第4章微分の応用

4.1 Related Rates4.1　関連する量の変化率

Learning Objectives学習目標

Express changing quantities in terms of derivatives.
変化する量を微分を使って表す。
Find relationships among the derivatives in a given problem.
与えられた問題で、導関数どうしの関係を見つける。
Use the chain rule to find the rate of change of one quantity that depends on the rate of change of other quantities.
ほかの量の変化率に依存する量の変化率を、合成関数の微分法で求める。

We have seen that for quantities that are changing over time, the rates at which these quantities change are given by derivatives. If two related quantities are changing over time, the rates at which the quantities change are related. For example, if a balloon is being filled with air, both the radius of the balloon and the volume of the balloon are increasing. In this section, we consider several problems in which two or more related quantities are changing and we study how to determine the relationship between the rates of change of these quantities.

英語のヒント

時間とともに変わる量について、その変化率は微分によって与えられることを学んだ。互いに関連する二つの量が時間とともに変わるなら、その変化率どうしも関連する。例えば、風船に空気を入れて膨らませると、風船の半径も体積も増加する。この節では、互いに関連する二つ以上の量が変化する問題をいくつか取り上げ、それぞれの変化率の間にどのような関係があるかを求める方法を学ぶ。

Setting up Related-Rates Problems関連する変化率の問題を式にする

In many real-world applications, related quantities are changing with respect to time. For example, if we consider the balloon example again, we can say that the rate of change in the volume,

V,

is related to the rate of change in the radius,

r .

In this case, we say that

\frac{d V}{d t}

and

\frac{d r}{d t}

are related rates because V is related to r. Here we study several examples of related quantities that are changing with respect to time and we look at how to calculate one rate of change given another rate of change.

英語のヒント

現実の応用では、関連する量が時間に応じて変わることが多い。先ほどの風船をもう一度考えると、体積

V

の変化率は、半径

r

の変化率と関連している。Vとrが関連しているため、

\frac{d V}{d t}

と

\frac{d r}{d t}

を、互いに関連する変化率という。ここでは、時間に応じて変わる関連した量の例をいくつか調べ、一方の変化率が与えられたときに、もう一方の変化率をどう計算するかを考える。

Example 4.1例題 4.1

Inflating a Balloon風船を膨らませる

A spherical balloon is being filled with air at the constant rate of

2 {cm}^{3} / sec

(Figure 4.2). How fast is the radius increasing when the radius is

3 cm ?

英語のヒント

球形の風船に、一定の割合

2 {cm}^{3} / sec

で空気を入れている（図4.2）。半径が

3 cm

のとき、半径はどのくらいの速さで増加しているか。

時刻1、2、3における三つの風船。時間がたつにつれて、風船の体積と半径がともに大きくなっている。 — Figure 4.2図 4.2
As the balloon is being filled with air, both the radius and the volume are increasing with respect to time.
風船に空気を入れると、半径と体積がともに時間とともに増加する。

Solution解き方

The volume of a sphere of radius

r

centimeters is

半径

r

センチメートルの球の体積は、次の式で与えられる。

V = \frac{4}{3} π r^{3} {cm}^{3} .

V = \frac{4}{3} π r^{3} {cm}^{3}

Since the balloon is being filled with air, both the volume and the radius are functions of time. Therefore,

t

seconds after beginning to fill the balloon with air, the volume of air in the balloon is

風船に空気を入れているので、体積も半径も時間の関数になる。したがって、空気を入れ始めてから

t

秒後の、風船内の空気の体積は次のようになる。

V (t) = \frac{4}{3} π {[r (t)]}^{3} {cm}^{3} .

V (t) = \frac{4}{3} π {[r (t)]}^{3} {cm}^{3}

Differentiating both sides of this equation with respect to time and applying the chain rule, we see that the rate of change in the volume is related to the rate of change in the radius by the equation

英語のヒント

この式の両辺を時間について微分し、合成関数の微分法を使うと、体積の変化率と半径の変化率が次の式で結ばれることが分かる。

V' (t) = 4 π {[r (t)]}^{2} r^{'} (t) .

V' (t) = 4 π {[r (t)]}^{2} r^{'} (t)

The balloon is being filled with air at the constant rate of 2 cm³/sec, so

V' (t) = 2 {cm}^{3} / sec .

