第4章微分の応用

Key Concepts重要な概念

A function may have both an absolute maximum and an absolute minimum, have just one absolute extremum, or have no absolute maximum or absolute minimum.
関数には、最大値と最小値の両方がある場合、片方だけがある場合、どちらもない場合がある。
If a function has a local extremum, the point at which it occurs must be a critical point. However, a function need not have a local extremum at a critical point.
関数が極値をとる位置は、必ず臨界点である。しかし、臨界点で必ず極値をとるとは限らない。
A continuous function over a closed, bounded interval has an absolute maximum and an absolute minimum. Each extremum occurs at a critical point or an endpoint.
閉じた有界区間上の連続関数には、最大値と最小値がある。そのそれぞれは、臨界点または端点で生じる。

Exercises 90–99練習問題 90–99

Exercise 90問題 90

In precalculus, you learned a formula for the position of the maximum or minimum of a quadratic equation

y = a x^{2} + b x + c,

which was

h = - \frac{b}{(2 a)} .

Prove this formula using calculus.

微積分を学ぶ前に、二次関数

y = a x^{2} + b x + c

が最大値または最小値をとる位置の公式

h = - \frac{b}{(2 a)}

を学んだ。微分を使って、この公式を証明せよ。

Exercise 91問題 91

If you are finding an absolute minimum over an interval

[a, b],

why do you need to check the endpoints? Draw a graph that supports your hypothesis.

区間

[a, b]

上で最小値を求めるとき、なぜ端点も調べる必要があるのか。考えを裏づけるグラフを描け。

Solution解き方

Answers may vary

解答例は複数ある。

Exercise 92問題 92

If you are examining a function over an interval

(a, b),

for

a

and

b

finite, is it possible not to have an absolute maximum or absolute minimum?

a

と

b

が有限である開区間

(a, b)

上の関数を考える。この関数に、最大値または最小値が存在しないことはありうるか。

Exercise 93問題 93

When you are checking for critical points, explain why you also need to determine points where

f' (x)

is undefined. Draw a graph to support your explanation.

臨界点を調べるとき、

f' (x)

が定義されない点も求める必要があるのはなぜか。説明を裏づけるグラフを描け。

Solution解き方

Answers will vary

解答は一通りではない。

Exercise 94問題 94

Can you have a finite absolute maximum for

y = a x^{2} + b x + c

over

(− \infty, \infty) ?

Explain why or why not using graphical arguments.

y = a x^{2} + b x + c

は区間

(− \infty, \infty)

上で有限の最大値をもちうるか。グラフを用いて理由を説明せよ。

Exercise 95問題 95

Can you have a finite absolute maximum for

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

over

(− \infty, \infty)

assuming a is non-zero? Explain why or why not using graphical arguments.

a≠0とする。

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

は区間

(− \infty, \infty)

上で有限の最大値をもちうるか。グラフを用いて理由を説明せよ。

Solution解き方

No; answers will vary

もたない。説明の仕方は複数ある。

Exercise 96問題 96

Let

m

be the number of local minima and

M

be the number of local maxima. Can you create a function where

M > m + 2 ?

Draw a graph to support your explanation.

極小となる点の個数を

m

、極大となる点の個数を

M

とする。

M > m + 2

を満たす関数を作れるか。考えを裏づけるグラフを描け。

Exercise 97問題 97

Is it possible to have more than one absolute maximum? Use a graphical argument to prove your hypothesis.

一つの関数に、異なる最大値が二つ以上あることは可能か。グラフを使って考えを示せ。

Solution解き方

Since the absolute maximum is the function (output) value rather than the x value, the answer is no; answers will vary

不可能。最大値とは関数の出力の値であり、xの値ではないからである。同じ最大値をとるxが複数あることは可能だが、最大値そのものが異なる二つの値になることはない。説明例は複数ある。

Exercise 98問題 98

Is it possible to have no absolute minimum or maximum for a function? If so, construct such a function. If not, explain why this is not possible.

