第4章微分の応用

Key Concepts重要な概念

• To solve a related rates problem, first draw a picture that illustrates the relationship between the two or more related quantities that are changing with respect to time.

  関連する変化率の問題を解くには、まず、時間とともに変化する二つ以上の量の関係が分かる図を描く。
• In terms of the quantities, state the information given and the rate to be found.

  与えられた情報と、求める変化率を、これらの量を表す変数で記述する。
• Find an equation relating the quantities.

  それらの量の関係を表す式を見つける。
• Use differentiation, applying the chain rule as necessary, to find an equation that relates the rates.

  英語のヒント

  必要に応じて合成関数の微分法を使って微分し、変化率どうしの関係を表す式を求める。
• Be sure not to substitute a variable quantity for one of the variables until after finding an equation relating the rates.

  変化する量の値を変数に代入するのは、必ず、変化率どうしの関係を表す式を得た後にする。

Exercises 4–15練習問題 4–15

For the following exercises, sketch the situation if necessary and used related rates to solve for the quantities.

以下の問題では、必要に応じて状況を図に描き、関連する変化率を使って指定された量を求めよ。

Exercise 4問題 4

[T] If two electrical resistors are connected in parallel, the total resistance (measured in ohms, denoted by the Greek capital letter omega, $\text{Ω})$ is given by the equation $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}.$ If $R_1$ is increasing at a rate of $0.5\text{Ω}\text{/}\text{min}$ and $R_2$ decreases at a rate of $1.1\text{Ω/min},$ at what rate does the total resistance change when $R_1=20\text{Ω}$ and $R_2=50\text{Ω}$?

英語のヒント

［T］二つの抵抗器を並列につなぐと、合成抵抗は$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$で与えられる。抵抗の単位はオームで、ギリシャ文字の大文字オメガ$\text{Ω}$を用いて表す。$R_1$が$0.5\text{Ω}\text{/}\text{min}$の割合で増加し、$R_2$が$1.1\text{Ω/min}$の割合で減少している。$R_1=20\text{Ω}$、$R_2=50\text{Ω}$のとき、合成抵抗はどのくらいの割合で変化するか。

Exercise 5問題 5

A 10-ft ladder is leaning against a wall. If the top of the ladder slides down the wall at a rate of 2 ft/sec, how fast is the bottom moving along the ground when the bottom of the ladder is 5 ft from the wall?

英語のヒント

長さ10 ftのはしごが壁に立て掛けてある。はしごの上端が壁に沿って2 ft/secの速さで滑り落ちるとき、下端が壁から5 ft離れた瞬間に、下端は地面に沿ってどのくらいの速さで動くか。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

$2\sqrt{3}$ ft/sec

$2\sqrt{3}$ ft/sec。

Exercise 6問題 6

A 25-ft ladder is leaning against a wall. If we push the ladder toward the wall at a rate of 1 ft/sec, and the bottom of the ladder is initially $20\text{ft}$ away from the wall, how fast does the ladder move up the wall $5\text{sec}$ after we start pushing?

英語のヒント

長さ25 ftのはしごが壁に立て掛けてある。はしごの下端を壁に向けて1 ft/secの速さで押す。下端が初めに壁から$20\text{ft}$離れていたなら、押し始めて$5\text{sec}$後に、上端は壁に沿ってどのくらいの速さで上昇するか。

Exercise 7問題 7

Two airplanes are flying in the air at the same height: airplane A is flying east at 250 mi/h and airplane B is flying north at $300\text{mi/h}.$ If they are both heading to the same airport, located 30 miles east of airplane A and 40 miles north of airplane B, at what rate is the distance between the airplanes changing?

二機の飛行機が同じ高度を飛んでいる。飛行機Aは東へ250 mi/h、飛行機Bは北へ$300\text{mi/h}$の速さで進む。両機は同じ空港に向かっており、その空港は飛行機Aの30マイル東、飛行機Bの40マイル北にある。このとき、二機の間の距離はどのくらいの割合で変化しているか。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

The distance is decreasing at $390\text{mi/h}.$

距離は$390\text{mi/h}$の割合で減少している。

Exercise 8問題 8

You and a friend are riding your bikes to a restaurant that you think is east; your friend thinks the restaurant is north. You both leave from the same point, with you riding at 16 mph east and your friend riding $12\text{mph}$ north. After you traveled $4\text{mi,}$ at what rate is the distance between you changing?