Therefore,

風船には一定の割合2 cm³/secで空気を入れているので、

V' (t) = 2 {cm}^{3} / sec

である。したがって、

2 {cm}^{3} / sec = (4 π {[r (t)]}^{2} {cm}^{2}) \cdot (r' (t) cm/s),

which implies

この式から、次を得る。

r' (t) = \frac{1}{2 π {[r (t)]}^{2}} cm/sec .

r' (t) = \frac{1}{2 π {[r (t)]}^{2}} cm/sec

When the radius

r = 3 cm,

半径が

r = 3 cm,

のとき、

r' (t) = \frac{1}{18 π} cm/sec .

r' (t) = \frac{1}{18 π} cm/sec

Before looking at other examples, let’s outline the problem-solving strategy we will be using to solve related-rates problems.

英語のヒント

ほかの例を見る前に、関連する変化率の問題を解くための手順をまとめておこう。

Solving a Related-Rates Problem関連する変化率の問題を解く

Assign symbols to all variables involved in the problem. Draw a figure if applicable.
英語のヒント
問題に現れるすべての変数に記号を割り当てる。図が役立つ場合は、図を描く。
State, in terms of the variables, the information that is given and the rate to be determined.
英語のヒント
与えられた情報と、求める変化率を、変数を使って表す。
Find an equation relating the variables introduced in step 1.
手順1で導入した変数の間の関係を表す式を見つける。
Using the chain rule, differentiate both sides of the equation found in step 3 with respect to the independent variable. This new equation will relate the derivatives.
英語のヒント
合成関数の微分法を用い、手順3で得た式の両辺を独立変数について微分する。新しく得られる式が、導関数どうしの関係を表す。
Substitute all known values into the equation from step 4, then solve for the unknown rate of change.
英語のヒント
分かっている値をすべて手順4の式に代入し、未知の変化率について解く。

Note that when solving a related-rates problem, it is crucial not to substitute known values too soon. For example, if the value for a changing quantity is substituted into an equation before both sides of the equation are differentiated, then that quantity will behave as a constant and its derivative will not appear in the new equation found in step 4. We examine this potential error in the following example.

英語のヒント

関連する変化率の問題では、分かっている値を早い段階で代入しすぎないことが非常に重要である。例えば、変化する量の値を、式の両辺を微分する前に代入すると、その量を定数として扱うことになり、手順4で得られる新しい式に、その量の導関数が現れなくなる。次の例で、この起こりやすい誤りを確かめる。

Examples of the Process手順を用いる例

Let’s now implement the strategy just described to solve several related-rates problems. The first example involves a plane flying overhead. The relationship we are studying is between the speed of the plane and the rate at which the distance between the plane and a person on the ground is changing.

英語のヒント

今述べた手順を使い、関連する変化率の問題をいくつか解いてみよう。最初の例では、上空を飛ぶ飛行機を考える。調べたいのは、飛行機の速さと、飛行機から地上の人までの距離の変化率との関係である。

Example 4.2例題 4.2

An Airplane Flying at a Constant Elevation一定の高度を飛ぶ飛行機

An airplane is flying overhead at a constant elevation of

4000 ft .

A man is viewing the plane from a position

3000 ft

from the base of a radio tower. The airplane is flying horizontally away from the man. If the plane is flying at the rate of

600 ft/sec,

at what rate is the distance between the man and the plane increasing when the plane passes over the radio tower?

英語のヒント

飛行機が、一定の高度

4000 ft

で上空を飛んでいる。ある男性が、電波塔の根元から

3000 ft

離れた場所で飛行機を見ている。飛行機は男性から遠ざかる向きに水平に飛んでいる。飛行機の速さが

600 ft/sec

のとき、電波塔の真上を通過する瞬間に、男性と飛行機の間の距離はどのくらいの速さで増加しているか。

Solution解き方

Step 1. Draw a picture, introducing variables to represent the different quantities involved.

