第4章微分の応用

Key Concepts重要な概念

The limit of $f (x)$ is $L$ as $x \to \infty$ (or as $x \to − \infty)$ if the values $f (x)$ become arbitrarily close to $L$ as $x$ becomes sufficiently large.
$x \to \infty$ のとき、 $x$ を十分大きくすることで $f (x)$ を $L$ にいくらでも近づけられるなら、 $f (x)$ の極限は $L$ である。 $x \to − \infty)$ の場合は、xを十分小さな負の数にすることで同様に近づけられることをいう。
The limit of $f (x)$ is $\infty$ as $x \to \infty$ if $f (x)$ becomes arbitrarily large as $x$ becomes sufficiently large. The limit of $f (x)$ is $− \infty$ as $x \to \infty$ if $f (x) < 0$ and $| f (x) |$ becomes arbitrarily large as $x$ becomes sufficiently large. We can define the limit of $f (x)$ as $x$ approaches $− \infty$ similarly.
$x$ を十分大きくすると $f (x)$ がいくらでも大きくなるなら、 $x \to \infty$ のときの $f (x)$ の極限は $\infty$ である。 $x$ を十分大きくすると、 $f (x) < 0$ を保ちながら $| f (x) |$ がいくらでも大きくなるなら、 $x \to \infty$ のときの $f (x)$ の極限は $− \infty$ である。 $x$ が $− \infty$ に近づくときの $f (x)$ の極限も、同様に定義する。
For a polynomial function $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0},$ where $a_{n} \neq 0,$ the end behavior is determined by the leading term $a_{n} x^{n} .$ If $n \neq 0,$ $p (x)$ approaches $\infty$ or $− \infty$ at each end.
多項式関数 $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + … + a_{1} x + a_{0}$ （ $a_{n} \neq 0$ ）の無限遠での振る舞いは、最高次の項 $a_{n} x^{n}$ で決まる。 $n \neq 0$ なら、 $p (x)$ は左右の遠方でそれぞれ $\infty$ または $− \infty$ へ発散する。
For a rational function $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)},$ the end behavior is determined by the relationship between the degree of $p$ and the degree of $q .$ If the degree of $p$ is less than the degree of $q,$ the line $y = 0$ is a horizontal asymptote for $f .$ If the degree of $p$ is equal to the degree of $q,$ then the line $y = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ is a horizontal asymptote, where $a_{n}$ and $b_{n}$ are the leading coefficients of $p$ and $q,$ respectively. If the degree of $p$ is greater than the degree of $q,$ then $f$ approaches $\infty$ or $− \infty$ at each end.
有理関数 $f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}$ の無限遠での振る舞いは、 $p$ と $q$ の次数の関係によって決まる。 $p$ の次数が $q$ の次数より小さいなら、直線 $y = 0$ が $f$ の水平漸近線になる。 $p$ と $q$ の次数が等しいなら、直線 $y = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ が水平漸近線になる。ここで $a_{n}$ と $b_{n}$ は、それぞれ $p$ と $q$ の最高次係数である。 $p$ の次数が $q$ の次数より大きいなら、 $f$ は左右の遠方でそれぞれ $\infty$ または $− \infty$ へ発散する。

Exercises 251–255練習問題 251–255

For the following exercises, examine the graphs. Identify where the vertical asymptotes are located.

次の各グラフを調べ、垂直漸近線の位置を求めよ。

Exercise 251問題 251

x=1の左側では、グラフがx=1へ近づくにつれて急激に下がる。右側では、x=1の近くで高い正の値をとり、右へ進むと急激に減少する。

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Solution解き方

x = 1

x = 1

Exercise 252問題 252

x=−3の左側ではグラフが急激に上がる。−3<x<2の枝は、両端で負の無限大へ下がる上に凸の山形。x=2の右側では、高い正の値から急激に下がる。

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Exercise 253問題 253

x=−1の左側ではグラフが急激に下がる。−1<x<2の枝は、両端で負の無限大へ下がる山形。x=2の右側では、高い正の値から急激に下がる。

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Solution解き方

x = −1, x = 2

x = −1, x = 2

Exercise 254問題 254

x<0の枝は、x=0へ近づくと急激に下がる。0<x<1では両端が上へ伸びる谷形、1<x<2では両端が下へ伸びる山形。x>2の枝は、x=2の近くの大きな負の値から増加する。

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Exercise 255問題 255

x<0の枝は、x=0へ近づくと急激に下がる。x>0の枝は、x=0の近くで大きな正の値をとり、いったん下がってから上がる谷形で、そのまま右へ続く。

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Solution解き方

x = 0

x = 0

Exercises 256–260練習問題 256–260

For the following functions

f (x),

determine whether there is an asymptote at

x = a .

