第4章微分の応用

Local Extrema and Critical Points極大値・極小値と臨界点

Consider the function

f

shown in Figure 4.14. The graph can be described as two mountains with a valley in the middle. The absolute maximum value of the function occurs at the higher peak, at

x = 2 .

However,

x = 0

is also a point of interest. Although

f (0)

is not the largest value of

f,

the value

f (0)

is larger than

f (x)

for all

x

near 0. We say

f

has a local maximum at

x = 0 .

Similarly, the function

f

does not have an absolute minimum, but it does have a local minimum at

x = 1

because

f (1)

is less than

f (x)

for

x

near 1.

図4.14の関数

f

を考える。二つの山があり、その間に谷がある形をしている。関数の最大値は、高いほうの山頂、

x = 2

で生じる。もう一つ、

x = 0

にも注目したい。

f (0)

は

f

全体の最大値ではないが、0に近いすべての

x

に対して、

f (0)

は

f (x)

以上である。このようなとき、

f

は

x = 0

で極大値（local maximum）をとるという。同様に、関数

f

には最小値はないが、

x = 1

で極小値（local minimum）をとる。1に近い

x

に対して、

f (1)

が

f (x)

以下だからである。

関数f(x)のグラフ。第3象限から増加してy軸上で極大値をとり、第1象限のx=1で極小値をとるまで減少する。その後、x=2のより高い頂点まで増加し、鋭い山頂を経て第4象限へ急速に減少する。 — Figure 4.14図 4.14
This function $f$ has two local maxima and one local minimum. The local maximum at $x = 2$ is also the absolute maximum.
関数 $f$ には二つの極大値と一つの極小値がある。 $x = 2$ での極大値は、関数全体の最大値でもある。

Definition定義

A function

f

has a local maximum at

c

if there exists an open interval

I

containing

c

such that

I

is contained in the domain of

f

and

f (c) \geq f (x)

for all

x \in I .

A function

f

has a local minimum at

c

if there exists an open interval

I

containing

c

such that

I

is contained in the domain of

f

and

f (c) \leq f (x)

for all

x \in I .

A function

f

has a local extremum at

c

f

has a local maximum at

c

f

has a local minimum at

c .

c

を含む開区間

I

が存在し、

I

が

f

の定義域に含まれ、すべての

x \in I

に対して

f (c) \geq f (x)

が成り立つとする。このとき、関数

f

は

c

で極大値をとるという。

c

を含む開区間

I

が存在し、

I

が

f

の定義域に含まれ、すべての

x \in I

に対して

f (c) \leq f (x)

が成り立つとする。このとき、関数

f

は

c

で極小値をとるという。

f

が

c

で極大値をとる場合、または

f

が

c

で極小値をとる場合、関数

f

は

c

で極値（local extremum）をとるという。

Note that if

f

has an absolute extremum at

c

and

f

is defined over an interval containing

c,

then

f (c)

is also considered a local extremum. If an absolute extremum for a function

f

occurs at an endpoint, we do not consider that to be a local extremum, but instead refer to that as an endpoint extremum.

f

が

c

で最大値または最小値をとり、

f

が

c

を含む開区間で定義されていれば、

f (c)

は極値でもある。関数

f

の最大値・最小値が区間の端点で生じる場合、本書ではそれを極値に含めず、端点での最大値・最小値として区別する。

Given the graph of a function

f,

it is sometimes easy to see where a local maximum or local minimum occurs. However, it is not always easy to see, since the interesting features on the graph of a function may not be visible because they occur at a very small scale. Also, we may not have a graph of the function. In these cases, how can we use a formula for a function to determine where these extrema occur?

英語のヒント

関数

f

のグラフがあれば、極大・極小の位置を簡単に読み取れることもある。しかし、注目すべき変化が非常に小さい範囲で起こり、グラフでは見えない場合もある。そもそもグラフが手元にないかもしれない。そのようなとき、関数の式から、極大値・極小値をとる位置をどのように求めればよいだろうか。

To answer this question, let’s look at Figure 4.14 again. The local extrema occur at

x = 0,

x = 1,

and

x = 2 .

