第4章微分の応用

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph4.5　導関数とグラフの形

Learning Objectives学習目標

Explain how the sign of the first derivative affects the shape of a function’s graph.
第1次導関数の符号とグラフの形の関係を説明できる。
State the first derivative test for critical points.
臨界点における第1次導関数の判定法を述べられる。
Use concavity and inflection points to explain how the sign of the second derivative affects the shape of a function’s graph.
凹凸と変曲点を用い、第2次導関数の符号とグラフの形の関係を説明できる。
Explain the concavity test for a function over an open interval.
開区間上の関数の凹凸を判定する方法を説明できる。
Explain the relationship between a function and its first and second derivatives.
関数と、その第1次・第2次導関数の関係を説明できる。
State the second derivative test for local extrema.
第2次導関数による極値の判定法を述べられる。

Earlier in this chapter we stated that if a function

f

has a local extremum at a point

c,

then

c

must be a critical point of

f .

However, a function is not guaranteed to have a local extremum at a critical point. For example,

f (x) = x^{3}

has a critical point at

x = 0

since

f' (x) = 3 x^{2}

is zero at

x = 0,

but

f

does not have a local extremum at

x = 0 .

Using the results from the previous section, we are now able to determine whether a critical point of a function actually corresponds to a local extreme value. In this section, we also see how the second derivative provides information about the shape of a graph by describing whether the graph of a function curves upward or curves downward.

英語のヒント

この章の前半で、関数

f

が点

c

で極値をとるなら、

c

は

f

の臨界点であると述べた。しかし、臨界点で必ず極値をとるとは限らない。例えば、

f (x) = x^{3}

は

x = 0

に臨界点をもつ。

f' (x) = 3 x^{2}

が

x = 0

で0になるからである。それでも、

f

は

x = 0

で極値をとらない。前節の結果を使えば、臨界点が実際に極値をとる位置なのかを判定できる。また、この節では第2次導関数も使い、曲線がどちらに曲がるか、すなわちグラフの上に凸・下に凸という形を調べる。

The First Derivative Test第1次導関数による判定

Corollary

3

of the Mean Value Theorem showed that if the derivative of a function is positive over an interval

I

then the function is increasing over

I .

On the other hand, if the derivative of the function is negative over an interval

I,

then the function is decreasing over

I

as shown in the following figure.

平均値の定理の系

3

では、区間

I

上で導関数が正なら、関数は

I

上で増加すると示した。一方、区間

I

上で導関数が負なら、関数は

I

上で減少する。次の図に示す。

四つの曲線と、その途中の接線。(a)、(b)は(a,f(a))から(b,f(b))へ増加し、曲がり方は異なるが接線の傾きはどちらも正、すなわちf′>0。(c)、(d)は同様に端点間で減少し、曲がり方は異なるが接線の傾きはどちらも負、すなわちf′<0。 — Figure 4.30図 4.30
Both functions are increasing over the interval $(a, b) .$ At each point $x,$ the derivative $f' (x) > 0 .$ Both functions are decreasing over the interval $(a, b) .$ At each point $x,$ the derivative $f' (x) < 0 .$
(a)、(b)の二つの関数は区間 $(a, b)$ 上で増加し、各点 $x$ で $f' (x) > 0$ となる。(c)、(d)の二つの関数は区間 $(a, b)$ 上で減少し、各点 $x$ で $f' (x) < 0$ となる。

A continuous function

f

has a local maximum at point

c

if and only if

f

switches from increasing to decreasing at point

c .

Similarly,

f

has a local minimum at

c

if and only if

f

switches from decreasing to increasing at

c .

f

is a continuous function over an interval

I

containing

c

and differentiable over

I,

except possibly at

c,

the only way

f

can switch from increasing to decreasing (or vice versa) at point

c

is if

f^{'}

changes sign as

x

increases through

c .

f

is differentiable at

c,

the only way that

f^{'} .

can change sign as

x

increases through

c

is if

f^{'} (c) = 0 .