Justify your answer without graphing on a calculator.

次の関数

f (x)

について、

x = a

が垂直漸近線かどうかを調べよ。電卓でグラフを描かずに、理由を説明せよ。

Exercise 256問題 256

f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 5 x + 4}, a = −1

f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 5 x + 4}, a = −1

Exercise 257問題 257

f (x) = \frac{x}{x - 2}, a = 2

f (x) = \frac{x}{x - 2}, a = 2

Solution解き方

Yes, there is a vertical asymptote

はい。垂直漸近線がある。

Exercise 258問題 258

f (x) = {(x + 2)}^{3 / 2}, a = −2

f (x) = {(x + 2)}^{3 / 2}, a = −2

Exercise 259問題 259

f (x) = {(x - 1)}^{−1 / 3}, a = 1

f (x) = {(x - 1)}^{−1 / 3}, a = 1

Solution解き方

Yes, there is vertical asymptote

はい。垂直漸近線がある。

Exercise 260問題 260

f (x) = 1 + x^{−2 / 5}, a = 1

f (x) = 1 + x^{−2 / 5}, a = 1

Exercises 261–270練習問題 261–270

For the following exercises, evaluate the limit.

次の各極限を求めよ。

Exercise 261問題 261

lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 6}

lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 6}

Solution解き方

0

0

Exercise 262問題 262

lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 5}{4 x}

lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 5}{4 x}

Exercise 263問題 263

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 5}{x + 2}

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 5}{x + 2}

Solution解き方

\infty

\infty

Exercise 264問題 264

lim_{x \to − \infty} \frac{3 x^{3} - 2 x}{x^{2} + 2 x + 8}

lim_{x \to − \infty} \frac{3 x^{3} - 2 x}{x^{2} + 2 x + 8}

Exercise 265問題 265

lim_{x \to − \infty} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + 1}{2 - 2 x^{2} - 7 x^{4}}

lim_{x \to − \infty} \frac{x^{4} - 4 x^{3} + 1}{2 - 2 x^{2} - 7 x^{4}}

Solution解き方

- \frac{1}{7}

- \frac{1}{7}

Exercise 266問題 266

lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Exercise 267問題 267

lim_{x \to − \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 1}}{x + 2}

lim_{x \to − \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 1}}{x + 2}

Solution解き方

−2

−2

Exercise 268問題 268

lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

Exercise 269問題 269

lim_{x \to − \infty} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

lim_{x \to − \infty} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

Solution解き方

−4

−4

Exercise 270問題 270

lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}

lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1}

Exercises 271–284練習問題 271–284

For the following exercises, find the horizontal and vertical asymptotes.

次の各関数の水平漸近線と垂直漸近線を求めよ。

Exercise 271問題 271

f (x) = x - \frac{9}{x}

f (x) = x - \frac{9}{x}

Solution解き方

Horizontal: none, vertical:

x = 0

水平漸近線：なし。垂直漸近線：

x = 0

。

Exercise 272問題 272

f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}

f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}

Exercise 273問題 273

f (x) = \frac{x^{3}}{4 - x^{2}}

f (x) = \frac{x^{3}}{4 - x^{2}}

Solution解き方

Horizontal: none, vertical:

x = ± 2

水平漸近線：なし。垂直漸近線：

x = ± 2

。

Exercise 274問題 274

f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1}

f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x^{2} + 1}

Exercise 275問題 275

f (x) = sin (x) sin (2 x)

f (x) = sin (x) sin (2 x)

Solution解き方

Horizontal: none, vertical: none

水平漸近線：なし。垂直漸近線：なし。

Exercise 276問題 276

f (x) = cos x + cos (3 x) + cos (5 x)

f (x) = cos x + cos (3 x) + cos (5 x)

Exercise 277問題 277

f (x) = \frac{x sin (x)}{x^{2} - 1}

f (x) = \frac{x sin (x)}{x^{2} - 1}

Solution解き方

Horizontal:

y = 0,

vertical:

x = ± 1

水平漸近線：

y = 0

。垂直漸近線：

x = ± 1

。

Exercise 278問題 278

f (x) = \frac{x}{sin (x)}

f (x) = \frac{x}{sin (x)}

Exercise 279問題 279

f (x) = \frac{1}{x^{3} + x^{2}}

f (x) = \frac{1}{x^{3} + x^{2}}

Solution解き方

Horizontal:

y = 0,

vertical:

x = 0

and

x = −1

水平漸近線：

y = 0

。垂直漸近線：

x = 0

と

x = −1

。

Exercise 280問題 280

f (x) = \frac{1}{x - 1} - 2 x

f (x) = \frac{1}{x - 1} - 2 x

Exercise 281問題 281

f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}

f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{3} - 1}

Solution解き方

Horizontal:

y = 1,

vertical:

x = 1

水平漸近線：

y = 1

。垂直漸近線：

x = 1

。

Exercise 282問題 282

f (x) = \frac{sin x + cos x}{sin x - cos x}

f (x) = \frac{sin x + cos x}{sin x - cos x}

Exercise 283問題 283

f (x) = x - sin x

f (x) = x - sin x

Solution解き方

Horizontal: none, vertical: none

水平漸近線：なし。垂直漸近線：なし。

Exercise 284問題 284

f (x) = \frac{1}{x} - \sqrt{x}

f (x) = \frac{1}{x} - \sqrt{x}

Exercises 285–288練習問題 285–288

For the following exercises, construct a function

f (x)

that has the given asymptotes.

指定された漸近線をもつ関数

f (x)

を一つ作れ。

Exercise 285問題 285

x = 1

and

y = 2

x = 1

および

y = 2

Solution解き方

Answers will vary, for example:

y = \frac{2 x}{x - 1}

答えは一通りではない。例えば、

y = \frac{2 x}{x - 1}

。

Exercise 286問題 286

x = 1

and

y = 0

x = 1

および

y = 0

Exercise 287問題 287

y = 4,

x = −1

y = 4

x = −1

Solution解き方

Answers will vary, for example:

y = \frac{4 x}{x + 1}

答えは一通りではない。例えば、

y = \frac{4 x}{x + 1}

。

Exercise 288問題 288

x = 0

x = 0

Exercises 289–293練習問題 289–293

For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window

x = [−5, 5]

and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.

グラフ電卓を使い、横軸の表示範囲を

x = [−5, 5]

として次の各関数を描け。水平漸近線または極限を推定し、その後、計算によって正確に求めよ。

Exercise 289問題 289

[T]

f (x) = \frac{1}{x + 10}

［T］

f (x) = \frac{1}{x + 10}

Solution解き方

y = 0

y = 0

Exercise 290問題 290

[T]

f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7 x + 6}

［T］

f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7 x + 6}

Exercise 291問題 291

[T]

lim_{x \to − \infty} x^{2} + 10 x + 25

［T］

lim_{x \to − \infty} x^{2} + 10 x + 25

Solution解き方

\infty

\infty

Exercise 292問題 292

[T]

lim_{x \to − \infty} \frac{x + 2}{x^{2} + 7 x + 6}

［T］

lim_{x \to − \infty} \frac{x + 2}{x^{2} + 7 x + 6}

Exercise 293問題 293

[T]

lim_{x \to \infty} \frac{3 x + 2}{x + 5}

［T］

lim_{x \to \infty} \frac{3 x + 2}{x + 5}

Solution解き方

y = 3

y = 3

Exercises 294–310練習問題 294–310

For the following exercises, draw a graph of the functions without using a calculator. Be sure to notice all important features of the graph: local maxima and minima, inflection points, and asymptotic behavior.

英語のヒント

電卓を使わずに、次の各関数のグラフを描け。極大・極小、変曲点、漸近的な振る舞いなど、グラフの重要な特徴をすべて確認すること。

Exercise 294問題 294

y = 3 x^{2} + 2 x + 4

y = 3 x^{2} + 2 x + 4

Exercise 295問題 295

y = x^{3} - 3 x^{2} + 4

y = x^{3} - 3 x^{2} + 4

Solution解き方

グラフは第3象限から増加し、(−1,0)を通って(0,4)で極大となる。その後、(2,0)でx軸に接して極小となり、再び増加して(4,20)を通る。

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Exercise 296問題 296

y = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 6 x + 5}

y = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 6 x + 5}

Exercise 297問題 297

y = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x}{3 x + 9}

y = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x}{3 x + 9}

Solution解き方

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Exercise 298問題 298

y = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}

y = \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x - 4}

Exercise 299問題 299

y = \sqrt{x^{2} - 5 x + 4}

y = \sqrt{x^{2} - 5 x + 4}

Solution解き方

グラフの左の枝は(−2,4)付近から減少して(1,0)へ至る。右の枝は(4,0)から始まり、(6,3)付近へ向かって増加する。1<x<4にはグラフがない。

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Exercise 300問題 300

y = 2 x \sqrt{16 - x^{2}}

y = 2 x \sqrt{16 - x^{2}}

Exercise 301問題 301

y = \frac{cos x}{x},

x = [−2 π, 2 π]

x = [−2 π, 2 π]

