第4章微分の応用

Concavity and Points of Inflectionグラフの凹凸と変曲点

We now know how to determine where a function is increasing or decreasing. However, there is another issue to consider regarding the shape of the graph of a function. If the graph curves, does it curve upward or curve downward? This notion is called the concavity of the function.

英語のヒント

関数がどこで増加し、どこで減少するかを調べる方法は分かった。しかし、グラフの形にはもう一つの観点がある。曲線が曲がるとき、上向きに開くように曲がるのか、それとも下向きに開くように曲がるのか。この性質を、関数の凹凸（concavity）という。

Figure 4.34(a) shows a function

f

with a graph that curves upward. As

x

increases, the slope of the tangent line increases. Thus, since the derivative increases as

x

increases,

f^{'}

is an increasing function. We say this function

f

is concave up. Figure 4.34(b) shows a function

f

that curves downward. As

x

increases, the slope of the tangent line decreases. Since the derivative decreases as

x

increases,

f^{'}

is a decreasing function. We say this function

f

is concave down.

図4.34(a)の関数

f

は、上向きに開くように曲がっている。

x

が増えるほど、接線の傾きが大きくなる。つまり、

x

の増加とともに導関数の値が増えるので、

f^{'}

は増加関数である。このとき、

f

は下に凸（concave up）であるという。図4.34(b)の関数

f

は、下向きに開くように曲がっている。

x

が増えるほど、接線の傾きが小さくなる。

x

の増加とともに導関数の値が減るので、

f^{'}

は減少関数である。このとき、

f

は上に凸（concave down）であるという。英語のup・downは、曲線が開く向きを表す。日本語の「下に凸・上に凸」と上下の言い方が逆になる点に注意しよう。

四つの曲線と接線。(a) 増加しながら接線の傾きも増すため、f′は増加し、fは下に凸。(b) 増加しながら接線の傾きは小さくなるため、f′は減少し、fは上に凸。(c) 減少しているが傾きの負の度合いが弱まり、f′は増加してfは下に凸。(d) 減少が急になるため、f′は減少し、fは上に凸。 — Figure 4.34図 4.34
(a), (c) Since $f'$ is increasing over the interval $(a, b),$ we say $f$ is concave up over $(a, b) .$ (b), (d) Since $f'$ is decreasing over the interval $(a, b),$ we say $f$ is concave down over $(a, b) .$
(a)、(c)： $f'$ が区間 $(a, b)$ で増加するので、 $f$ は $(a, b)$ 上で下に凸である。(b)、(d)： $f'$ が区間 $(a, b)$ で減少するので、 $f$ は $(a, b)$ 上で上に凸である。

In general, without having the graph of a function

f,

how can we determine its concavity? By definition, a function

f

is concave up if

f^{'}

is increasing. From Corollary

3,

we know that if

f^{'}

is a differentiable function, then

f^{'}

is increasing if its derivative

f^{″} (x) > 0 .

Therefore, a function

f

that is twice differentiable is concave up when

f^{″} (x) > 0 .

Similarly, a function

f

is concave down if

f^{'}

is decreasing. We know that a differentiable function

f^{'}

is decreasing if its derivative

f^{″} (x) < 0 .

Therefore, a twice-differentiable function

f

is concave down when

f^{″} (x) < 0 .

Applying this logic is known as the concavity test.

英語のヒント

関数

f

のグラフがない場合、その凹凸をどう判定すればよいだろうか。定義より、

f^{'}

が増加するとき、関数

f

は下に凸である。系

3

によれば、微分可能な関数

f^{'}

は、その導関数が

f^{″} (x) > 0

なら、

f^{'}

が増加する。したがって、2回微分可能な関数

f

は、

f^{″} (x) > 0

のとき下に凸となる。同様に、

f^{'}

が減少するとき、関数

f

は上に凸である。微分可能な関数

f^{'}

は、その導関数が

f^{″} (x) < 0

なら減少する。よって、2回微分可能な関数

f

は、

f^{″} (x) < 0

のとき上に凸となる。これが第2次導関数による凹凸の判定である。

We conclude that we can determine the concavity of a function

f

by looking at the second derivative of

f .