手順1．関係する各量を表す変数を導入し、図を描く。

地上の人、空中の飛行機、電波塔の根元を頂点とする直角三角形。電波塔の根元が直角の頂点となる。斜辺の長さをs、人と電波塔の間の地上での距離をxとし、人の向かい側の辺、すなわち地上から飛行機までの高さは4000 ftである。 — Figure 4.3図 4.3
An airplane is flying at a constant height of 4000 ft. The distance between the person and the airplane and the person and the place on the ground directly below the airplane are changing. We denote those quantities with the variables $s$ and $x,$ respectively.
英語のヒント
飛行機は一定の高度4000 ftを飛んでいる。人から飛行機までの距離と、人から飛行機の真下の地上の点までの距離が変化する。これらを、それぞれ変数 $s$ 、 $x$ で表す。

As shown,

x

denotes the distance between the man and the position on the ground directly below the airplane. The variable

s

denotes the distance between the man and the plane. Note that both

x

and

s

are functions of time. We do not introduce a variable for the height of the plane because it remains at a constant elevation of

4000 ft .

Since an object’s height above the ground is measured as the shortest distance between the object and the ground, the line segment of length 4000 ft is perpendicular to the line segment of length

x

feet, creating a right triangle.

英語のヒント

図の

x

は、男性から飛行機の真下の地上の点までの距離を表す。変数

s

は、男性から飛行機までの距離を表す。

x

も

s

も時間の関数であることに注意しよう。飛行機の高度は

4000 ft

で一定なので、高度を表す変数は導入しない。地上から物体までの高さは、物体と地面との最短距離として測る。そのため、長さ4000 ftの線分と長さ

x

フィートの線分は垂直になり、直角三角形を作る。

Step 2. Since

x

denotes the horizontal distance between the man and the point on the ground below the plane,

d x / d t

represents the speed of the plane. We are told the speed of the plane is 600 ft/sec. Therefore,

\frac{d x}{d t} = 600

ft/sec. Since we are asked to find the rate of change in the distance between the man and the plane when the plane is directly above the radio tower, we need to find

d s / d t

when

x = 3000 ft .

手順2．

x

は男性から飛行機の真下の地上の点までの水平距離なので、

d x / d t

は飛行機の速さを表す。問題文より、その速さは600 ft/secである。したがって、

\frac{d x}{d t} = 600

ft/secとなる。求めるのは、飛行機が電波塔の真上にいるときの、男性と飛行機の間の距離の変化率である。つまり、

x = 3000 ft

のときの

d s / d t

を求めればよい。

Step 3. From the figure, we can use the Pythagorean theorem to write an equation relating

x

and

s :

英語のヒント

手順3．図に三平方の定理を使うと、

x

と

s :

の関係を次の式で表せる。

{[x (t)]}^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2} .

{[x (t)]}^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2}

Step 4. Differentiating this equation with respect to time and using the fact that the derivative of a constant is zero, we arrive at the equation

手順4．この式を時間について微分する。定数の導関数は0なので、次の式が得られる。

x \frac{d x}{d t} = s \frac{d s}{d t} .

x \frac{d x}{d t} = s \frac{d s}{d t}

Step 5. Find the rate at which the distance between the man and the plane is increasing when the plane is directly over the radio tower. That is, find

\frac{d s}{d t}

when

x = 3000 ft .

Since the speed of the plane is

600 ft/sec,

we know that

\frac{d x}{d t} = 600 ft/sec .

We are not given an explicit value for

s;

however, since we are trying to find

\frac{d s}{d t}

when

x = 3000 ft,

we can use the Pythagorean theorem to determine the distance

s

when

x = 3000

and the height is

4000 ft .

Solving the equation

手順5．飛行機が電波塔の真上にいるときに、男性と飛行機の間の距離がどのくらいの速さで増加しているかを求める。すなわち、

x = 3000 ft

のときの

\frac{d s}{d t}

を求める。飛行機の速さは

600 ft/sec

なので、

\frac{d x}{d t} = 600 ft/sec

と分かる。

s

の値は直接には与えられていない。しかし、求めたいのは

x = 3000 ft

のときの

\frac{d s}{d t}

である。そこで、

x = 3000

、高度

4000 ft

という条件で三平方の定理を用い、距離

s

を求められる。次の方程式を、

3000^{2} + 4000^{2} = s^{2}

for

s,

we have

s = 5000 ft

at the time of interest. Using these values, we conclude that

d s / d t

is a solution of the equation

英語のヒント

s

について解くと、調べている瞬間には

s = 5000 ft

と分かる。これらの値を使えば、

d s / d t

は次の方程式を満たす。

(3000) (600) = (5000) \cdot \frac{d s}{d t} .

(3000) (600) = (5000) \cdot \frac{d s}{d t}

Therefore,

したがって、

\frac{d s}{d t} = \frac{3000 \cdot 600}{5000} = 360 ft/sec .