最大値も最小値もない関数は存在するか。存在するなら例を作れ。存在しないと考えるなら、その理由を説明せよ。

Exercise 99問題 99

[T] Graph the function

y = e^{a x} .

For which values of

a,

on any infinite domain, will you have an absolute minimum and absolute maximum?

[T] 関数

y = e^{a x}

のグラフを描け。定義域を実数全体などの無限区間とするとき、最大値と最小値の両方をもつのは、

a

がどの値のときか。

Solution解き方

When

a = 0

a = 0

のとき。

Exercises 100–103練習問題 100–103

For the following exercises, determine where the local and absolute maxima and minima occur on the graph given. Assume the graph represents the entirety of each function. For any extrema located at an endpoint, approximate the x-value.

次の各問では、与えられたグラフから、極大値・極小値・最大値・最小値をとる位置を求めよ。図には関数の全体が描かれているものとする。端点で最大値・最小値をとる場合は、そのx座標を概算せよ。

Exercise 100問題 100

グラフは(−4,60)付近から(−3,−40)付近まで急減し、(−1,10)付近まで増加する。その後(2,0)付近まで緩やかに減少し、(3,30)付近まで急増する。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 101問題 101

グラフは(−2.2,10)付近から(−2,−11)付近まで急減し、(−1,5)付近まで増加する。その後(1,3)付近まで減少し、(2,7)付近まで増加した後、(3,−20)付近まで減少する。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

Absolute minimum at 3; Absolute maximum at −2.2; local minima at −2, 1; local maxima at −1, 2

最小値をとる位置：x=3。最大値をとる位置：x≈−2.2。極小となる位置：x=−2, 1。極大となる位置：x=−1, 2。

Exercise 102問題 102

グラフは(−3,−1)付近から増加してx≈−2で山をつくり、x≈−1で谷をつくる。その後、原点付近でいったん水平になりながら増加してx≈1で再び山をつくり、x≈2で谷をつくった後、(3,1)付近まで増加する。右側の谷の値は負である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 103問題 103

左右対称のグラフ。x≈−2.5とx≈2.5の両端は同じ高さ。x≈−2とx≈2で深い谷をもち、x≈−1とx≈1で小さな山をつくる。原点の少し上、x=0にも浅い谷がある。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

Absolute minima at −2, 2; absolute maxima at −2.5, 2.5; minima at –2, 0, and 2 (Note: –2 and 2 are both local and absolute minima); local maxima at −1, 1

最小値をとる位置：x=−2, 2。最大値をとる位置：x≈−2.5, 2.5。極小となる位置：x=−2, 0, 2。なお、x=−2とx=2では極小値が最小値でもある。極大となる位置：x=−1, 1。

Exercises 104–107練習問題 104–107

For the following problems, draw graphs of

f (x),

which is continuous, over the interval

[−4, 4]

with the following properties:

次の各問では、区間

[−4, 4]

上で連続であり、指定された性質をもつ関数

f (x)

のグラフを描け。

Exercise 104問題 104

Absolute maximum at

x = 2

and absolute minima at

x = ± 3

x = 2

で最大値をとり、

x = ± 3

で最小値をとる。

Exercise 105問題 105

Absolute minimum at

x = 1

and absolute maximum at

x = 2

x = 1

で最小値をとり、

x = 2

で最大値をとる。

Solution解き方

Answers may vary.

解答例は複数ある。

Exercise 106問題 106

Absolute maximum at

x = 4,

absolute minimum at

x = −1,

local maximum at

x = −2,

and a critical point that is not a maximum or minimum at

x = 2

x = 4

で最大値、

x = −1

で最小値、

x = −2

で極大値をとり、

x = 2

には極大でも極小でもない臨界点がある。

Exercise 107問題 107

Absolute maxima at

x = 2

and

x = −3,

local minimum at

x = 1,

and absolute minimum at

x = 4

x = 2

と

x = −3

で最大値、

x = 1

で極小値、

x = 4

で最小値をとる。

Solution解き方

Answers may vary.

解答例は複数ある。

Exercises 108–117練習問題 108–117

For the following exercises, find the critical points in the domains of the following functions.