Therefore, for a function

f

that is continuous over an interval

I

containing

c

and differentiable over

I,

except possibly at

c,

the only way

f

can switch from increasing to decreasing (or vice versa) is if

f' (c) = 0

f^{'} (c)

is undefined. Consequently, to locate local extrema for a function

f,

we look for points

c

in the domain of

f

such that

f' (c) = 0

f^{'} (c)

is undefined. Recall that such points are called critical points of

f .

英語のヒント

まず、注目する点の左右で増減がそれぞれ一定となる場合を考える。連続関数

f

が点

c

で極大値をとるのは、

f

が点

c

で増加から減少に切り替わるときである。同様に、

f

が

c

で極小値をとるのは、

f

が

c

で減少から増加に切り替わるときである。

f

が

c

を含む区間

I

上で連続であり、

c

を除いて

I

上で微分可能であるとする。

f

が点

c

で増加から減少へ、または減少から増加へ切り替わることは、

x

が

c

を左から右へ通過するとき、

f^{'}

の符号が切り替わることに対応する。

f

が

c

で微分可能なら、

x

が

c

を通過するときに

f^{'}

が符号を変えるには、

f^{'} (c) = 0

でなければならない。したがって、

c

を含む区間

I

上で連続で、

c

を除いて

I

上で微分可能な関数

f

について、

f

の増減が切り替わる候補は、

f' (c) = 0

となる点、または

f^{'} (c)

が定義されない点である。よって、関数

f

の極値を探すには、

f

の定義域内で、

f' (c) = 0

となるか

f^{'} (c)

が定義されない点

c

を求める。このような点を、

f

の臨界点と呼ぶのだった。

Note that

f

need not have local extrema at a critical point. The critical points are candidates for local extrema only. In Figure 4.31, we show that if a continuous function

f

has a local extremum, it must occur at a critical point, but a function may not have a local extremum at a critical point. We show that if

f

has a local extremum at a critical point, then the sign of

f^{'}

switches as

x

increases through that point.

f

は、臨界点で必ず極値をとるわけではない。臨界点はあくまで候補である。図4.31では、連続関数

f

の極値は臨界点で生じるが、臨界点のすべてが極値をとる位置ではないことが分かる。この図で

f

が極値をとる各臨界点では、

x

がその点を左から右に通過すると、

f^{'}

の符号が切り替わっている。

関数f(x)はaまで増加し、aに尖った極大をもち、f′(a)は存在しない。aからbまでは減少し、bでf′(b)=0となって極小をとる。bからcを経てdまでは増加する。cではf′(c)=0だが極値にはならない。dではf′(d)=0となり、極大かつ最大となる。dより右では減少し、f′<0となる。 — Figure 4.31図 4.31
The function $f$ has four critical points: $a, b, c, and d .$ The function $f$ has local maxima at $a$ and $d,$ and a local minimum at $b .$ The function $f$ does not have a local extremum at $c .$ The sign of $f'$ changes at all local extrema.
関数 $f$ には四つの臨界点 $a, b, c, 、 d$ がある。 $f$ は $a$ と $d$ で極大値、 $b$ で極小値をとる。 $f$ は $c$ では極値をとらない。この図の極大・極小の位置では、いずれも $f'$ の符号が切り替わる。

Using Figure 4.31, we summarize the main results regarding local extrema.

図4.31を使って、極大・極小の判定を整理しよう。

If a continuous function $f$ has a local extremum, it must occur at a critical point $c .$
連続関数 $f$ が極値をとる位置は、必ず臨界点 $c$ である。
The function has a local extremum at the critical point $c$ if and only if the derivative $f^{'}$ switches sign as $x$ increases through $c .$
左右の小区間で導関数の符号がそれぞれ一定で0でない場合、臨界点 $c$ で極値をとるのは、 $x$ が $c$ を通過するときに $f^{'}$ の符号が切り替わる場合である。
Therefore, to test whether a function has a local extremum at a critical point $c,$ we must determine the sign of $f^{'} (x)$ to the left and right of $c .$
したがって、臨界点 $c$ で極値をとるかを判定するには、 $c$ の左側と右側で $f^{'} (x)$ の符号を調べる。

This result is known as the first derivative test.