の範囲で

y = \frac{cos x}{x}

を描く。

Solution解き方

垂直漸近線はx=0。左側の枝は−2π付近の負の値から増加し、x=−3π/2でx軸を横切り、極大を経てx=−π/2で再び横切った後、負の無限大へ下がる。右側の枝は正の無限大から下がり、x=π/2でx軸を横切り、極小を経てx=3π/2で再び横切る。

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Exercise 302問題 302

y = \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x + 1}

y = \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x + 1}

Exercise 303問題 303

y = x tan x, x = [− π, π]

y = x tan x, x = [− π, π]

Solution解き方

垂直漸近線はx=±π/2。グラフはy軸に対称。左側では、(−π,0)から減少してx=−π/2の手前で負の無限大へ向かう。その右側では正の無限大から減少して原点へ至る。

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Exercise 304問題 304

y = x ln (x), x > 0

y = x ln (x), x > 0

Exercise 305問題 305

y = x^{2} sin (x), x = [−2 π, 2 π]

y = x^{2} sin (x), x = [−2 π, 2 π]

Solution解き方

グラフは(−2π,0)から増加し、(−3π/2,25)付近で山を作り、(−π,0)を通って減少する。極小を経て増加し、原点を通る。右側は左側を原点のまわりに180度回転した形になる。

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Exercise 306問題 306

For

f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}

to have an asymptote at

y = 2

then the polynomials

P (x)

and

Q (x)

must have what relation?

f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}

が水平漸近線

y = 2

をもつためには、多項式

P (x)

と

Q (x)

の間にどのような関係が必要か。

Exercise 307問題 307

For

f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}

to have an asymptote at

x = 0,

then the polynomials

P (x)

and

Q (x) .

must have what relation?

f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}

が垂直漸近線

x = 0

をもつためには、多項式

P (x)

と

Q (x)

の間にどのような関係が必要か。

Solution解き方

P (0) \neq 0 and Q (0) = 0

P (0) \neq 0 、 Q (0) = 0

Exercise 308問題 308

f^{'} (x)

has asymptotes at

y = 3

and

x = 1,

then

f (x)

has what asymptotes?

f^{'} (x)

が漸近線

y = 3

と

x = 1

をもつとき、

f (x)

の漸近線について何がいえるか。この条件だけでは漸近線を確定できない点に注意する。例えば、導関数が3へ近づいても、f(x)−3xが有限値へ近づくとは限らない。また、導関数が発散する点で、元の関数は有限値にとどまることもある。

Exercise 309問題 309

Both

f (x) = \frac{1}{(x - 1)}

and

g (x) = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}

have asymptotes at

x = 1

and

y = 0 .

What is the most obvious difference between these two functions?

f (x) = \frac{1}{(x - 1)}

と

g (x) = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}

は、どちらも

x = 1

と

y = 0

を漸近線にもつ。この二つの関数の最も分かりやすい違いは何か。

Solution解き方

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = -∞ and lim_{x \to 1^{-}} g (x) = \infty

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = -∞ および lim_{x \to 1^{-}} g (x) = \infty

Exercise 310問題 310

True or false: Every ratio of polynomials has vertical asymptotes.

正しいか誤りか。「多項式の比で表される関数には、必ず垂直漸近線がある。」

end behavior

無限遠での振る舞い

the behavior of a function as

x \to \infty

and

x \to − \infty

x \to \infty

と

x \to − \infty

のときの関数の様子。

horizontal asymptote

水平漸近線

lim_{x \to \infty} f (x) = L

lim_{x \to − \infty} f (x) = L,

then

y = L

is a horizontal asymptote of

f

lim_{x \to \infty} f (x) = L

または

lim_{x \to − \infty} f (x) = L

なら、直線

y = L

を

f

の水平漸近線という。

infinite limit at infinity

無限遠で無限大へ発散する極限

a function that becomes arbitrarily large as x becomes large

xを十分大きくすると、関数値がいくらでも大きくなること。負の方向や負の無限大への発散も、向きを変えて同様に定義する。

limit at infinity

無限遠での極限

the limiting value, if it exists, of a function as

x \to \infty

x \to − \infty

x \to \infty

または

x \to − \infty

のときに関数が近づく極限値。存在しない場合もある。

oblique asymptote

斜漸近線

the line

y = m x + b

f (x)

approaches it as

x \to \infty

x \to − \infty

x \to \infty

または

x \to − \infty

のとき、関数

f (x)

と直線

y = m x + b

の値の差が0へ近づくなら、その直線を斜漸近線という。ただしm≠0とする。