次の各関数について、定義域内の臨界点を求めよ。

Exercise 108問題 108

y = 4 x^{3} - 3 x

y = 4 x^{3} - 3 x

Exercise 109問題 109

y = 4 \sqrt{x} - x^{2}

y = 4 \sqrt{x} - x^{2}

Solution解き方

x = 1

x = 1

Exercise 110問題 110

y = \frac{1}{x - 1}

y = \frac{1}{x - 1}

Exercise 111問題 111

y = ln (x - 2)

y = ln (x - 2)

Solution解き方

None

臨界点はない。

Exercise 112問題 112

y = tan (x)

y = tan (x)

Exercise 113問題 113

y = \sqrt{4 - x^{2}}

y = \sqrt{4 - x^{2}}

Solution解き方

x = 0; x = \pm 2

x = 0; x = \pm 2

Exercise 114問題 114

y = x^{3 / 2} - 3 x^{5 / 2}

y = x^{3 / 2} - 3 x^{5 / 2}

Exercise 115問題 115

y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}

y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x - 3}

Solution解き方

None

臨界点はない。

Exercise 116問題 116

y = {sin}^{2} (x)

y = {sin}^{2} (x)

Exercise 117問題 117

y = x + \frac{1}{x}

y = x + \frac{1}{x}

Solution解き方

x = −1, 1

x = −1, 1

Exercises 118–128練習問題 118–128

For the following exercises, find the local and/or absolute extrema for the functions over the specified domain.

次の各関数について、指定された定義域上で極値、および最大値・最小値を求めよ。

Exercise 118問題 118

f (x) = x^{2} + 3

over

[−1, 4]

区間

[−1, 4]

における

f (x) = x^{2} + 3

Exercise 119問題 119

y = x^{2} + \frac{2}{x}

over

[1, 4]

区間

[1, 4]

における

y = x^{2} + \frac{2}{x}

Solution解き方

Absolute maximum:

x = 4,

y = \frac{33}{2};

absolute minimum:

x = 1,

y = 3

x = 4

で最大値

y = \frac{33}{2}

、

x = 1

で最小値

y = 3

をとる。

Exercise 120問題 120

y = {(x - x^{2})}^{2}

over

[−1, 1]

区間

[−1, 1]

における

y = {(x - x^{2})}^{2}

Exercise 121問題 121

y = \frac{1}{(x - x^{2})}

over

(0, 1)

区間

(0, 1)

における

y = \frac{1}{(x - x^{2})}

Solution解き方

Absolute minimum:

x = \frac{1}{2},

y = 4

x = \frac{1}{2}

で最小値

y = 4

をとる。

Exercise 122問題 122

y = \sqrt{9 - x}

over

[1, 9]

区間

[1, 9]

における

y = \sqrt{9 - x}

Exercise 123問題 123

y = x + sin (x)

over

[0, 2 π]

区間

[0, 2 π]

における

y = x + sin (x)

Solution解き方

Absolute maximum:

x = 2 π,

y = 2 π;

absolute minimum:

x = 0,

y = 0

x = 2 π

で最大値

y = 2 π

、

x = 0

で最小値

y = 0

をとる。

Exercise 124問題 124

y = \frac{x}{1 + x}

over

[0, 100]

区間

[0, 100]

における

y = \frac{x}{1 + x}

Exercise 125問題 125

y = | x + 1 | + | x - 1 |

over

[−3, 2]

区間

[−3, 2]

における

y = | x + 1 | + | x - 1 |

Solution解き方

Absolute maximum:

x = −3

and

y = 6;;

absolute minimum:

−1 \leq x \leq 1,

y = 2

x = −3

で最大値

y = 6;

をとり、

−1 \leq x \leq 1

のすべての点で最小値

y = 2

をとる。

Exercise 126問題 126

y = \sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}

over

[0, 4]

区間

[0, 4]

における

y = \sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}

Exercise 127問題 127

y = sin x + cos x

over

[0, 2 π]

