第4章微分の応用

Exercises 347–350練習問題 347–350

For the following exercises, consider the points on the given graphs. Use a calculator to graph the functions.

以下の問題では、指定されたグラフ上の点を考える。電卓を使って関数のグラフを描け。

Exercise 347問題 347

[T] Where is the line

y = 5 - 2 x

closest to the origin?

［電卓使用］直線

y = 5 - 2 x

上で、原点に最も近い点はどこか。

Solution解き方

(2, 1)

(2, 1)

Exercise 348問題 348

[T] Where is the line

y = 5 - 2 x

closest to point

(1, 1) ?

［電卓使用］直線

y = 5 - 2 x

上で、点

(1, 1)

に最も近い点はどこか。

Exercise 349問題 349

[T] Where is the parabola

y = x^{2}

closest to point

(2, 0) ?

［電卓使用］放物線

y = x^{2}

上で、点

(2, 0)

に最も近い点はどこか。

Solution解き方

(0.8351, 0.6974)

(0.8351, 0.6974)

Exercise 350問題 350

[T] Where is the parabola

y = x^{2}

closest to point

(0, 3) ?

［電卓使用］放物線

y = x^{2}

上で、点

(0, 3)

に最も近い点はどこか。

Exercises 351–355練習問題 351–355

For the following exercises, set up, but do not evaluate, each optimization problem.

次の最適化問題を立式せよ。最大値・最小値を求める計算までは行わなくてよい。

Exercise 351問題 351

A window is composed of a semicircle placed on top of a rectangle. If you have

20 ft

of window-framing materials for the outer frame, what is the maximum size of the window you can create? Use

r

to represent the radius of the semicircle.

長方形の上に半円を載せた形の窓を作る。外枠に使える材料が

20 ft

のとき、窓の面積を最大にする問題を立式せよ。半円の半径を

r

で表すこと。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

\begin{array}{rcl} A & = & 20 (\frac{20}{π + 4}) - 2 {(\frac{20}{π + 4})}^{2} - \frac{1}{2} π {(\frac{20}{π + 4})}^{2} \\ \approx & 28.004 {ft}^{2} \end{array}

\begin{array}{rcl} A & = & 20 (\frac{20}{π + 4}) - 2 {(\frac{20}{π + 4})}^{2} - \frac{1}{2} π {(\frac{20}{π + 4})}^{2} \\ \approx & 28.004 {ft}^{2} \end{array}

Exercise 352問題 352

You have a garden row of

20

watermelon plants that produce an average of

30

watermelons apiece. For any additional watermelon plants planted, the output per watermelon plant drops by one watermelon. How many extra watermelon plants should you plant?

スイカを

20

株植えており、1株あたり平均

30

個の実がとれる。1株追加するごとに、すべての株の1株あたりの収穫数が1個ずつ減るとする。収穫の合計を最大にするには何株追加すればよいか、問題を立式せよ。

Exercise 353問題 353

You are constructing a box for your cat to sleep in. The plush material for the square bottom of the box costs

$ 5 / {ft}^{2}

and the material for the sides costs

$ 2 / {ft}^{2} .

You need a box with volume

4 {ft}^{3} .

Find the dimensions of the box that minimize cost. Use

x

to represent the length of the side of the box.

猫が寝るための、ふたのない箱を作る。正方形の底面に使う柔らかい素材は

$ 5 / {ft}^{2}

、側面の材料は

$ 2 / {ft}^{2}

である。必要な体積は

4 {ft}^{3}

とする。費用が最小になる箱の寸法を求める問題を立式せよ。底面の一辺を

x

とする。

Solution解き方

C (x) = 5 x^{2} + \frac{32}{x}

Differentiating, setting the derivative equal to zero and solving, we obtain

x = \sqrt[3]{\frac{16}{5}}

and

h = \sqrt[3]{\frac{25}{4}}

C (x) = 5 x^{2} + \frac{32}{x}

。なお、ここから実際に微分し、導関数を0とおいて解くと、

x = \sqrt[3]{\frac{16}{5}}

、

h = \sqrt[3]{\frac{25}{4}}

となる。

Exercise 354問題 354

You are building five identical pens adjacent to each other with a total area of

1000 m^{2},

as shown in the following figure. What dimensions should you use to minimize the amount of fencing?

次の図のように、同じ大きさの囲いを五つ並べて作る。総面積を

1000 m^{2}

とするとき、柵の総延長を最小にする各囲いの寸法を求める問題を立式せよ。

一つの長方形を同じ大きさの五つの区画に分けている。各区画の辺の長さはxとyで、隣り合う区画は柵を共有する。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 355問題 355

You are the manager of an apartment complex with

50

units. When you set rent at

$ 800 / month,

all apartments are rented. As you increase rent by

$ 25 / month,

one fewer apartment is rented. Maintenance costs run

$ 50 / month

for each occupied unit. What is the rent that maximizes the total amount of profit?

50

戸の集合住宅を管理している。家賃を

$ 800 / 月

にすると全戸が借りられるが、家賃を

$ 25 / 月

引き上げるごとに、入居戸数が1戸減る。入居中の各戸には、

$ 50 / 月

の維持費がかかる。総利益を最大にする家賃を求める問題を立式せよ。

Solution解き方

P (x) = (50 - x) (800 + 25 x - 50)

Rent which maximizes profit is

$ 1050

P (x) = (50 - x) (800 + 25 x - 50)

。xは25ドル単位の値上げ回数を表す。利益を最大にする月額家賃は

$ 1050

である。

optimization problems

最適化問題

problems that are solved by finding the maximum or minimum value of a function

関数の最大値または最小値を求めることで解く問題。