あなたと友人が、自転車でレストランへ向かう。あなたはレストランが東にあると思い、友人は北にあると思っている。二人は同じ地点から出発し、あなたは東へ16 mph、友人は北へ$12\text{mph}$で進む。あなたが$4\text{mi,}$進んだとき、二人の間の距離はどのくらいの割合で変化しているか。

Exercise 9問題 9

Two buses are driving along parallel freeways that are $5\text{mi}$ apart, one heading east and the other heading west. Assuming that each bus drives a constant $55\text{mph,}$ find the rate at which the distance between the buses is changing when they are $13\text{mi}$ apart, heading toward each other.

英語のヒント

$5\text{mi}$離れた平行な高速道路を、二台のバスが、一台は東へ、もう一台は西へ進んでいる。両方のバスが一定の速さ$55\text{mph,}$で走ると仮定する。互いに近づいていて、二台の間の距離が$13\text{mi}$になったとき、その距離の変化率を求めよ。

Solution解き方

The distance between them shrinks at a rate of $\frac{1320}{13}\approx 101.5\text{mph}.$

二台の間の距離は$\frac{1320}{13}\approx 101.5\text{mph}$の割合で縮まっている。

Exercise 10問題 10

A 6-ft-tall person walks away from a 10-ft lamppost at a constant rate of $3\text{ft/sec}.$ What is the rate that the tip of the shadow moves away from the pole when the person is $10\text{ft}$ away from the pole?

英語のヒント

身長6 ftの人が、高さ10 ftの街灯から離れる方向へ、一定の速さ$3\text{ft/sec}$で歩いている。人が街灯から$10\text{ft}$離れたとき、影の先端は街灯からどのくらいの速さで遠ざかっているか。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 11問題 11

Using the previous problem, what is the rate at which the tip of the shadow moves away from the person when the person is 10 ft from the pole?

前問と同じ状況で、人が街灯から10 ft離れたとき、影の先端はその人からどのくらいの速さで遠ざかっているか。

Solution解き方

$\frac{9}{2}$ ft/sec

$\frac{9}{2}$ ft/sec。

Exercise 12問題 12

A 5-ft-tall person walks toward a wall at a rate of 2 ft/sec. A spotlight is located on the ground 40 ft from the wall. How fast does the height of the person’s shadow on the wall change when the person is 10 ft from the wall?

身長5 ftの人が、壁に向かって2 ft/secの速さで歩く。壁から40 ft離れた地面にスポットライトがある。人が壁から10 ft離れたとき、壁に映る影の高さはどのくらいの割合で変化するか。

Exercise 13問題 13

Using the previous problem, what is the rate at which the shadow changes when the person is 10 ft from the wall, if the person is walking away from the wall at a rate of 2 ft/sec?

前問と同じ状況で、人が壁から離れる方向へ2 ft/secで歩いているとする。人が壁から10 ft離れたとき、影の高さはどのくらいの割合で変化するか。

Solution解き方

It grows at a rate $\frac{4}{9}$ ft/sec

影の高さは$\frac{4}{9}$ ft/secの割合で増加する。

Exercise 14問題 14

A helicopter starting on the ground is rising directly into the air at a rate of 25 ft/sec. You are running on the ground starting directly under the helicopter at a rate of 10 ft/sec. Find the rate of change of the distance between the helicopter and yourself after 5 sec.

ヘリコプターが地上から25 ft/secの速さで真上に上昇し始める。同時に、あなたはその真下の地点から地上を10 ft/secの速さで走り始める。5秒後の、ヘリコプターとあなたの間の距離の変化率を求めよ。

Exercise 15問題 15

Using the previous problem, what is the rate at which the distance between you and the helicopter is changing when the helicopter has risen to a height of 60 ft in the air, assuming that, initially, it was 30 ft above you?

前問について、ヘリコプターは初めからあなたの30 ft上にいたとする。地上60 ftの高さまで上昇したとき、あなたとヘリコプターの間の距離はどのくらいの割合で変化しているか。

Solution解き方

The distance is increasing at $\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/sec

距離は$\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ ft/secの割合で増加している。