第4章微分の応用

Key Concepts重要な概念

If $f$ is continuous over $[a, b]$ and differentiable over $(a, b)$ and $f (a) = f (b),$ then there exists a point $c \in (a, b)$ such that $f^{'} (c) = 0 .$ This is Rolle’s theorem.
$f$ が $[a, b]$ 上で連続、 $(a, b)$ 上で微分可能で、 $f (a) = f (b)$ を満たすなら、 $f^{'} (c) = 0$ となる点 $c \in (a, b)$ が存在する。これがロルの定理である。
If $f$ is continuous over $[a, b]$ and differentiable over $(a, b),$ then there exists a point $c \in (a, b)$ such that
$f$ が $[a, b]$ 上で連続、 $(a, b)$ 上で微分可能なら、次式を満たす点 $c \in (a, b)$ が存在する。

$f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} .$
$f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

This is the Mean Value Theorem.
これが平均値の定理である。
If $f' (x) = 0$ over an interval $I,$ then $f$ is constant over $I .$
区間 $I$ 上で $f' (x) = 0$ なら、 $f$ は $I$ 上で一定である。
If two differentiable functions $f$ and $g$ satisfy $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ over $I,$ then $f (x) = g (x) + C$ for some constant $C .$
微分可能な二つの関数 $f$ と $g$ が区間 $I$ 上で $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ を満たすなら、ある定数 $C$ に対して $f (x) = g (x) + C$ が成り立つ。
If $f^{'} (x) > 0$ over an interval $I,$ then $f$ is increasing over $I .$ If $f^{'} (x) < 0$ over $I,$ then $f$ is decreasing over $I .$
区間 $I$ 上で $f^{'} (x) > 0$ なら、 $f$ は $I$ 上で増加する。区間 $I$ 上で $f^{'} (x) < 0$ なら、 $f$ は $I$ 上で減少する。

Exercises 148–151練習問題 148–151

Exercise 148問題 148

Why do you need continuity to apply the Mean Value Theorem? Construct a counterexample.

平均値の定理を適用するために、なぜ連続性が必要なのか。反例を作れ。

Exercise 149問題 149

Why do you need differentiability to apply the Mean Value Theorem? Find a counterexample.

平均値の定理を適用するために、なぜ微分可能性が必要なのか。反例を示せ。

Solution解き方

One example is

f (x) = | x | + 3, −2 \leq x \leq 2

一例は、

f (x) = | x | + 3, −2 \leq x \leq 2

である。

Exercise 150問題 150

When are Rolle’s theorem and the Mean Value Theorem equivalent?

どのような場合に、ロルの定理と平均値の定理は同じ主張になるか。

Exercise 151問題 151

If you have a function with a discontinuity, is it still possible to have

f^{'} (c) (b - a) = f (b) - f (a) ?

Draw such an example or prove why not.

不連続な点をもつ関数でも、

f^{'} (c) (b - a) = f (b) - f (a)

を満たすcが存在することはあるか。そのような例を図示するか、不可能であることを証明せよ。

Solution解き方

Yes, but the Mean Value Theorem still does not apply

存在することはある。ただし、その関数に平均値の定理を適用できるわけではない。

Exercises 152–156練習問題 152–156

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

次の各問では、平均値の定理を適用できる区間を求めよ。該当する区間がなければその旨を答え、理由を説明せよ。

Exercise 152問題 152

y = sin (π x)

y = sin (π x)

Exercise 153問題 153

y = \frac{1}{x^{3}}

y = \frac{1}{x^{3}}

Solution解き方

Any closed interval in

(− \infty, 0) or (0, \infty)

(− \infty, 0) または (0, \infty)

のいずれか一方の内部に含まれる任意の閉区間。

Exercise 154問題 154

y = \sqrt{4 - x^{2}}

y = \sqrt{4 - x^{2}}

Exercise 155問題 155

y = \sqrt{x^{2} - 4}

y = \sqrt{x^{2} - 4}

Solution解き方

Any closed interval in

(− \infty, −2) or (2, \infty)

(− \infty, −2) または (2, \infty)

のいずれか一方の内部に含まれる任意の閉区間。

Exercise 156問題 156

y = ln (3 x - 5)

y = ln (3 x - 5)

Exercises 157–160練習問題 157–160

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points

c

such that

f^{'} (c) (b - a) = f (b) - f (a) .