これを第1次導関数による判定と呼ぶ。

Theorem 4.9定理 4.9

First Derivative Test第1次導関数による判定

Suppose that

f

is a continuous function over an interval

I

containing a critical point

c .

f

is differentiable over

I,

except possibly at point

c,

then

f (c)

satisfies one of the following descriptions:

f

が臨界点

c

を含む区間

I

上で連続であるとする。

f

が点

c

を除いて

I

上で微分可能なら、その点の左右の小区間における導関数の符号から、

f (c)

について次の判定ができる。

If $f^{'}$ changes sign from positive when $x < c$ to negative when $x > c,$ then $f (c)$ is a local maximum of $f .$
$f^{'}$ の符号が、 $x < c$ で正、 $x > c$ で負へと変わるなら、 $f (c)$ は $f$ の極大値である。
If $f^{'}$ changes sign from negative when $x < c$ to positive when $x > c,$ then $f (c)$ is a local minimum of $f .$
$f^{'}$ の符号が、 $x < c$ で負、 $x > c$ で正へと変わるなら、 $f (c)$ は $f$ の極小値である。
If $f'$ has the same sign for $x < c$ and $x > c,$ then $f (c)$ is neither a local maximum nor a local minimum of $f .$
$f'$ が $x < c$ と $x > c$ の両側で同じ正負の符号を保つなら、 $f (c)$ は $f$ の極大値でも極小値でもない。

We can summarize the first derivative test as a strategy for locating local extrema.

第1次導関数による判定を、極値をとる位置を探す手順としてまとめよう。

Using the First Derivative Test第1次導関数による判定の手順

Consider a function

f

that is continuous over an interval

I .

区間

I

上で連続な関数

f

を考える。

Find all critical points of $f$ and divide the interval $I$ into smaller intervals using the critical points as endpoints.
$f$ の臨界点をすべて求め、それらを境界として区間 $I$ を小区間に分ける。
Analyze the sign of $f'$ in each of the subintervals. If $f'$ is continuous over a given subinterval (which is typically the case), then the sign of $f'$ in that subinterval does not change and, therefore, can be determined by choosing an arbitrary test point $x$ in that subinterval and by evaluating the sign of $f'$ at that test point. Use the sign analysis to determine whether $f$ is increasing or decreasing over that interval.
Note: If $f'$ is not continuous throughout $I$ , then include points of discontinuity along with critical points as endpoints when dividing $I$ into subintervals.
各小区間で $f'$ の符号を調べる。 $f'$ が小区間内で連続であれば、途中に臨界点がないので、その小区間内で $f'$ の符号は変わらない。通常の例題ではこの条件を満たす。そのため、小区間の内部から任意の試験点 $x$ を一つ選び、その点での $f'$ の符号を求めればよい。符号から、 $f$ がその区間で増加するか減少するかを判断する。注意： $f'$ が $I$ 全体で連続でない場合、 $I$ を小区間に分ける際には、臨界点だけでなく導関数の不連続点も区切りに加える。
Use Theorem 4.9 and the results of step $2$ to determine whether $f$ has a local maximum, a local minimum, or neither at each of the critical points.
定理4.9と手順 $2$ の結果を使い、それぞれの臨界点で $f$ が極大値、極小値、またはどちらもとらないかを判定する。

Now let’s look at how to use this strategy to locate all local extrema for particular functions.

この手順で、具体的な関数の極値をとる位置をすべて求めよう。

Example 4.17例題 4.17

Using the First Derivative Test to Find Local Extrema第1次導関数を用いて極値を求める

Use the first derivative test to find the location of all local extrema for

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 1 .

Use a graphing utility to confirm your results.

第1次導関数による判定を用い、

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 1

が極値をとる位置をすべて求めよ。グラフ作成ツールで結果を確認せよ。

Solution解き方

Step 1. The derivative is

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 .

To find the critical points, we need to find where

f^{'} (x) = 0 .

Factoring the polynomial, we conclude that the critical points must satisfy

手順1：導関数は

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9

である。臨界点を求めるには、

f^{'} (x) = 0

となる位置を探せばよい。因数分解すると、臨界点は次式を満たす。

3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1) = 0 .

