第4章微分の応用

Locating Absolute Extrema最大値・最小値を求める

The extreme value theorem states that a continuous function over a closed, bounded interval has an absolute maximum and an absolute minimum. As shown in Figure 4.13, one or both of these absolute extrema could occur at an endpoint. If an absolute extremum does not occur at an endpoint, however, it must occur at an interior point, in which case the absolute extremum is a local extremum. Therefore, by Theorem 4.2, the point

c

at which the local extremum occurs must be a critical point. We summarize this result in the following theorem.

英語のヒント

最大値・最小値の定理によれば、閉じた有界区間上の連続関数には、最大値と最小値がある。図4.13のように、その一方または両方が端点で生じることもある。端点で生じない最大値・最小値は内点で生じ、その点では極値でもある。したがって定理4.2より、その位置

c

は臨界点でなければならない。この結果を次の定理にまとめる。

With this idea in mind, let’s examine a procedure for locating absolute extrema.

この考え方を踏まえて、最大値・最小値を求める手順を確認しよう。

Locating Absolute Extrema over a Closed Interval閉区間上で最大値・最小値を求める手順

Consider a continuous function

f

defined over the closed interval

[a, b] .

閉区間

[a, b]

で定義された連続関数

f

を考える。

Evaluate $f$ at the endpoints $x = a$ and $x = b .$
端点 $x = a$ と $x = b$ における $f$ の値を計算する。
Find all critical points of $f$ that lie over the interval $(a, b)$ and evaluate $f$ at those critical points.
開区間 $(a, b)$ 内にある $f$ のすべての臨界点を求め、それぞれの点で $f$ の値を計算する。
Compare all values found in (1) and (2). From Theorem 4.3, the absolute extrema must occur at endpoints or critical points. Therefore, the largest of these values is the absolute maximum of $f .$ The smallest of these values is the absolute minimum of $f .$
(1)と(2)で求めた値をすべて比較する。定理4.3より、最大値・最小値が生じるのは端点または臨界点である。したがって、求めた値のうち最も大きいものが $f$ の最大値、最も小さいものが $f$ の最小値となる。

Now let’s look at how to use this strategy to find the absolute maximum and absolute minimum values for continuous functions.

この手順を使って、連続関数の最大値と最小値を求める例を見よう。

Example 4.13例題 4.13

Locating Absolute Extrema最大値・最小値を求める

For each of the following functions, find the absolute maximum and absolute minimum over the specified interval and state where those values occur.

次の各関数について、指定された区間上の最大値・最小値を求め、それぞれどの位置で生じるかも答えよ。

$f (x) = − x^{2} + 3 x - 2$ over $[1, 3] .$
区間 $[1, 3]$ における $f (x) = − x^{2} + 3 x - 2$
$f (x) = x^{2} - 3 x^{2 / 3}$ over $[0, 2] .$
区間 $[0, 2]$ における $f (x) = x^{2} - 3 x^{2 / 3}$

Solution解き方

Step 1. Evaluate $f$ at the endpoints $x = 1$ and $x = 3 .$
手順1：端点 $x = 1$ と $x = 3$ で $f$ の値を計算する。

$f (1) = 0 and f (3) = −2$
$f (1) = 0 および f (3) = −2$

Step 2. Since $f' (x) = −2 x + 3,$ $f'$ is defined for all real numbers $x .$ Therefore, there are no critical points where the derivative is undefined. It remains to check where $f' (x) = 0 .$ Since $f' (x) = −2 x + 3 = 0$ at $x = \frac{3}{2}$ and $\frac{3}{2}$ is in the interval $[1, 3],$ $f (\frac{3}{2})$ is a candidate for an absolute extremum of $f$ over $[1, 3] .$ We evaluate $f (\frac{3}{2})$ and find
手順2： $f' (x) = −2 x + 3$ なので、 $f'$ はすべての実数 $x$ で定義される。したがって、導関数が定義されないことによる臨界点はない。残るのは $f' (x) = 0$ となる位置である。 $x = \frac{3}{2}$ で $f' (x) = −2 x + 3 = 0$ となり、 $\frac{3}{2}$ は区間 $[1, 3]$ に含まれるので、 $f (\frac{3}{2})$ は $f$ の $[1, 3]$ 上での最大値・最小値の候補になる。 $f (\frac{3}{2})$ を計算すると、

$f (\frac{3}{2}) = \frac{1}{4} .$
$f (\frac{3}{2}) = \frac{1}{4}$

Step 3. We set up the following table to compare the values found in steps 1 and 2.
手順3：手順1と2で求めた値を、次の表で比較する。

