would you use the secant method over Newton’s method? What are the necessary restrictions on

f ?

ニュートン法ではなくセカント法を使うのは、どのような理由からか。

f

にはどのような条件が必要か。

Exercises 455–459練習問題 455–459

For the following exercises, use both Newton’s method and the secant method to calculate a root for the following equations. Use a calculator or computer to calculate how many iterations of each are needed to reach within three decimal places of the exact answer. For the secant method, use the first guess from Newton’s method.

次の各方程式について、ニュートン法とセカント法の両方で根を求めよ。計算機またはコンピューターを使い、厳密な答えの小数第3位までを得るのに必要な反復回数を、それぞれ調べよ。セカント法の最初の近似値には、ニュートン法と同じものを使う。

Exercise 455問題 455

f (x) = x^{2} + 2 x + 1, x_{0} = 1

f (x) = x^{2} + 2 x + 1, x_{0} = 1

Solution解き方

Newton:

11

iterations, secant:

16

iterations

ニュートン法：

11

回。セカント法：

16

回。

Exercise 456問題 456

f (x) = x^{2}, x_{0} = 1

f (x) = x^{2}, x_{0} = 1

Exercise 457問題 457

f (x) = sin x, x_{0} = 1

f (x) = sin x, x_{0} = 1

Solution解き方

Newton: three iterations, secant: six iterations

ニュートン法：3回。セカント法：6回。

Exercise 458問題 458

f (x) = e^{x} - 1, x_{0} = 2

f (x) = e^{x} - 1, x_{0} = 2

Exercise 459問題 459

f (x) = x^{3} + 2 x + 4, x_{0} = 0

f (x) = x^{3} + 2 x + 4, x_{0} = 0

Solution解き方

Newton: five iterations, secant: eight iterations

ニュートン法：5回。セカント法：8回。

Exercises 460–461練習問題 460–461

In the following exercises, consider Kepler’s equation regarding planetary orbits,

M = E - ε sin (E),

where

M

is the mean anomaly,

E

is eccentric anomaly, and

ε

measures eccentricity.

英語のヒント

次の各問では、惑星の軌道に関するケプラー方程式

M = E - ε sin (E)

を考える。

M

は平均近点角、

E

は離心近点角、

ε

は離心率である。

Exercise 460問題 460

Use Newton’s method to solve for the eccentric anomaly

E

when the mean anomaly

M = \frac{π}{3}

and the eccentricity of the orbit

ε = 0.25;

round to three decimals.

平均近点角

M = \frac{π}{3}

、軌道の離心率

ε = 0.25

の場合に、ニュートン法で離心近点角

E

を求め、小数第3位まで答えよ。

Exercise 461問題 461

Use Newton’s method to solve for the eccentric anomaly

E

when the mean anomaly

M = \frac{3 π}{2}

and the eccentricity of the orbit

ε = 0.8;

round to three decimals.

平均近点角

M = \frac{3 π}{2}

、軌道の離心率

ε = 0.8

の場合に、ニュートン法で離心近点角

E

を求め、小数第3位まで答えよ。

Solution解き方

E = 4.071

E = 4.071

Exercises 462–464練習問題 462–464

The following two exercises consider a bank investment. The initial investment is

$ 10,000 .

After

25

years, the investment has tripled to

$ 30,000 .

次の2問では、銀行での資金運用を考える。初期の運用額は

$ 10,000

で、

25

年後に3倍の

$ 30,000

になった。

Exercise 462問題 462

Use Newton’s method to determine the interest rate if the interest was compounded annually.

利息を毎年組み入れる場合の利率を、ニュートン法で求めよ。

Exercise 463問題 463

Use Newton’s method to determine the interest rate if the interest was compounded continuously.

連続複利で運用した場合の利率を、ニュートン法で求めよ。

Solution解き方

4.394 %

4.394 %

Exercise 464問題 464

The total cost for printing

x

books can be given by the equation

C (x) = 1000 + 12 x + (\frac{1}{2}) x^{2 / 3} .

Use Newton’s method to find the break-even point if the printer sells each book for

$ 20 .

英語のヒント

本を

x

冊印刷する総費用は、

C (x) = 1000 + 12 x + (\frac{1}{2}) x^{2 / 3}

で表される。印刷業者が1冊を

$ 20

で販売するとき、ニュートン法で損益分岐点を求めよ。

iterative process

反復過程

process in which a list of numbers

x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} …

is generated by starting with a number

x_{0}

and defining

x_{n} = F (x_{n - 1})

for

n \geq 1

初期値

x_{0}

から始め、

n \geq 1

について

x_{n} = F (x_{n - 1})

と定めることで、数列

x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} …

を作る操作。

Newton’s method

ニュートン法

method for approximating roots of

f (x) = 0;

using an initial guess

x_{0};

each subsequent approximation is defined by the equation

x_{n} = x_{n - 1} - \frac{f (x_{n - 1})}{f' (x_{n - 1})}

f (x) = 0

の根を近似する方法。初期値

x_{0}

から始め、その後の近似値を

x_{n} = x_{n - 1} - \frac{f (x_{n - 1})}{f' (x_{n - 1})}

で定める。