In addition, we observe that a function

f

can switch concavity (Figure 4.35). However, a continuous function can switch concavity only at a point

x

f^{″} (x) = 0

f^{″} (x)

is undefined. Consequently, to determine the intervals where a function

f

is concave up and concave down, we look for those values of

x

where

f^{″} (x) = 0

f^{″} (x)

is undefined. When we have determined these points, we divide the domain of

f

into smaller intervals and determine the sign of

f^{″}

over each of these smaller intervals. If

f^{″}

changes sign as we pass through a point

x,

then

f

changes concavity. It is important to remember that a function

f

may not change concavity at a point

x

even if

f^{″} (x) = 0

f^{″} (x)

is undefined. If, however,

f

does change concavity at a point

a

and

f

is continuous at

a,

we say the point

(a, f (a))

is an inflection point of

f .

英語のヒント

関数

f

の凹凸は、

f

の第2次導関数を調べて判定できる。また、

f

の凹凸は途中で切り替わることがある（図4.35）。連続関数の凹凸が切り替わる点

x

では、

f^{″} (x) = 0

となるか、

f^{″} (x)

が定義されない。したがって、関数

f

が下に凸、上に凸となる区間を求めるには、

f^{″} (x) = 0

となるか

f^{″} (x)

が定義されない

x

の値を探す。その点で

f

の定義域を小区間に分け、各区間で

f^{″}

の符号を調べる。点

x

を通過するときに

f^{″}

の符号が変われば、

f

の凹凸も変わる。ただし、

f^{″} (x) = 0

となるか

f^{″} (x)

が定義されない点

x

でも、関数

f

の凹凸が変わるとは限らない。

f

が点

a

で実際に凹凸を変え、かつ

f

が

a

で連続なら、点

(a, f (a))

を

f

の変曲点と呼ぶ。

最初は減少しながら下に凸で、f′<0、f″>0。極小を過ぎると増加して下に凸となり、f′>0、f″>0。変曲点(a,f(a))を過ぎると、増加は続くが上に凸となり、f′>0、f″<0。極大を過ぎると減少して上に凸となり、f′<0、f″<0。 — Figure 4.35図 4.35
Since $f^{″} (x) > 0$ for $x < a,$ the function $f$ is concave up over the interval $(− \infty, a) .$ Since $f^{″} (x) < 0$ for $x > a,$ the function $f$ is concave down over the interval $(a, \infty) .$ The point $(a, f (a))$ is an inflection point of $f .$
$x < a$ で $f^{″} (x) > 0$ なので、関数 $f$ は区間 $(− \infty, a)$ 上で下に凸である。 $x > a$ で $f^{″} (x) < 0$ なので、関数 $f$ は区間 $(a, \infty)$ 上で上に凸である。点 $(a, f (a))$ は $f$ の変曲点である。

Example 4.19例題 4.19

Testing for Concavity凹凸を調べる

For the function

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 30,

determine all intervals where

f

is concave up and all intervals where

f

is concave down. List all inflection points for

f .

Use a graphing utility to confirm your results.

関数

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 30

について、

f

が下に凸となる区間と、

f

が上に凸となる区間をすべて求めよ。

f

の変曲点もすべて挙げ、グラフ作成ツールで結果を確認せよ。

Solution解き方

To determine concavity, we need to find the second derivative

f^{″} (x) .

The first derivative is

f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9,

so the second derivative is

f^{″} (x) = 6 x - 12 .

If the function changes concavity, it occurs either when

f^{″} (x) = 0

f^{″} (x)

is undefined. Since

f^{″}

is defined for all real numbers

x,

we need only find where

f^{″} (x) = 0 .

Solving the equation

6 x - 12 = 0,

we see that

x = 2

is the only place where

f

could change concavity. We now test points over the intervals

(− \infty, 2)

and

(2, \infty)

to determine the concavity of

f .

The points

x = 0

and

x = 3

are test points for these intervals.

