第4章微分の応用

Infinite Limits at Infinity無限遠で無限大へ発散する場合

Sometimes the values of a function

f

become arbitrarily large as

x \to \infty

(or as

x \to − \infty) .

In this case, we write

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

(or

lim_{x \to − \infty} f (x) = \infty) .

On the other hand, if the values of

f

are negative but become arbitrarily large in magnitude as

x \to \infty

(or as

x \to − \infty),

we write

lim_{x \to \infty} f (x) = − \infty

(or

lim_{x \to − \infty} f (x) = − \infty) .

x \to \infty

のとき、関数

f

の値がどこまでも大きくなることがある。このとき、

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

と書く。負の方向の

x \to − \infty

でも同様に、

lim_{x \to − \infty} f (x) = \infty

と書く。一方、

x \to \infty

のとき、

f

の値が負のまま、その絶対値がどこまでも大きくなるなら、

lim_{x \to \infty} f (x) = − \infty

と書く。

x \to − \infty

の場合も同様に、

lim_{x \to − \infty} f (x) = − \infty

と書く。

For example, consider the function

f (x) = x^{3} .

As seen in Table 4.3 and Figure 4.47, as

x \to \infty

the values

f (x)

become arbitrarily large. Therefore,

lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty .

On the other hand, as

x \to − \infty,

the values of

f (x) = x^{3}

are negative but become arbitrarily large in magnitude. Consequently,

lim_{x \to − \infty} x^{3} = − \infty .

例えば、関数

f (x) = x^{3}

を考える。表4.3と図4.47から分かるように、

x \to \infty

のとき

f (x)

の値はどこまでも大きくなる。したがって、

lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty

である。一方、

x \to − \infty

のとき、

f (x) = x^{3}

の値は負で、その絶対値はどこまでも大きくなる。よって、

lim_{x \to − \infty} x^{3} = − \infty

となる。

Values of a power function as $x \to ± \infty$ $x \to ± \infty$ のときの累乗関数の値

Table 4.3表 4.3
$x$	$10$	$20$	$50$	$100$	$1000$
$x^{3}$	$1000$	$8000$	$125,000$	$1,000,000$	$1,000,000,000$
$x$	$−10$	$−20$	$−50$	$−100$	$−1000$
$x^{3}$	$−1000$	$−8000$	$−125,000$	$−1,000,000$	$−1,000,000,000$

f(x)=x³のグラフ。xが正の無限大へ向かうとf(x)も正の無限大へ、xが負の無限大へ向かうとf(x)も負の無限大へ向かう。 — Figure 4.47図 4.47
For this function, the functional values approach infinity as $x \to ± \infty .$
この関数は、 $x \to ± \infty$ のとき、その絶対値がどこまでも大きくなる。右の遠方では正の無限大、左の遠方では負の無限大へ発散する。

Definition定義

(Informal) We say a function

f

has an infinite limit at infinity and write

【直感的な定義】関数

f

が正の無限遠で正の無限大へ発散することを、次のように表す。

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty .

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

f (x)

becomes arbitrarily large for

x

sufficiently large. We say a function has a negative infinite limit at infinity and write

これは、

x

を十分大きくすると、

f (x)

がどこまでも大きくなることを意味する。一方、正の無限遠で負の無限大へ発散することは、次のように表す。

lim_{x \to \infty} f (x) = − \infty .

lim_{x \to \infty} f (x) = − \infty

f (x) < 0

and

| f (x) |

becomes arbitrarily large for

x

sufficiently large. Similarly, we can define infinite limits as

x \to − \infty .

これは、

x

を十分大きくすると、

f (x) < 0

を保ちながら

| f (x) |

がどこまでも大きくなることを意味する。

x \to − \infty

の場合の無限大への発散も、同様に定義できる。

Formal Definitions厳密な定義

Earlier, we used the terms arbitrarily close, arbitrarily large, and sufficiently large to define limits at infinity informally. Although these terms provide accurate descriptions of limits at infinity, they are not precise mathematically. Here are more formal definitions of limits at infinity. We then look at how to use these definitions to prove results involving limits at infinity.