3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1) = 0

Therefore, the critical points are

x = 3, −1 .

Now divide the interval

(− \infty, \infty)

into the smaller intervals

(− \infty, −1), (−1, 3) and (3, \infty) .

したがって、臨界点は

x = 3, −1

である。区間

(− \infty, \infty)

を、小区間

(− \infty, −1), (−1, 3) 、 (3, \infty)

に分ける。

Step 2. Since

f'

is a continuous function, to determine the sign of

f^{'} (x)

over each subinterval, it suffices to choose a point over each of the intervals

(− \infty, −1), (−1, 3) and (3, \infty)

and determine the sign of

f^{'}

at each of these points. For example, let’s choose

x = −2, x = 0, and x = 4

as test points.

英語のヒント

手順2：

f'

は連続なので、各小区間での

f^{'} (x)

の符号を調べるには、

(− \infty, −1), (−1, 3) 、 (3, \infty)

のそれぞれから一点を選び、その点での

f^{'}

の符号を求めれば十分である。例えば、試験点として

x = −2, x = 0, 、 x = 4

を選ぼう。

Interval 区間	Test Point 調べる点	Sign of $f^{'} (x) = 3 (x - 3) (x + 1)$ at Test Point 調べる点での $f^{'} (x) = 3 (x - 3) (x + 1)$ の符号	Conclusion 結論
$(− \infty, −1)$	$x = −2$	$(+) (−) (−) = +$	$f$ is increasing. $f$ は増加している。
$(−1, 3)$	$x = 0$	$(+) (−) (+) = −$	$f$ is decreasing. $f$ は減少している。
$(3, \infty)$	$x = 4$	$(+) (+) (+) = +$	$f$ is increasing. $f$ は増加している。

Step 3. Since

f^{'}

switches sign from positive to negative as

x

increases through

–1, f

has a local maximum at

x = −1 .

Since

f^{'}

switches sign from negative to positive as

x

increases through

3, f

has a local minimum at

x = 3 .

These analytical results agree with the following graph.

手順3：

x

が

- 1

を左から右へ通過すると、

f^{'}

の符号は正から負に変わる。したがって、fは

x = −1

で極大値をとる。同様に、

x

が

3

を通過すると、

f^{'}

の符号は負から正に変わるため、fは

x = 3

で極小値をとる。計算による結果は、次のグラフとも一致する。

f(x)=x³−3x²−9x−1のグラフ。x=−1まで増加し、そこで極大となる。x=3まで減少し、そこで極小となった後、再び増加する。 — Figure 4.32図 4.32
The function $f$ has a maximum at $x = −1$ and a minimum at $x = 3$
関数 $f$ は $x = −1$ で極大値、 $x = 3$ で極小値をとる。

Example 4.18例題 4.18

Using the First Derivative Test第1次導関数による判定

Use the first derivative test to find the location of all local extrema for

f (x) = 5 x^{1 / 3} - x^{5 / 3} .

Use a graphing utility to confirm your results.

第1次導関数による判定を用い、

f (x) = 5 x^{1 / 3} - x^{5 / 3}

が極値をとる位置をすべて求めよ。グラフ作成ツールで結果を確認せよ。

Solution解き方

Step 1. The derivative is

手順1：導関数は、

f^{'} (x) = \frac{5}{3} x^{−2 / 3} - \frac{5}{3} x^{2 / 3} = \frac{5}{3 x^{2 / 3}} - \frac{5 x^{2 / 3}}{3} = \frac{5 - 5 x^{4 / 3}}{3 x^{2 / 3}} = \frac{5 (1 - x^{4 / 3})}{3 x^{2 / 3}} .

f^{'} (x) = \frac{5}{3} x^{−2 / 3} - \frac{5}{3} x^{2 / 3} = \frac{5}{3 x^{2 / 3}} - \frac{5 x^{2 / 3}}{3} = \frac{5 - 5 x^{4 / 3}}{3 x^{2 / 3}} = \frac{5 (1 - x^{4 / 3})}{3 x^{2 / 3}}

The derivative

f^{'} (x) = 0

when

1 - x^{4 / 3} = 0 .

