第3章軌道と重力Orbits and Gravity

Orbital Motion and Mass軌道運動と質量

Kepler’s laws describe the orbits of the objects whose motions are described by Newton’s laws of motion and the law of gravity. Knowing that gravity is the force that attracts planets toward the Sun, however, allowed Newton to rethink Kepler’s third law. Recall that Kepler had found a relationship between the orbital period of a planet’s revolution and its distance from the Sun. But Newton’s formulation introduces the additional factor of the masses of the Sun (M₁) and the planet (M₂), both expressed in units of the Sun’s mass. Newton’s universal law of gravitation can be used to show mathematically that this relationship is actually

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ケプラーの法則は、ニュートンの運動法則と重力の法則によって運動が記述される物体の軌道を、説明する。しかし、惑星を太陽へ引きつける力が重力だとわかったことで、ニュートンはケプラーの第三法則を考え直すことができた。ケプラーが、惑星の公転周期と太陽からの距離との関係を見つけたことを思い出せ。ニュートンの定式化では、それに加えて、太陽の質量 M₁ と惑星の質量 M₂ という要素が入る。どちらも太陽の質量を単位として表す。万有引力の法則を使うと、この関係が実際には次の式になることを、数学的に示せる。

$a^{3} = (M_{1} + M_{2}) \times P^{2}$

where a is the semimajor axis and P is the orbital period.

ここで a は長半径、P は公転周期である。

How did Kepler miss this factor? In units of the Sun’s mass, the mass of the Sun is 1, and in units of the Sun’s mass, the mass of a typical planet is a negligibly small factor. This means that the sum of the Sun’s mass and a planet’s mass, $(M_{1} + M_{2})$ , is very, very close to 1. This makes Newton’s formula appear almost the same as Kepler’s; the tiny mass of the planets compared to the Sun is the reason that Kepler did not realize that both masses had to be included in the calculation. There are many situations in astronomy, however, in which we do need to include the two mass terms—for example, when two stars or two galaxies orbit each other.

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ケプラーは、なぜこの要素を見落としたのだろうか。太陽の質量を単位にすれば太陽の質量は1で、通常の惑星の質量は、同じ単位では無視できるほど小さな値になる。したがって、太陽と惑星の質量の和 $(M_{1} + M_{2})$ は、1にきわめて近いのである。そのため、ニュートンの式はケプラーの式とほとんど同じに見える。ケプラーが、計算に両方の質量を含める必要があると気づかなかったのは、惑星の質量が太陽に比べて非常に小さいからである。しかし天文学には、二つの恒星や二つの銀河が互いのまわりを回る場合など、質量の二つの項を含めなければならない状況が数多くある。

Including the mass term allows us to use this formula in a new way. If we can measure the motions (distances and orbital periods) of objects acting under their mutual gravity, then the formula will permit us to deduce their masses. For example, we can calculate the mass of the Sun by using the distances and orbital periods of the planets, or the mass of Jupiter by noting the motions of its moons.

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質量の項を含めると、この式を新しい方法で使えるようになる。互いの重力によって作用し合う物体の運動、すなわち距離と公転周期を測れれば、式からそれらの質量を推論できるのである。たとえば、惑星の距離と公転周期を使えば太陽の質量を計算できる。また、木星の衛星の動きを調べれば、木星の質量を計算できる。

Indeed, Newton’s reformulation of Kepler’s third law is one of the most powerful concepts in astronomy. Our ability to deduce the masses of objects from their motions is key to understanding the nature and evolution of many astronomical bodies. We will use this law repeatedly throughout this text in calculations that range from the orbits of comets to the interactions of galaxies.