英語のヒント

これまでは、「望むだけ近く」「いくらでも大きく」「十分大きく」という表現で、無限遠での極限を直感的に説明した。これらは様子を正しく伝えるものの、数学的な定義としては数値の条件を明確にする必要がある。そこで、無限遠での極限を厳密に定義する。その後、この定義を使って極限の結果を証明する方法を学ぼう。

Definition定義

(Formal) We say a function

f

has a limit at infinity, if there exists a real number

L

such that for all

ε > 0,

there exists

N > 0

such that

【厳密な定義】実数

L

が存在し、どのような

ε > 0

に対しても

N > 0

を選べて、次の条件が成り立つとき、関数

f

は正の無限遠で極限Lをもつという。

| f (x) - L | < ε

for all

x > N .

In that case, we write

この不等式は、すべての

x > N

について成り立つものとする。このとき、次のように書く。

lim_{x \to \infty} f (x) = L

(see Figure 4.48).

図4.48を参照。

We say a function

f

has a limit at negative infinity if there exists a real number

L

such that for all

ε > 0,

there exists

N < 0

such that

実数

L

が存在し、どのような

ε > 0

に対しても

N < 0

を選べて、次の条件が成り立つとき、関数

f

は負の無限遠で極限Lをもつという。

| f (x) - L | < ε

for all

x < N .

In that case, we write

この不等式は、すべての

x < N

について成り立つものとする。このとき、次のように書く。

lim_{x \to − \infty} f (x) = L .

lim_{x \to − \infty} f (x) = L

水平漸近線y=Lに上側から近づくf(x)のグラフ。高さL+εとL−εが示されている。x軸上のNより右では、関数のグラフがこの二つの高さの間に入っている。 — Figure 4.48図 4.48
For a function with a limit at infinity, for all $x > N,$ $| f (x) - L | < ε .$
正の無限遠で極限Lをもつ関数では、Nを十分大きく選ぶと、すべての $x > N$ について $| f (x) - L | < ε$ が成り立つ。

Earlier in this section, we used graphical evidence in Figure 4.40 and numerical evidence in Table 4.2 to conclude that

lim_{x \to \infty} (2 + \frac{1}{x}) = 2 .

Here we use the formal definition of limit at infinity to prove this result rigorously.

この節の前半では、図4.40のグラフと表4.2の数値から、

lim_{x \to \infty} (2 + \frac{1}{x}) = 2

と判断した。ここでは、無限遠での極限の定義を使い、この結果を厳密に証明する。

Example 4.22例題 4.22

A Finite Limit at Infinity Example無限遠での有限な極限を証明する

Use the formal definition of limit at infinity to prove that

lim_{x \to \infty} (2 + \frac{1}{x}) = 2 .

無限遠での極限の厳密な定義を用いて、

lim_{x \to \infty} (2 + \frac{1}{x}) = 2

を証明せよ。

Solution解き方

Let

ε > 0 .

Let

N = \frac{1}{ε} .

Therefore, for all

x > N,

we have

任意の

ε > 0

をとり、

N = \frac{1}{ε}

とおく。すると、すべての

x > N

について、

| 2 + \frac{1}{x} - 2 | = | \frac{1}{x} | = \frac{1}{x} < \frac{1}{N} = ε .

We now turn our attention to a more precise definition for an infinite limit at infinity.

次に、無限遠で無限大へ発散する場合を、より厳密に定義しよう。

Definition定義

(Formal) We say a function

f

has an infinite limit at infinity and write

【厳密な定義】関数

f

が正の無限遠で正の無限大へ発散することを、次のように表す。

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty

if for all

M > 0,

there exists an

N > 0

such that

その意味は、どのような

M > 0

に対しても、次の条件を満たす

N > 0

が存在するということである。

f (x) > M

for all

x > N

(see Figure 4.49).