凹凸を調べるため、第2次導関数

f^{″} (x)

を求める。第1次導関数は

f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

なので、第2次導関数は

f^{″} (x) = 6 x - 12

である。凹凸が変わる可能性があるのは、

f^{″} (x) = 0

となるか

f^{″} (x)

が定義されない位置である。

f^{″}

はすべての実数

x

で定義されるので、

f^{″} (x) = 0

となる位置だけを調べればよい。

6 x - 12 = 0

を解くと、

f

の凹凸が変わりうる位置は

x = 2

だけである。区間

(− \infty, 2)

と

(2, \infty)

から試験点を選び、

f

の凹凸を判定する。試験点には

x = 0

と

x = 3

を使う。

Interval 区間	Test Point 調べる点	Sign of $f^{″} (x) = 6 x - 12$ at Test Point 調べる点での $f^{″} (x) = 6 x - 12$ の符号	Conclusion 結論
$(− \infty, 2)$	$x = 0$	$-$	$f$ is concave down $f$ は上に凸
$(2, \infty)$	$x = 3$	$+$	$f$ is concave up. $f$ は下に凸である。

We conclude that

f

is concave down over the interval

(− \infty, 2)

and concave up over the interval

(2, \infty) .

Since

f

changes concavity at

x = 2,

the point

(2, f (2)) = (2, 32)

is an inflection point. Figure 4.36 confirms the analytical results.

f

は区間

(− \infty, 2)

で上に凸、区間

(2, \infty)

で下に凸と分かる。

f

の凹凸は

x = 2

で切り替わるので、点

(2, f (2)) = (2, 32)

は変曲点である。図4.36も、この結果を裏づけている。

f(x)=x³−6x²+9x+30のグラフ。二つの極値をとる点の間に、変曲点(2,32)が示されている。 — Figure 4.36図 4.36
The given function has a point of inflection at $(2, 32)$ where the graph changes concavity.
この関数は $(2, 32)$ に変曲点をもち、そこでグラフの凹凸が切り替わる。

We now summarize, in Table 4.1, the information that the first and second derivatives of a function

f

provide about the graph of

f,

and illustrate this information in Figure 4.37.

関数

f

の第1次・第2次導関数から、

f

のグラフについて分かることを表4.1にまとめ、図4.37で示す。

What Derivatives Tell Us about Graphs導関数から分かるグラフの性質

Table 4.1表 4.1
Sign of $f'$ $f'$ の符号	Sign of $f^{″}$ $f^{″}$ の符号	Is $f$ increasing or decreasing? $f$ の増減	Concavity 凹凸
Positive 正	Positive 正	Increasing 増加	Concave up 下に凸
Positive 正	Negative 負	Increasing 増加	Concave down 上に凸
Negative 負	Positive 正	Decreasing 減少	Concave up 下に凸
Negative 負	Negative 負	Decreasing 減少	Concave down 上に凸

極小点、変曲点、極大点を境に四つの部分に分かれるグラフ。左から順に、①減少・下に凸（f′<0、f″>0）、②増加・下に凸（f′>0、f″>0）、③増加・上に凸（f′>0、f″<0）、④減少・上に凸（f′<0、f″<0）。 — Figure 4.37図 4.37
Consider a twice-differentiable function $f$ over an open interval $I .$ If $f' (x) > 0$ for all $x \in I,$ the function is increasing over $I .$ If $f' (x) < 0$ for all $x \in I,$ the function is decreasing over $I .$ If $f^{″} (x) > 0$ for all $x \in I,$ the function is concave up. If $f^{″} (x) < 0$ for all $x \in I,$ the function is concave down on $I .$
開区間 $I$ 上で2回微分可能な関数 $f$ を考える。すべての $x \in I$ で $f' (x) > 0$ なら、関数は $I$ 上で増加する。すべての $x \in I$ で $f' (x) < 0$ なら、 $I$ 上で減少する。すべての $x \in I$ で $f^{″} (x) > 0$ なら下に凸であり、すべての $x \in I$ で $f^{″} (x) < 0$ なら $I$ 上で上に凸である。