次の各問では、電卓で関数のグラフを描き、区間の両端を結ぶ割線を引け。

f^{'} (c) (b - a) = f (b) - f (a)

を満たす点

c

がいくつあるか見積もれ。

Exercise 157問題 157

[T]

y = 3 x^{3} + 2 x + 1

over

[−1, 1]

［T］区間

[−1, 1]

における

y = 3 x^{3} + 2 x + 1

Solution解き方

2 points

2点。

Exercise 158問題 158

[T]

y = tan (\frac{π}{4} x)

over

[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]

［T］区間

[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]

における

y = tan (\frac{π}{4} x)

Exercise 159問題 159

[T]

y = x^{2} cos (π x)

over

[−2, 2]

［T］区間

[−2, 2]

における

y = x^{2} cos (π x)

Solution解き方

5 points

5点。

Exercise 160問題 160

[T]

y = x^{6} - \frac{3}{4} x^{5} - \frac{9}{8} x^{4} + \frac{15}{16} x^{3} + \frac{3}{32} x^{2} + \frac{3}{16} x + \frac{1}{32}

over

[−1, 1]

［T］区間

[−1, 1]

における

y = x^{6} - \frac{3}{4} x^{5} - \frac{9}{8} x^{4} + \frac{15}{16} x^{3} + \frac{3}{32} x^{2} + \frac{3}{16} x + \frac{1}{32}

Exercises 161–166練習問題 161–166

For the following exercises, use the Mean Value Theorem and find all points

0 < c < 2

such that

f (2) - f (0) = f^{'} (c) (2 - 0) .

次の各問では、平均値の定理を用い、

f (2) - f (0) = f^{'} (c) (2 - 0)

を満たす点

0 < c < 2

をすべて求めよ。

Exercise 161問題 161

f (x) = x^{3}

f (x) = x^{3}

Solution解き方

c = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

c = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Exercise 162問題 162

f (x) = sin (π x)

f (x) = sin (π x)

Exercise 163問題 163

f (x) = cos (2 π x)

f (x) = cos (2 π x)

Solution解き方

c = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}

c = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}

Exercise 164問題 164

f (x) = 1 + x + x^{2}

f (x) = 1 + x + x^{2}

Exercise 165問題 165

f (x) = {(x - 1)}^{10}

f (x) = {(x - 1)}^{10}

Solution解き方

c = 1

c = 1

Exercise 166問題 166

f (x) = {(x - 1)}^{9}

f (x) = {(x - 1)}^{9}

Exercises 167–170練習問題 167–170

For the following exercises, show there is no

c

such that

f (1) - f (−1) = f^{'} (c) (2) .

Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval

[−1, 1] .

次の各問では、

f (1) - f (−1) = f^{'} (c) (2)

を満たす

c

が存在しないことを示せ。区間

[−1, 1]

で平均値の定理を適用できない理由を説明せよ。

Exercise 167問題 167

f (x) = | x - \frac{1}{2} |

f (x) = | x - \frac{1}{2} |

Solution解き方

Not differentiable

区間内に微分不可能な点があるため。

Exercise 168問題 168

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

Exercise 169問題 169

f (x) = \sqrt{| x |}

f (x) = \sqrt{| x |}

Solution解き方

Not differentiable

区間内に微分不可能な点があるため。

Exercise 170問題 170

f (x) = ⌊ x ⌋

(Hint: This is called the floor function and it is defined so that

f (x)

is the largest integer less than or equal to

x .)

f (x) = ⌊ x ⌋

。ヒント：これは床関数と呼ばれる。

f (x)

は、

x

以下の整数のうち最大のものとして定義される。

Exercises 171–181練習問題 171–181

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval

[a, b] .