Notice that at

x = 0

and

x = 1,

the derivative

f' (x) = 0 .

x = 2,

the derivative

f' (x)

does not exist, since the function

f

has a corner there. In fact, if

f

has a local extremum at a point

x = c,

the derivative

f' (c)

must satisfy one of the following conditions: either

f' (c) = 0

f' (c)

is undefined. Such a value

c

is known as a critical point and it is important in finding extreme values for functions.

図4.14をもう一度見よう。極値をとる位置は

x = 0

、

x = 1

、

x = 2

である。

x = 0

と

x = 1

では、導関数の値は

f' (x) = 0

となる。

x = 2

では関数

f

に角があるため、導関数

f' (x)

は存在しない。実際、

f

が

x = c

で極値をとるなら、導関数

f' (c)

は、

f' (c) = 0

であるか、

f' (c)

が定義されないかのいずれかである。このような値

c

を臨界点と呼び、関数の最大・最小や極値を求める際の重要な候補となる。

As mentioned earlier, if

f

has a local extremum at a point

x = c,

then

c

must be a critical point of

f .

This fact is known as Fermat’s theorem.

先に述べたように、

f

が

x = c

で極値をとるならば、

c

は

f

の臨界点でなければならない。この事実のもとになるのがフェルマーの定理である。

Proof証明

Suppose

f

has a local extremum at

c

and

f

is differentiable at

c .

We need to show that

f' (c) = 0 .

To do this, we will show that

f' (c) \geq 0

and

f' (c) \leq 0,

and therefore

f' (c) = 0 .

Since

f

has a local extremum at

c,

f

has a local maximum or local minimum at

c .

Suppose

f

has a local maximum at

c .

The case in which

f

has a local minimum at

c

can be handled similarly. There then exists an open interval

I

such that

f (c) \geq f (x)

for all

x \in I .

Since

f

is differentiable at

c,

from the definition of the derivative, we know that

f

が

c

で極値をとり、

f

が

c

で微分可能であると仮定する。示すべきことは

f' (c) = 0

である。

f' (c) \geq 0

と

f' (c) \leq 0

の両方を示せば、

f' (c) = 0

が従う。

f

は

c

で極値をとるので、

f

は

c

で極大値または極小値をとる。まず、

f

が

c

で極大値をとる場合を考えよう。

f

が

c

で極小値をとる場合も同様に扱える。このとき、cを含む開区間

I

が存在し、すべての

x \in I

に対して

f (c) \geq f (x)

が成り立つ。

f

は

c

で微分可能なので、導関数の定義より、次式が成り立つ。

f' (c) = lim_{x \to c} \frac{f (x) - f (c)}{x - c} .

f' (c) = lim_{x \to c} \frac{f (x) - f (c)}{x - c}

Since this limit exists, both one-sided limits also exist and equal

f' (c) .

Therefore,

この極限が存在するので、左右の片側極限もどちらも存在し、

f' (c)

に等しい。したがって、

f' (c) = lim_{x \to c^{+}} \frac{f (x) - f (c)}{x - c},

f' (c) = lim_{x \to c^{+}} \frac{f (x) - f (c)}{x - c}

(4.4)

and

また、

f' (c) = lim_{x \to c^{-}} \frac{f (x) - f (c)}{x - c} .

f' (c) = lim_{x \to c^{-}} \frac{f (x) - f (c)}{x - c}

(4.5)

Since

f (c)

is a local maximum, we see that

f (x) - f (c) \leq 0

for

x

near

c .

Therefore, for

x

near

c,

but

x > c,

we have

\frac{f (x) - f (c)}{x - c} \leq 0 .

From Equation 4.4 we conclude that

f' (c) \leq 0 .

Similarly, it can be shown that

f' (c) \geq 0 .