\frac{d s}{d t} = \frac{3000 \cdot 600}{5000} = 360 ft/sec

Note: When solving related-rates problems, it is important not to substitute values for the variables too soon. For example, in step 3, we related the variable quantities

x (t)

and

s (t)

by the equation

注意：関連する変化率の問題では、変数に値を早く代入しすぎないことが重要である。例えば手順3では、変化する量

x (t)

と

s (t)

の関係を、次の式で表した。

{[x (t)]}^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2} .

{[x (t)]}^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2}

Since the plane remains at a constant height, it is not necessary to introduce a variable for the height, and we are allowed to use the constant 4000 to denote that quantity. However, the other two quantities are changing. If we mistakenly substituted

x (t) = 3000

into the equation before differentiating, our equation would have been

英語のヒント

飛行機の高度は一定なので、高度の変数を導入する必要はなく、その量を定数4000で表してよい。しかし、残りの二つの量は変化している。もし微分する前に、誤って

x (t) = 3000

を代入してしまったとすると、式は次のようになっていただろう。

3000^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2} .

3000^{2} + 4000^{2} = {[s (t)]}^{2}

After differentiating, our equation would become

これを微分すると、式は次のようになってしまう。

0 = s (t) \frac{d s}{d t} .

0 = s (t) \frac{d s}{d t}

As a result, we would incorrectly conclude that

\frac{d s}{d t} = 0 .

その結果、

\frac{d s}{d t} = 0

と誤って結論してしまう。

We now return to the problem involving the rocket launch from the beginning of the chapter.

ここで、章の冒頭で取り上げたロケットの打ち上げの問題に戻ろう。

Example 4.3例題 4.3

Chapter Opener: A Rocket Launch章の導入問題：ロケットの打ち上げ

Image omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため画像を割愛。

Figure 4.4図 4.4

(credit: modification of work by Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)

（出典：Steve Jurvetsonによる作品を改変、Wikimedia Commons）

A rocket is launched so that it rises vertically. A camera is positioned

5000 ft

from the launch pad. When the rocket is

1000 ft

above the launch pad, its velocity is

600 ft/sec .

Find the necessary rate of change of the camera’s angle as a function of time so that it stays focused on the rocket.

英語のヒント

ロケットを鉛直上向きに打ち上げる。カメラは発射台から

5000 ft

離れた位置に置いてある。ロケットが発射台の

1000 ft

上方にいるとき、その速度は

600 ft/sec

である。カメラがロケットを捉え続けるために必要な、カメラの角度の時間に対する変化率を求めよ。

Solution解き方

Step 1. Draw a picture introducing the variables.

手順1．変数を導入し、図を描く。

直角三角形の一つの鋭角の頂点にカメラ、もう一つの鋭角の頂点にロケットがある。カメラの側の角をθとする。ロケットから地面までの距離hは、この角θの対辺に当たる。角θの隣辺の長さは5000 ftである。 — Figure 4.5図 4.5
A camera is positioned 5000 ft from the launch pad of the rocket. The height of the rocket and the angle of the camera are changing with respect to time. We denote those quantities with the variables $h$ and $θ,$ respectively.
ロケットの発射台から5000 ft離れた場所にカメラを置く。ロケットの高さとカメラの角度が時間とともに変わる。それぞれを変数 $h$ 、 $θ$ で表す。

Let

h

denote the height of the rocket above the launch pad and

θ

be the angle between the camera lens and the ground.

発射台から測ったロケットの高さを

h

、カメラのレンズの向きと地面とのなす角を

θ

とする。

Step 2. We are trying to find the rate of change in the angle of the camera with respect to time when the rocket is 1000 ft off the ground. That is, we need to find

\frac{d θ}{d t}

when

h = 1000 ft .

At that time, we know the velocity of the rocket is

\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec .

手順2．求めたいのは、ロケットが地上1000 ftにあるときの、カメラの角度の時間に対する変化率である。つまり、

h = 1000 ft

のときの

\frac{d θ}{d t}

を求める。この瞬間のロケットの速度は、

\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec

と分かっている。

Step 3. Now we need to find an equation relating the two quantities that are changing with respect to time:

h

and

θ .