この不等式は、すべての

x > N

について成り立つものとする（図4.49）。

We say a function has a negative infinite limit at infinity and write

関数が正の無限遠で負の無限大へ発散することを、次のように表す。

lim_{x \to \infty} f (x) = − \infty

if for all

M < 0,

there exists an

N > 0

such that

その意味は、どのような

M < 0

に対しても、次の条件を満たす

N > 0

が存在するということである。

f (x) < M

for all

x > N .

この不等式は、すべての

x > N

について成り立つものとする。

Similarly we can define limits as

x \to − \infty .

x \to − \infty

のときの極限も、同様に定義できる。

関数f(x)のグラフ。f(N)=Mであり、xがNより大きい範囲ではグラフが高さMを超え、そのまま急速に増加している。 — Figure 4.49図 4.49
For a function with an infinite limit at infinity, for all $x > N,$ $f (x) > M .$
正の無限遠で正の無限大へ発散する関数では、任意に指定したMに対してNを十分大きく選ぶと、すべての $x > N$ について $f (x) > M$ が成り立つ。

Earlier, we used graphical evidence (Figure 4.47) and numerical evidence (Table 4.3) to conclude that

lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty .

Here we use the formal definition of infinite limit at infinity to prove that result.

この節の前半では、図4.47のグラフと表4.3の数値から、

lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty

と判断した。ここでは、無限遠で無限大へ発散することの厳密な定義を用いて、この結果を証明する。

Example 4.23例題 4.23

An Infinite Limit at Infinity無限遠で無限大へ発散することの証明

Use the formal definition of infinite limit at infinity to prove that

lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty .

無限遠で無限大へ発散することの厳密な定義を用いて、

lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty

を証明せよ。

Solution解き方

Let

M > 0 .

Let

N = \sqrt[3]{M} .

Then, for all

x > N,

we have

任意の

M > 0

をとり、

N = \sqrt[3]{M}

とおく。すると、すべての

x > N

について、

x^{3} > N^{3} = {(\sqrt[3]{M})}^{3} = M .

x^{3} > N^{3} = {(\sqrt[3]{M})}^{3} = M

Therefore,

lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty .

したがって、

lim_{x \to \infty} x^{3} = \infty

。

End Behavior無限遠での振る舞い

The behavior of a function as

x \to ± \infty

is called the function’s end behavior. At each of the function’s ends, the function could exhibit one of the following types of behavior:

英語のヒント

x \to ± \infty

のときの関数の様子を、その関数の「無限遠での振る舞い」という。正と負、それぞれの方向で、次のいずれかの振る舞いが考えられる。

The function $f (x)$ approaches a horizontal asymptote $y = L .$
関数 $f (x)$ が水平漸近線 $y = L$ へ近づく。
The function $f (x) \to \infty$ or $f (x) \to − \infty .$
関数が $f (x) \to \infty$ または $f (x) \to − \infty$ となる。
The function does not approach a finite limit, nor does it approach $\infty$ or $− \infty .$ In this case, the function may have some oscillatory behavior.
英語のヒント
関数が有限の極限値へ近づくことも、 $\infty$ や $− \infty$ へ発散することもない。この場合、関数は振動することがある。

Let’s consider several classes of functions here and look at the different types of end behaviors for these functions.

ここでは関数をいくつかの種類に分け、それぞれの無限遠での振る舞いを調べよう。

第4章微分の応用

Infinite Limits at Infinity無限遠で無限大へ発散する場合

Values of a power function as x→±∞x→±∞のときの累乗関数の値

Formal Definitions厳密な定義

A Finite Limit at Infinity Example無限遠での有限な極限を証明する

An Infinite Limit at Infinity無限遠で無限大へ発散することの証明

End Behavior無限遠での振る舞い

Values of a power function as $x \to ± \infty$ $x \to ± \infty$ のときの累乗関数の値