Therefore,

f' (c) = 0 .

f (c)

は極大値なので、

c

に近い

x

に対して

f (x) - f (c) \leq 0

となる。よって、

c

に近く、かつ

x > c

を満たす

x

について、

\frac{f (x) - f (c)}{x - c} \leq 0

である。式4.4から、

f' (c) \leq 0

が従う。同様に、左側から近づけると

f' (c) \geq 0

を示せる。以上から、

f' (c) = 0

である。

□

From Fermat’s theorem, we conclude that if

f

has a local extremum at

c,

then either

f' (c) = 0

f' (c)

is undefined. In other words, local extrema can only occur at critical points.

フェルマーの定理から、

f

が

c

で極値をとるなら、

f' (c) = 0

であるか、

f' (c)

が定義されないかのいずれかであると分かる。つまり、極値が生じうるのは臨界点だけである。

Note this theorem does not claim that a function

f

must have a local extremum at a critical point. Rather, it states that critical points are candidates for local extrema. For example, consider the function

f (x) = x^{3} .

We have

f' (x) = 3 x^{2} = 0

when

x = 0 .

Therefore,

x = 0

is a critical point. However,

f (x) = x^{3}

is increasing over

(− \infty, \infty),

and thus

f

does not have a local extremum at

x = 0 .

In Figure 4.15, we see several different possibilities for critical points. In some of these cases, the functions have local extrema at critical points, whereas in other cases the functions do not. Note that these graphs do not show all possibilities for the behavior of a function at a critical point.

英語のヒント

この定理は、関数

f

が臨界点で必ず極値をとる、と主張しているわけではない。臨界点は、極値をとる位置の候補なのである。例えば

f (x) = x^{3}

を考える。

x = 0

で

f' (x) = 3 x^{2} = 0

となるので、

x = 0

は臨界点である。しかし、

f (x) = x^{3}

は

(− \infty, \infty)

全体で増加しているため、

f

は

x = 0

で極値をとらない。図4.15には、臨界点での関数の振る舞いをいくつか示した。臨界点で極値をとる場合もあれば、とらない場合もある。なお、この図がすべての可能性を尽くしているわけではない。

臨界点の五つの例。(a) 山頂で水平な接線をもち、f′(c)=0となる極大。(b) 尖った山頂で極大となり、f′(c)は存在しない。山頂の関数値は有限であり、垂直漸近線ではない。(c) V字の底で極小となり、f′(c)は存在しない。(d) x³型の増加曲線が(c,f(c))で水平な接線をもつ。f′(c)=0だが、極値はない。(e) xの立方根型の増加曲線が(c,f(c))で垂直な接線をもつ。f′(c)は存在しないが、極値はない。 — Figure 4.15図 4.15
(a–e) A function $f$ has a critical point at $c$ if $f' (c) = 0$ or $f' (c)$ is undefined. A function may or may not have a local extremum at a critical point.
(a)〜(e)： $f' (c) = 0$ であるか、 $f' (c)$ が定義されないとき、関数 $f$ は $c$ に臨界点をもつ。臨界点で極値をとる場合も、とらない場合もある。

Later in this chapter we look at analytical methods for determining whether a function actually has a local extremum at a critical point. For now, let’s turn our attention to finding critical points. We will use graphical observations to determine whether a critical point is associated with a local extremum.

臨界点で実際に極値をとるかどうかを、計算で判定する方法は、この章の後半で学ぶ。まずは臨界点を求めることに集中し、極値があるかどうかはグラフを見て判断しよう。

Example 4.12例題 4.12

Locating Critical Points臨界点を求める

For each of the following functions, find all critical points. Use a graphing utility to determine whether the function has a local extremum at each of the critical points.