区間

[0, 2 π]

における

y = sin x + cos x

Solution解き方

Absolute maximum:

x = \frac{π}{4},

y = \sqrt{2};

absolute minimum:

x = \frac{5 π}{4},

y = − \sqrt{2}

x = \frac{π}{4}

で最大値

y = \sqrt{2}

、

x = \frac{5 π}{4}

で最小値

y = − \sqrt{2}

をとる。

Exercise 128問題 128

y = 4 sin θ - 3 cos θ

over

[0, 2 π]

区間

[0, 2 π]

における

y = 4 sin θ - 3 cos θ

Exercises 129–134練習問題 129–134

For the following exercises, find the local and absolute minima and maxima for the functions over

(− \infty, \infty) .

次の各関数について、

(− \infty, \infty)

上で極大値・極小値・最大値・最小値を求めよ。

Exercise 129問題 129

y = x^{2} + 4 x + 5

y = x^{2} + 4 x + 5

Solution解き方

Absolute minimum:

x = −2,

y = 1

x = −2

で最小値

y = 1

をとる。

Exercise 130問題 130

y = x^{3} - 12 x

y = x^{3} - 12 x

Exercise 131問題 131

y = 3 x^{4} + 8 x^{3} - 18 x^{2}

y = 3 x^{4} + 8 x^{3} - 18 x^{2}

Solution解き方

Absolute minimum:

x = −3,

y = −135;

local maximum:

x = 0,

y = 0;

local minimum:

x = 1,

y = −7

x = −3

で最小値

y = −135

、

x = 0

で極大値

y = 0

、

x = 1

で極小値

y = −7

をとる。

Exercise 132問題 132

y = x^{3} {(1 - x)}^{6}

y = x^{3} {(1 - x)}^{6}

Exercise 133問題 133

y = \frac{x^{2} + x + 6}{x - 1}

y = \frac{x^{2} + x + 6}{x - 1}

Solution解き方

Local maximum:

x = 1 - 2 \sqrt{2},

y = 3 - 4 \sqrt{2};

local minimum:

x = 1 + 2 \sqrt{2},

y = 3 + 4 \sqrt{2}

x = 1 - 2 \sqrt{2}

で極大値

y = 3 - 4 \sqrt{2}

、

x = 1 + 2 \sqrt{2}

で極小値

y = 3 + 4 \sqrt{2}

をとる。

Exercise 134問題 134

y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

Exercises 135–141練習問題 135–141

For the following functions, use a calculator to graph the function and to estimate the absolute and local maxima and minima. Then, solve for them explicitly.

次の各関数について、電卓でグラフを描き、最大値・最小値・極大値・極小値を見積もれ。その後、計算で正確な値を求めよ。

Exercise 135問題 135

[T]

y = 3 x \sqrt{1 - x^{2}}

［T］

y = 3 x \sqrt{1 - x^{2}}

Solution解き方

Absolute maximum:

x = \frac{\sqrt{2}}{2},

y = \frac{3}{2};

absolute minimum:

x = - \frac{\sqrt{2}}{2},

y = - \frac{3}{2}

x = \frac{\sqrt{2}}{2}

で最大値

y = \frac{3}{2}

、

x = - \frac{\sqrt{2}}{2}

で最小値

y = - \frac{3}{2}

をとる。

Exercise 136問題 136

[T]

y = x + sin (x)

［T］

y = x + sin (x)

Exercise 137問題 137

[T]

y = 12 x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} - 90 x^{2} - 120 x + 3

［T］

y = 12 x^{5} + 45 x^{4} + 20 x^{3} - 90 x^{2} - 120 x + 3

Solution解き方

Local maximum:

x = −2,

y = 59;

local minimum:

x = 1,

y = −130

x = −2

で極大値

y = 59

、

x = 1

で極小値

y = −130

をとる。

Exercise 138問題 138

[T]

y = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - x - 30}{x - 2}

［T］

y = \frac{x^{3} + 6 x^{2} - x - 30}{x - 2}

Exercise 139問題 139

[T]

y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}

［T］

y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}

Solution解き方

Absolute maximum:

x = 0,

y = 1;

absolute minimum:

x = −2, 2,

y = 0

x = 0

で最大値

y = 1

、

x = −2, 2

で最小値

y = 0

をとる。

Exercise 140問題 140

A company that produces cell phones has a cost function of

C = x^{2} - 1200 x + 36,400,

where

C

is cost in dollars and

x

is number of cell phones produced (in thousands). How many units of cell phone (in thousands) minimizes this cost function?