$x$

$f (x)$

Conclusion
結論

$1$

$0$

$\frac{3}{2}$

$\frac{1}{4}$

Absolute maximum
最大値

$3$

$−2$

Absolute minimum
最小値

From the table, we find that the absolute maximum of $f$ over the interval [1, 3] is $\frac{1}{4},$ and it occurs at $x = \frac{3}{2} .$ The absolute minimum of $f$ over the interval [1, 3] is $−2,$ and it occurs at $x = 3$ as shown in the following graph.
表より、区間[1,3]上での $f$ の最大値は $\frac{1}{4}$ で、 $x = \frac{3}{2}$ において生じる。同じ区間上での $f$ の最小値は $−2$ で、 $x = 3$ において生じる。次のグラフにも示した。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.19図 4.19
This function has both an absolute maximum and an absolute minimum.
この関数には最大値と最小値の両方がある。
Step 1. Evaluate $f$ at the endpoints $x = 0$ and $x = 2 .$
手順1：端点 $x = 0$ と $x = 2$ で $f$ の値を計算する。

$f (0) = 0 and f (2) = 4 - 3 \sqrt[3]{4} \approx - 0.762$
$f (0) = 0 および f (2) = 4 - 3 \sqrt[3]{4} \approx - 0.762$

Step 2. The derivative of $f$ is given by
手順2： $f$ の導関数は、

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{1 / 3}} = \frac{2 x^{4 / 3} - 2}{x^{1 / 3}}$

for $x \neq 0 .$ The derivative is zero when $2 x^{4 / 3} - 2 = 0,$ which implies $x = ± 1 .$ The derivative is undefined at $x = 0 .$ Therefore, the critical points of $f$ are $x = 0, 1, −1 .$ The point $x = 0$ is an endpoint, so we already evaluated $f (0)$ in step 1. The point $x = −1$ is not in the interval of interest, so we need only evaluate $f (1) .$ We find that
ただし、上式は $x \neq 0$ で成り立つ。導関数が0になるのは $2 x^{4 / 3} - 2 = 0$ のとき、すなわち $x = ± 1$ のときである。また、 $x = 0$ では導関数が定義されない。したがって、 $f$ の臨界点は $x = 0, 1, −1$ である。 $x = 0$ は端点でもあるため、 $f (0)$ は手順1ですでに計算した。 $x = −1$ は対象の区間に含まれないので、残りは $f (1)$ だけを計算すればよい。その値は、

$f (1) = −2 .$
$f (1) = −2$

Step 3. We compare the values found in steps 1 and 2, in the following table.
手順3：手順1と2で求めた値を、次の表で比較する。

$x$

$f (x)$

Conclusion
結論

$0$

$0$

Absolute maximum
最大値

$1$

$−2$

Absolute minimum
最小値

$2$

$−0.762$

We conclude that the absolute maximum of $f$ over the interval [0, 2] is zero, and it occurs at $x = 0 .$ The absolute minimum is −2, and it occurs at $x = 1$ as shown in the following graph.
区間[0,2]上での $f$ の最大値は0で、 $x = 0$ において生じる。最小値は−2で、 $x = 1$ において生じる。次のグラフを参照。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.20図 4.20
This function has an absolute maximum at an endpoint of the interval.
この関数は、区間の端点で最大値をとる。

$x$	$f (x)$	Conclusion 結論
$1$	$0$
$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{4}$	Absolute maximum 最大値
$3$	$−2$	Absolute minimum 最小値

$x$	$f (x)$	Conclusion 結論
$0$	$0$	Absolute maximum 最大値
$1$	$−2$	Absolute minimum 最小値
$2$	$−0.762$

At this point, we know how to locate absolute extrema for continuous functions over closed intervals. We have also defined local extrema and determined that if a function

f

has a local extremum at a point

c,

then

c

must be a critical point of

f .

However,

c

being a critical point is not a sufficient condition for

f

to have a local extremum at

c .

Later in this chapter, we show how to determine whether a function actually has a local extremum at a critical point. First, however, we need to introduce the Mean Value Theorem, which will help as we analyze the behavior of the graph of a function.

英語のヒント

ここまでで、閉区間上の連続関数について、最大値・最小値を求める方法を学んだ。また極大値・極小値を定義し、関数

f

が点

c

で極値をとるならば、

c

は

f

の臨界点でなければならないことを確認した。しかし、

c

が臨界点であることだけでは、

f

が

c

で極値をとるための十分条件にはならない。臨界点で本当に極値をとるかどうかを判定する方法は、この章の後半で扱う。その前に、関数のグラフの振る舞いを解析する際に役立つ、平均値の定理を導入しよう。