Therefore,

f^{'} (x) = 0

x = ± 1 .

The derivative

f^{'} (x)

is undefined at

x = 0 .

Therefore, we have three critical points:

x = 0,

x = 1,

and

x = −1 .

Consequently, divide the interval

(− \infty, \infty)

into the smaller intervals

(− \infty, −1), (−1, 0), (0, 1),

and

(1, \infty) .

1 - x^{4 / 3} = 0

のとき、導関数は

f^{'} (x) = 0

となる。よって、

x = ± 1

で

f^{'} (x) = 0

である。また、

f^{'} (x)

は

x = 0

で定義されない。したがって、臨界点は

x = 0

、

x = 1

、

x = −1

の三つである。区間

(− \infty, \infty)

を、小区間

(− \infty, −1), (−1, 0), (0, 1)

、

(1, \infty)

に分ける。

Step 2: Since

f^{'}

is continuous over each subinterval, it suffices to choose a test point

x

in each of the intervals from step

1

and determine the sign of

f^{'}

at each of these points. The points

x = −2, x = - \frac{1}{2}, x = \frac{1}{2}, and x = 2

are test points for these intervals.

手順2：

f^{'}

は各小区間で連続なので、手順

1

で得た各区間から試験点

x

を一つ選び、その点の

f^{'}

の符号を求めればよい。ここでは、各区間の試験点として

x = −2, x = - \frac{1}{2}, x = \frac{1}{2}, 、 x = 2

を選ぶ。

Interval 区間	Test Point 調べる点	Sign of $f^{'} (x) = \frac{5 (1 - x^{4 / 3})}{3 x^{2 / 3}}$ at Test Point 調べる点での $f^{'} (x) = \frac{5 (1 - x^{4 / 3})}{3 x^{2 / 3}}$ の符号	Conclusion 結論
$(− \infty, −1)$	$x = −2$	$\frac{(+) (−)}{+} = −$	$f$ is decreasing. $f$ は減少している。
$(−1, 0)$	$x = - \frac{1}{2}$	$\frac{(+) (+)}{+} = +$	$f$ is increasing. $f$ は増加している。
$(0, 1)$	$x = \frac{1}{2}$	$\frac{(+) (+)}{+} = +$	$f$ is increasing. $f$ は増加している。
$(1, \infty)$	$x = 2$	$\frac{(+) (−)}{+} = −$	$f$ is decreasing. $f$ は減少している。

Step 3: Since

f

is decreasing over the interval

(− \infty, −1)

and increasing over the interval

(−1, 0),

f

has a local minimum at

x = −1 .

Since

f

is increasing over the interval

(−1, 0)

and the interval

(0, 1),

f

does not have a local extremum at

x = 0 .

Since

f

is increasing over the interval

(0, 1)

and decreasing over the interval

(1, \infty), f

has a local maximum at

x = 1 .

The analytical results agree with the following graph.

手順3：

f

は区間

(− \infty, −1)

で減少し、区間

(−1, 0)

で増加する。したがって、

f

は

x = −1

で極小値をとる。

f

は区間

(−1, 0)

と

(0, 1)

の両方で増加するため、

f

は

x = 0

で極値をとらない。

f

は区間

(0, 1)

で増加し、区間

(1, \infty)

で減少する。よって、fは

x = 1

で極大値をとる。これらの計算結果は次のグラフとも一致する。

f(x)=5x^(1/3)−x^(5/3)のグラフ。x=−1まで減少して極小となり、x=1まで増加して極大となった後、再び減少する。 — Figure 4.33図 4.33
The function f has a local minimum at $x = −1$ and a local maximum at $x = 1 .$
関数fは $x = −1$ で極小値、 $x = 1$ で極大値をとる。

第4章微分の応用

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph4.5 導関数とグラフの形

Learning Objectives学習目標

The First Derivative Test第1次導関数による判定

Using the First Derivative Test to Find Local Extrema第1次導関数を用いて極値を求める

Using the First Derivative Test第1次導関数による判定

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