Justify your answer.

次の各関数について、与えられた区間

[a, b]

で平均値の定理を適用できるか判定し、理由を述べよ。

Exercise 171問題 171

y = e^{x}

over

[0, 1]

区間

[0, 1]

における

y = e^{x}

Solution解き方

Yes

はい。

Exercise 172問題 172

y = ln (2 x + 3)

over

[- \frac{3}{2}, 0]

区間

[- \frac{3}{2}, 0]

における

y = ln (2 x + 3)

Exercise 173問題 173

f (x) = tan (2 π x)

over

[0, 2]

区間

[0, 2]

における

f (x) = tan (2 π x)

Solution解き方

The Mean Value Theorem does not apply since the function is discontinuous at

x = \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4} .

x = \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}

で不連続なので、平均値の定理を適用できない。

Exercise 174問題 174

y = \sqrt{9 - x^{2}}

over

[−3, 3]

区間

[−3, 3]

における

y = \sqrt{9 - x^{2}}

Exercise 175問題 175

y = \frac{1}{| x + 1 |}

over

[0, 3]

区間

[0, 3]

における

y = \frac{1}{| x + 1 |}

Solution解き方

Yes

はい。

Exercise 176問題 176

y = x^{3} + 2 x + 1

over

[0, 6]

区間

[0, 6]

における

y = x^{3} + 2 x + 1

Exercise 177問題 177

y = \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x}

over

[−1, 1]

区間

[−1, 1]

における

y = \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x}

Solution解き方

The Mean Value Theorem does not apply; discontinuous at

x = 0 .

x = 0

で不連続なので、平均値の定理を適用できない。

Exercise 178問題 178

y = \frac{x}{sin (π x) + 1}

over

[0, 1]

区間

[0, 1]

における

y = \frac{x}{sin (π x) + 1}

Exercise 179問題 179

y = ln (x + 1)

over

[0, e - 1]

区間

[0, e - 1]

における

y = ln (x + 1)

Solution解き方

Yes

はい。

Exercise 180問題 180

y = x sin (π x)

over

[0, 2]

区間

[0, 2]

における

y = x sin (π x)

Exercise 181問題 181

y = 5 + | x |

over

[−1, 1]

区間

[−1, 1]

における

y = 5 + | x |

Solution解き方

The Mean Value Theorem does not apply; not differentiable at

x = 0 .

x = 0

で微分不可能なので、平均値の定理を適用できない。

Exercises 182–184練習問題 182–184

For the following exercises, consider the roots of the equation.

次の各問では、y=0としたときの方程式の解を考える。

Exercise 182問題 182

Show that the equation

y = x^{3} + 4 x + 16

has exactly one real root. What is it?

y = x^{3} + 4 x + 16

について、y=0となる実数解がちょうど一つであることを示せ。また、その解を求めよ。

Exercise 183問題 183

Find the conditions for exactly one root (double root) for the equation

y = x^{2} + b x + c

y = x^{2} + b x + c

について、y=0となる実数解が一つだけ、すなわち重解になる条件を求めよ。

Solution解き方

b = ± 2 \sqrt{c}

b = ± 2 \sqrt{c}

Exercise 184問題 184

Find the conditions for

y = e^{x} - b

to have one root. Is it possible to have more than one root?

y = e^{x} - b

について、y=0となる実数解をもつ条件を求めよ。実数解を二つ以上もつことは可能か。

Exercises 185–193練習問題 185–193

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval

[a, b]

and graph the secant line from

a

b .