次の各関数について、すべての臨界点を求めよ。グラフ作成ツールを使い、それぞれの臨界点で関数が極値をとるかどうかを調べよ。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x$
$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x$
$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$
$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$
$f (x) = \frac{4 x}{1 + x^{2}}$
$f (x) = \frac{4 x}{1 + x^{2}}$

Solution解き方

The derivative $f' (x) = x^{2} - 5 x + 4$ is defined for all real numbers $x .$ Therefore, we only need to find the values for $x$ where $f' (x) = 0 .$ Since $f' (x) = x^{2} - 5 x + 4 = (x - 4) (x - 1),$ the critical points are $x = 1$ and $x = 4 .$ From the graph of $f$ in Figure 4.16, we see that $f$ has a local maximum at $x = 1$ and a local minimum at $x = 4 .$
導関数 $f' (x) = x^{2} - 5 x + 4$ は、すべての実数 $x$ で定義されている。したがって、 $f' (x) = 0$ を満たす $x$ だけを求めればよい。 $f' (x) = x^{2} - 5 x + 4 = (x - 4) (x - 1)$ なので、臨界点は $x = 1$ と $x = 4$ である。図4.16の $f$ のグラフを見ると、 $f$ は $x = 1$ で極大値、 $x = 4$ で極小値をとる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.16図 4.16
This function has a local maximum and a local minimum.
この関数には、極大値と極小値が一つずつある。
Using the chain rule, we see the derivative is
連鎖律を用いると、導関数は次のようになる。

$f' (x) = 3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2} .$
$f' (x) = 3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Therefore, $f$ has critical points when $x = 0$ and when $x^{2} - 1 = 0 .$ We conclude that the critical points are $x = 0, ± 1 .$ From the graph of $f$ in Figure 4.17, we see that $f$ has a local (and absolute) minimum at $x = 0,$ but does not have a local extremum at $x = 1$ or $x = −1 .$
したがって、 $f$ の臨界点は、 $x = 0$ のとき、および $x^{2} - 1 = 0$ のときに生じる。よって、臨界点は $x = 0, ± 1$ である。図4.17の $f$ のグラフから、 $f$ は $x = 0$ で極小値をとり、それが最小値でもある。一方、 $x = 1$ と $x = −1$ では極値をとらない。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.17図 4.17
This function has three critical points: $x = 0,$ $x = 1,$ and $x = −1 .$ The function has a local (and absolute) minimum at $x = 0,$ but does not have extrema at the other two critical points.
この関数の臨界点は、 $x = 0$ 、 $x = 1$ 、 $x = −1$ の三つである。 $x = 0$ で極小値をとり、それが最小値でもあるが、残る二つの臨界点では極値をとらない。
By the quotient rule, we see that the derivative is
商の微分法則から、導関数は次のようになる。

$f' (x) = \frac{(1 + x^{2}) (4) - 4 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{4 - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} .$
$f' (x) = \frac{(1 + x^{2}) (4) - 4 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{4 - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

The derivative is defined everywhere. Therefore, we only need to find values for $x$ where $f' (x) = 0 .$ Solving $f' (x) = 0,$ we see that $4 - 4 x^{2} = 0,$ which implies $x = ± 1 .$ Therefore, the critical points are $x = ± 1 .$ From the graph of $f$ in Figure 4.18, we see that $f$ has an absolute maximum at $x = 1$ and an absolute minimum at $x = −1 .$ Hence, $f$ has a local maximum at $x = 1$ and a local minimum at $x = −1 .$ (Note that if $f$ has an absolute extremum over an interval $I$ at a point $c$ that is not an endpoint of $I,$ then $f$ has a local extremum at $c .)$
導関数はすべての実数で定義される。したがって、 $f' (x) = 0$ を満たす $x$ だけを求めればよい。 $f' (x) = 0$ を解くと $4 - 4 x^{2} = 0$ となり、 $x = ± 1$ を得る。よって、臨界点は $x = ± 1$ である。図4.18の $f$ のグラフから、 $f$ は $x = 1$ で最大値、 $x = −1$ で最小値をとる。したがって、 $f$ は $x = 1$ で極大値、 $x = −1$ で極小値もとる。なお、 $f$ が区間 $I$ 上で、 $I$ の端点ではない点 $c$ において最大値または最小値をとるなら、 $f$ は $c$ で極値もとる。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Figure 4.18図 4.18
This function has an absolute maximum and an absolute minimum.
この関数には最大値と最小値がある。