携帯電話を製造する会社の費用関数を

C = x^{2} - 1200 x + 36,400

とする。

C

はドル単位の費用、

x

は千台単位の生産台数である。この費用関数を最小にする生産台数を、千台単位で求めよ。

Exercise 141問題 141

A ball is thrown into the air and its position is given by

h (t) = −4.9 t^{2} + 60 t + 5 m .

Find the height at which the ball stops ascending. How long after it is thrown does this happen?

空中に投げ上げたボールの高さが

h (t) = −4.9 t^{2} + 60 t + 5 m

で与えられる。ボールの上昇が止まる高さを求めよ。また、それは投げてから何秒後か。

Solution解き方

h = \frac{9245}{49} m,

t = \frac{300}{49} s

h = \frac{9245}{49} m,

t = \frac{300}{49} s

Exercises 142–143練習問題 142–143

For the following exercises, consider the production of gold during the California gold rush (1848–1888). The production of gold can be modeled by

G (t) = \frac{(25 t)}{(t^{2} + 16)},

where

t

is the number of years since the rush began

(0 \leq t \leq 40)

and

G

is ounces of gold produced (in millions). A summary of the data is shown in the following figure.

次の各問では、カリフォルニアのゴールドラッシュ期（1848〜1888年）の金の生産量を考える。生産量のモデルを

G (t) = \frac{(25 t)}{(t^{2} + 16)}

とする。

t

はゴールドラッシュ開始からの経過年数で

(0 \leq t \leq 40)

、

G

は百万オンス単位の金の生産量である。実際のデータの概要を次の図に示す。

1848〜1888年の金の年間生産量を示す棒グラフ。単位は百万トロイオンス。1848年0.05、1849年0.5、1850年2、1851年3.6、1852年3.9、1853年3.3、1854年3.4、1855年2.6、1856年2.75、1857年2.1、1858年2.2、1859年2.15、1860年2.1、1861年2、1862年1.8、1863年1.1、1864年1.15、1865年0.9、1866年0.85、1867年0.9、1868年0.85、1869年0.9、1870年0.85、1871年0.85、1872年0.75、1873年0.7、1874年0.8、1875年0.75、1876年0.7、1877年0.73、1878年0.9、1879年0.95、1880年1、1881年0.95、1882年0.85、1883年1.1、1884年0.6、1885年0.55、1886年0.65、1887年0.6、1888年0.55。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 142問題 142

Find when the maximum (local and absolute) gold production occurred, and the amount of gold produced during that maximum.

このモデルで、金の生産量が極大および最大となる時期と、そのときの生産量を求めよ。

Exercise 143問題 143

Find when the minimum (local and absolute) gold production occurred. What was the amount of gold produced during this minimum?

このモデルで、金の生産量が極小および最小となる時期を求めよ。そのときの生産量はいくらか。

Solution解き方

The absolute minimum was in 1848, when no gold was produced.

モデル上の最小値は1848年の0である。これはG(0)=0による値であり、実測データで金の生産が皆無だったという意味ではない。

Exercises 144–145練習問題 144–145

Find the critical points, maxima, and minima for the following piecewise functions.