Use the calculator to estimate all values of

c

as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of

c,

if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

次の各問では、電卓で区間

[a, b]

上の関数のグラフと、

a

から

b

までの両端を結ぶ割線を描け。平均値の定理で存在が保証される

c

の値を、電卓を使ってすべて見積もれ。次に、可能なら

c

の正確な値を求めよ。正確に解けない場合は、解くべき方程式を示し、電卓で4桁の近似値を求めよ。

Exercise 185問題 185

[T]

y = tan (π x)

over

[- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}]

［T］区間

[- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}]

における

y = tan (π x)

Solution解き方

c = ± \frac{1}{π} {cos}^{−1} (\frac{\sqrt{π}}{2}),

c = ± 0.1533

c = ± \frac{1}{π} {cos}^{−1} (\frac{\sqrt{π}}{2})

c = ± 0.1533

Exercise 186問題 186

[T]

y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}

over

[0, 3]

［T］区間

[0, 3]

における

y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}

Exercise 187問題 187

[T]

y = | x^{2} + 2 x - 4 |

over

[−4, 0]

［T］区間

[−4, 0]

における

y = | x^{2} + 2 x - 4 |

Solution解き方

The Mean Value Theorem does not apply.

平均値の定理を適用できない。

Exercise 188問題 188

[T]

y = x + \frac{1}{x}

over

[\frac{1}{2}, 4]

［T］区間

[\frac{1}{2}, 4]

における

y = x + \frac{1}{x}

Exercise 189問題 189

[T]

y = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}}

over

[3, 8]

［T］区間

[3, 8]

における

y = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}}

Solution解き方

\frac{1}{2 \sqrt{c + 1}} - \frac{2}{c^{3}} = \frac{521}{2880};

c = 3.133, 5.867

\frac{1}{2 \sqrt{c + 1}} - \frac{2}{c^{3}} = \frac{521}{2880}

c = 3.133, 5.867

Exercise 190問題 190

At 10:17 a.m., you pass a police car at 55 mph that is stopped on the freeway. You pass a second police car at 55 mph at 10:53 a.m., which is located 39 mi from the first police car. If the speed limit is 60 mph, can the police cite you for speeding?

午前10時17分、高速道路に停車中のパトカーの前を、時速55マイルで通過した。午前10時53分、最初のパトカーから39マイル先にいる別のパトカーの前を、やはり時速55マイルで通過した。制限速度が時速60マイルなら、途中で速度超過したことを警察は指摘できるか。

Exercise 191問題 191

Two cars drive from one stoplight to the next, leaving at the same time and arriving at the same time. Is there ever a time when they are going the same speed? Prove or disprove.

2台の車が、一つの信号から次の信号まで走る。同時に出発し、同時に到着したとする。途中で2台の速さが等しくなる瞬間は必ずあるか。証明するか、反例を示せ。

Solution解き方

Yes

はい。

Exercise 192問題 192

Show that

y = {sec}^{2} x

and

y = {tan}^{2} x

have the same derivative. What can you say about

y = {sec}^{2} x - {tan}^{2} x ?

y = {sec}^{2} x

と

y = {tan}^{2} x

の導関数が同じであることを示せ。

y = {sec}^{2} x - {tan}^{2} x

について何がいえるか。

Exercise 193問題 193

Show that

y = {csc}^{2} x

and

y = {cot}^{2} x

have the same derivative. What can you say about

y = {csc}^{2} x - {cot}^{2} x ?

y = {csc}^{2} x

と

y = {cot}^{2} x

の導関数が同じであることを示せ。

y = {csc}^{2} x - {cot}^{2} x

について何がいえるか。

Solution解き方

It is constant.

定数である。

mean value theorem

平均値の定理

f

is continuous over

[a, b]

and differentiable over

(a, b),

then there exists

c \in (a, b)

such that

f

が

[a, b]

上で連続、

(a, b)

上で微分可能なら、次式を満たす

c \in (a, b)

が存在する。

f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

rolle’s theorem

ロルの定理

f

is continuous over

[a, b]

and differentiable over

(a, b),

and if

f (a) = f (b),

then there exists

c \in (a, b)

such that

f^{'} (c) = 0

f

が

[a, b]

上で連続、

(a, b)

上で微分可能で、

f (a) = f (b)

を満たすなら、

f^{'} (c) = 0

となる

c \in (a, b)

が存在する。