How can we create such an equation? Using the fact that we have drawn a right triangle, it is natural to think about trigonometric functions. Recall that

tan θ

is the ratio of the length of the opposite side of the triangle to the length of the adjacent side. Thus, we have

英語のヒント

手順3．時間とともに変化する二つの量、

h

と

θ

の関係を表す式を見つける。この式は、どのように作ればよいだろうか。描いた図が直角三角形であることから、三角関数を考えるのが自然である。

tan θ

は対辺の長さと隣辺の長さの比であることを思い出そう。したがって、

tan θ = \frac{h}{5000} .

tan θ = \frac{h}{5000}

This gives us the equation

これより、次の式が得られる。

h = 5000 tan θ .

h = 5000 tan θ

Step 4. Differentiating this equation with respect to time

t,

we obtain

手順4．この式を時間

t

について微分すると、次を得る。

\frac{d h}{d t} = 5000 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t} .

\frac{d h}{d t} = 5000 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t}

Step 5. We want to find

\frac{d θ}{d t}

when

h = 1000 ft .

At this time, we know that

\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec .

We need to determine

{sec}^{2} θ .

Recall that

sec θ

is the ratio of the length of the hypotenuse to the length of the adjacent side. We know the length of the adjacent side is

5000 ft .

To determine the length of the hypotenuse, we use the Pythagorean theorem, where the length of one leg is

5000 ft,

the length of the other leg is

h = 1000 ft,

and the length of the hypotenuse is

c

feet as shown in the following figure.

英語のヒント

手順5．

h = 1000 ft

のときの

\frac{d θ}{d t}

を求めたい。この瞬間には

\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec

と分かっているので、

{sec}^{2} θ

を求める必要がある。

sec θ

は斜辺の長さと隣辺の長さの比であり、隣辺の長さは

5000 ft

と分かっている。斜辺の長さには三平方の定理を使う。次の図のように、直角を挟む二辺の長さをそれぞれ

5000 ft

、

h = 1000 ft

とし、斜辺の長さを

c

フィートとする。

一つの角をθとする直角三角形。斜辺の長さはc、角θの対辺の長さは1000、隣辺の長さは5000である。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

We see that

次の関係が成り立つ。

1000^{2} + 5000^{2} = c^{2}

and we conclude that the hypotenuse is

したがって、斜辺の長さは次のようになる。

c = 1000 \sqrt{26} ft .

c = 1000 \sqrt{26} ft

Therefore, when

h = 1000,

we have

よって、

h = 1000

のとき、

{sec}^{2} θ = {(\frac{1000 \sqrt{26}}{5000})}^{2} = \frac{26}{25} .

{sec}^{2} θ = {(\frac{1000 \sqrt{26}}{5000})}^{2} = \frac{26}{25}

Recall from step 4 that the equation relating

\frac{d θ}{d t}

to our known values is

手順4で得た、

\frac{d θ}{d t}

と既知の値を結ぶ式を思い出そう。

\frac{d h}{d t} = 5000 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t} .

\frac{d h}{d t} = 5000 {sec}^{2} θ \frac{d θ}{d t}

When

h = 1000 ft,

we know that

\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec

and

{sec}^{2} θ = \frac{26}{25} .

Substituting these values into the previous equation, we arrive at the equation

h = 1000 ft

のとき、

\frac{d h}{d t} = 600 ft/sec

、

{sec}^{2} θ = \frac{26}{25}

と分かっている。これらを前の式に代入すると、次の式が得られる。

600 = 5000 (\frac{26}{25}) \frac{d θ}{d t} .

Therefore,

\frac{d θ}{d t} = \frac{3}{26} rad/sec .

したがって、

\frac{d θ}{d t} = \frac{3}{26} rad/sec

。

In the next example, we consider water draining from a cone-shaped funnel. We compare the rate at which the level of water in the cone is decreasing with the rate at which the volume of water is decreasing.

英語のヒント

次の例では、円錐形の漏斗から水が流れ出す場合を考える。円錐内の水位が低下する割合と、水の体積が減少する割合とを比較する。

Example 4.4例題 4.4

Water Draining from a Funnel漏斗から流れ出す水

Water is draining from the bottom of a cone-shaped funnel at the rate of

0.0 {3 ft}^{3} /sec .

The height of the funnel is 2 ft and the radius at the top of the funnel is

1 ft .

At what rate is the height of the water in the funnel changing when the height of the water is

\frac{1}{2} ft ?