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実際、ニュートンによるケプラーの第三法則の定式化し直しは、天文学で最も強力な概念の一つである。運動から物体の質量を推論できることは、多くの天体の性質や進化を理解する鍵になる。本書では、彗星の軌道から銀河間の相互作用までにわたる計算で、この法則を繰り返し使う。

Calculating the Effects of Gravity重力の効果を計算する

A planet like Earth is found orbiting its star at a distance of 1 AU in $0.71$ Earth-year. Can you use Newton’s version of Kepler’s third law to find the mass of the star? (Remember that compared to the mass of a star, the mass of an earthlike planet can be considered negligible.)

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地球のような惑星が、恒星から1AUの距離を、地球の $0.71$ 年で公転しているとわかった。ニュートン版のケプラーの第三法則を使い、恒星の質量を求められるか。恒星の質量に比べれば、地球型の惑星の質量は無視できると考えてよいことを思い出せ。

Solution解き方

In the formula $a^{3} = (M_{1} + M_{2}) \times P^{2}$ , the factor $M_{1} + M_{2}$ would now be approximately equal to $M_{1}$ (the mass of the star), since the planet’s mass is so small by comparison. Then the formula becomes $a^{3} = M_{1} \times P^{2}$ , and we can solve for $M_{1}$ :

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式 $a^{3} = (M_{1} + M_{2}) \times P^{2}$ の中の $M_{1} + M_{2}$ という因子は、惑星の質量が比較すると非常に小さいため、この場合、およそ恒星の質量 $M_{1}$ に等しくなる。すると式は $a^{3} = M_{1} \times P^{2}$ となり、 $M_{1}$ について解ける。

$M_{1} = \frac{a^{3}}{P^{2}}$

Since $a = 1, a^{3} = 1$ , so

$a = 1, a^{3} = 1$ なので、

$M_{1} = \frac{1}{P^{2}} = \frac{1}{{0.71}^{2}} = \frac{1}{0.5} = 2$

So the mass of the star is twice the mass of our Sun. (Remember that this way of expressing the law has units in terms of Earth and the Sun, so masses are expressed in units of the mass of our Sun.)

したがって、この恒星の質量は太陽の質量の2倍である。この形の法則では、地球と太陽に基づく単位を使い、質量を太陽の質量を単位として表していることを思い出せ。

Check Your Learning理解を確かめよう

Suppose a star with twice the mass of our Sun had an earthlike planet that took 4 years to orbit the star. At what distance (semimajor axis) would this planet orbit its star?

太陽の2倍の質量を持つ恒星に、その恒星を4年で一周する地球型の惑星があったとしよう。その惑星は、恒星からどれだけの距離、すなわちどれだけの長半径で公転しているだろうか。

Key Concepts and Summary重要事項のまとめ

Gravity, the attractive force between all masses, is what keeps the planets in orbit. Newton’s universal law of gravitation relates the gravitational force to mass and distance:

すべての質量の間に働く引力である重力が、惑星を軌道にとどめている。ニュートンの万有引力の法則は、重力を質量と距離に関係づける。

$F_{gravity} = G \frac{M_{1} M_{2}}{R^{2}}$

$F_{重力} = G \frac{M_{1} M_{2}}{R^{2}}$

The force of gravity is what gives us our sense of weight. Unlike mass, which is constant, weight can vary depending on the force of gravity (or acceleration) you feel. When Kepler’s laws are reexamined in the light of Newton’s gravitational law, it becomes clear that the masses of both objects are important for the third law, which becomes a³ = (M₁ + M₂) × P². Mutual gravitational effects permit us to calculate the masses of astronomical objects, from comets to galaxies.

重力は、私たちに重さの感覚を与える。一定の質量とは異なり、重量は感じる重力、あるいは加速度によって変わる。ケプラーの法則をニュートンの重力の法則に照らして調べ直すと、第三法則には二つの物体の質量がともに重要だとわかり、式は a³＝（M₁＋M₂）×P² となる。相互の重力の効果によって、彗星から銀河に至るまで、天体の質量を計算できる。

gravity

重力

the mutual attraction of material bodies or particles

物質的な物体や粒子の間に働く、相互の引力。