次の区分的に定義された関数について、臨界点、および最大・最小や極大・極小となる位置と値を求めよ。

Exercise 144問題 144

y = {\begin{matrix} x^{2} - 4 x & 0 \leq x \leq 1 \\ x^{2} - 4 & 1 < x \leq 2 \end{matrix}

y = {\begin{matrix} x^{2} - 4 x & 0 \leq x \leq 1 \\ x^{2} - 4 & 1 < x \leq 2 \end{matrix}

Exercise 145問題 145

y = {\begin{matrix} x^{2} + 1 & x \leq 1 \\ x^{2} - 4 x + 5 & x > 1 \end{matrix}

y = {\begin{matrix} x^{2} + 1 & x \leq 1 \\ x^{2} - 4 x + 5 & x > 1 \end{matrix}

Solution解き方

Absolute minima:

x = 0,

x = 2,

y = 1;

local maximum at

x = 1,

y = 2

x = 0

と

x = 2

で最小値

y = 1

をとり、

x = 1

で極大値

y = 2

をとる。

Exercises 146–147練習問題 146–147

For the following exercises, find the critical points of the following generic functions. Are they maxima, minima, or neither? State the necessary conditions.

次の一般形で表された関数について、臨界点を求めよ。各点は極大、極小、それともどちらでもないか。必要な条件も述べよ。

Exercise 146問題 146

y = a x^{2} + b x + c,

given that

a > 0

y = a x^{2} + b x + c

。ただし

a > 0

とする。

Exercise 147問題 147

y = {(x - 1)}^{a},

given that

a > 1

and a is an integer.

y = {(x - 1)}^{a}

。ただし

a > 1

で、aは整数とする。

Solution解き方

No maxima/minima if

a

is odd, minimum at

x = 1

a

is even

a

が奇数なら極大値・極小値はない。

a

が偶数なら、

x = 1

で最小値をとる。

absolute extremum

最大値または最小値（absolute extremum）

f

has an absolute maximum or absolute minimum at

c,

we say

f

has an absolute extremum at

c

f

が

c

で最大値または最小値をとるとき、

f

は

c

でabsolute extremumをとるという。

absolute maximum

最大値

f (c) \geq f (x)

for all

x

in the domain of

f,

we say

f

has an absolute maximum at

c

f

の定義域内のすべての

x

について

f (c) \geq f (x)

となるとき、

f

は

c

で最大値をとるという。

absolute minimum

最小値

f (c) \leq f (x)

for all

x

in the domain of

f,

we say

f

has an absolute minimum at

c

f

の定義域内のすべての

x

について

f (c) \leq f (x)

となるとき、

f

は

c

で最小値をとるという。

critical point

臨界点

the point

(c, f (c))

a critical point of

f

cが臨界数であるとき、点

(c, f (c))

を

f

の臨界点と呼ぶ。

critical number

臨界数

f' (c) = 0

f' (c)

is undefined, we say that

c

is a critical number of

f

cが定義域の内点であり、

f' (c) = 0

であるか

f' (c)

が定義されないとき、

c

を

f

の臨界数という。

extreme value theorem

最大値・最小値の定理

f

is a continuous function over a finite, closed interval, then

f

has an absolute maximum and an absolute minimum

f

が有限な閉区間上の連続関数ならば、

f

には最大値と最小値が存在する。

Fermat’s theorem

フェルマーの定理

f

has a local extremum at

c,

then

c

is a critical point of

f

f

が

c

で極値をとるならば、

c

は

f

の臨界点である。特に、その点で微分可能なら導関数の値は0になる。

local extremum

極値

f

has a local maximum or local minimum at

c,

we say

f

has a local extremum at

c

f

が

c

で極大値または極小値をとるとき、

f

は

c

で極値をとるという。

local maximum

極大値

if there exists an interval

I

such that

f (c) \geq f (x)

for all

x \in I,

we say

f

has a local maximum at

c

cを含み、関数の定義域内にある開区間

I

が存在し、すべての

x \in I

について

f (c) \geq f (x)

が成り立つとき、

f

は

c

で極大値をとるという。

local minimum

極小値

if there exists an interval

I

such that

f (c) \leq f (x)

for all

x \in I,

we say

f

has a local minimum at

c

cを含み、関数の定義域内にある開区間

I

が存在し、すべての

x \in I

について

f (c) \leq f (x)

が成り立つとき、

f

は

c

で極小値をとるという。