円錐形の漏斗の底から、水が

0.0 {3 ft}^{3} /sec

の割合で流れ出している。漏斗の高さは2 ft、上端の半径は

1 ft

である。水の深さが

\frac{1}{2} ft

のとき、水面の高さはどのくらいの割合で変化しているか。

Solution解き方

Step 1: Draw a picture introducing the variables.

手順1．変数を導入し、図を描く。

高さ2、上端の半径1の漏斗。水は高さhまで入っており、その高さでの水面の半径はrである。 — Figure 4.6図 4.6
Water is draining from a funnel of height 2 ft and radius 1 ft. The height of the water and the radius of water are changing over time. We denote these quantities with the variables $h$ and $r,$ respectively.
高さ2 ft、半径1 ftの漏斗から水が流れ出している。水の高さと水面の半径が時間とともに変わる。それぞれを変数 $h$ 、 $r$ で表す。

Let

h

denote the height of the water in the funnel,

r

denote the radius of the water at its surface, and

V

denote the volume of the water.

漏斗内の水の高さを

h

、水面の半径を

r

、水の体積を

V

とする。

Step 2: We need to determine

\frac{d h}{d t}

when

h = \frac{1}{2} ft .

We know that

\frac{d V}{d t} = −0.03 {ft}^{3} /sec .

手順2．

h = \frac{1}{2} ft

のときの

\frac{d h}{d t}

を求める。

\frac{d V}{d t} = −0.03 {ft}^{3} /sec

と分かっている。

Step 3: The volume of water in the cone is

手順3．円錐内の水の体積は、

V = \frac{1}{3} π r^{2} h .

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

From the figure, we see that we have similar triangles. Therefore, the ratio of the sides in the two triangles is the same. Therefore,

\frac{r}{h} = \frac{1}{2}

r = \frac{h}{2} .

Using this fact, the equation for volume can be simplified to

英語のヒント

図には相似な三角形がある。したがって、二つの三角形で対応する辺の比は等しく、

\frac{r}{h} = \frac{1}{2}

、すなわち

r = \frac{h}{2}

となる。これを使えば、体積の式は次のように簡単になる。

V = \frac{1}{3} π {(\frac{h}{2})}^{2} h = \frac{π}{12} h^{3} .

V = \frac{1}{3} π {(\frac{h}{2})}^{2} h = \frac{π}{12} h^{3}

Step 4: Applying the chain rule while differentiating both sides of this equation with respect to time

t,

we obtain

手順4．合成関数の微分法を使い、この式の両辺を時間

t

について微分すると、

\frac{d V}{d t} = \frac{π}{4} h^{2} \frac{d h}{d t} .

\frac{d V}{d t} = \frac{π}{4} h^{2} \frac{d h}{d t}

Step 5: We want to find

\frac{d h}{d t}

when

h = \frac{1}{2} ft .

Since water is leaving at the rate of

0.0 {3 ft}^{3} /sec,

we know that

\frac{d V}{d t} = −0.03 {ft}^{3} /sec .

Therefore,

手順5．

h = \frac{1}{2} ft

のときの

\frac{d h}{d t}

を求めたい。水は

0.0 {3 ft}^{3} /sec

の割合で流れ出しているので、

\frac{d V}{d t} = −0.03 {ft}^{3} /sec

である。したがって、

−0.03 = \frac{π}{4} {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{d h}{d t},

−0.03 = \frac{π}{4} {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{d h}{d t}

which implies

この式から、

−0.03 = \frac{π}{16} \frac{d h}{d t} .

−0.03 = \frac{π}{16} \frac{d h}{d t}

It follows that

よって、次を得る。

\frac{d h}{d t} = - \frac{0.48}{π} = −0.153 ft/sec .

\frac{d h}{d t} = - \frac{0.48}{π} = −0.153 ft/sec

第4章微分の応用

4.1 Related Rates4.1 関連する量の変化率

Learning Objectives学習目標

Setting up Related-Rates Problems関連する変化率の問題を式にする

Inflating a Balloon風船を膨らませる

Examples of the Process手順を用いる例

An Airplane Flying at a Constant Elevation一定の高度を飛ぶ飛行機

Chapter Opener: A Rocket Launch章の導入問題：ロケットの打ち上げ

Water Draining from a Funnel漏斗から流れ出す水

4.1 Related Rates4.1　関連する量の変化率