第3章軌道と重力Orbits and Gravity

Kepler’s first two laws of planetary motion describe the shape of a planet’s orbit and allow us to calculate the speed of its motion at any point in the orbit. Kepler was pleased to have discovered such fundamental rules, but they did not satisfy his quest to fully understand planetary motions. He wanted to know why the orbits of the planets were spaced as they are and to find a mathematical pattern in their movements—a “harmony of the spheres” as he called it. For many years he worked to discover mathematical relationships governing planetary spacing and the time each planet took to go around the Sun.

ケプラーの惑星運動の最初の二つの法則は、惑星の軌道の形を記述し、軌道上のどの位置でも、その運動の速さを計算できるようにする。ケプラーは、このような基本的な規則を発見して喜んだが、それでも惑星の運動を完全に理解したいという探究心は満たされなかった。なぜ惑星の軌道が今のような間隔で並ぶのかを知り、その動きの中に、彼が「天球の調和」と呼ぶ数学的な規則性を見つけたかったのである。長年にわたり、惑星間の間隔と、それぞれの惑星が太陽を一周するのにかかる時間を支配する数学的関係を探し続けた。

In 1619, Kepler discovered a basic relationship to relate the planets’ orbits to their relative distances from the Sun. We define a planet’s orbital period, (P), as the time it takes a planet to travel once around the Sun. Also, recall that a planet’s semimajor axis, a, is equal to its average distance from the Sun. The relationship, now known as Kepler’s third law, says that a planet’s orbital period squared is proportional to the semimajor axis of its orbit cubed, or

1619年、ケプラーは、惑星の軌道と、太陽からの相対的な距離を結ぶ基本的な関係を発見した。惑星が太陽のまわりを一周するのにかかる時間を、公転周期 P と定義する。また、惑星の軌道の長半径 a は、太陽からの平均距離に等しいことを思い出せ。現在、ケプラーの第三法則として知られるこの関係は、惑星の公転周期の二乗が、軌道の長半径の三乗に比例するというものである。式で書くと、

When P (the orbital period) is measured in years, and a is expressed in a quantity known as an astronomical unit (AU), the two sides of the formula are not only proportional but equal. One AU is the average distance between Earth and the Sun and is approximately equal to $1.5\times {10}^8$ kilometers. In these units,

P（公転周期）を年で測り、a を天文単位（AU）という単位で表すと、式の両辺は単に比例するだけでなく、等しくなる。1AUは地球と太陽の平均距離で、およそ $1.5\times {10}^8$ キロメートルである。この単位を使うと、

Kepler’s third law applies to all objects orbiting the Sun, including Earth, and provides a means for calculating their relative distances from the Sun from the time they take to orbit. Let’s look at a specific example to illustrate how useful Kepler’s third law is.

ケプラーの第三法則は、地球を含め、太陽を公転するすべての物体に当てはまる。そして、公転にかかる時間から、太陽からの相対的な距離を計算する手段を与える。第三法則がどれほど役に立つか、具体例で見てみよう。

For instance, suppose you time how long Mars takes to go around the Sun (in Earth years). Kepler’s third law can then be used to calculate Mars’ average distance from the Sun. Mars’ orbital period (1.88 Earth years) squared, or $P^2$, is ${1.88}^2=3.53$, and according to the equation for Kepler’s third law, this equals the cube of its semimajor axis, or $a^3$. So what number must be cubed to give 3.53? The answer is $1.52$$(\text{since}1.52\times 1.52\times 1.52=3.53)$. Thus, Mars’ semimajor axis in astronomical units must be 1.52 AU. In other words, to go around the Sun in a little less than two years, Mars must be about 50% (half again) as far from the Sun as Earth is.

たとえば、火星が太陽を一周するのにかかる時間を、地球の年を単位として測ったとする。すると、ケプラーの第三法則を使い、火星の太陽からの平均距離を計算できる。火星の公転周期1.88年を二乗した値、すなわち $P^2$ は、${1.88}^2=3.53$ である。第三法則の式によれば、これは長半径の三乗、すなわち $a^3$ に等しくなる。では、三乗すると3.53になる数は何だろうか。答えは $1.52$$(\text{なぜなら}1.52\times 1.52\times 1.52=3.53)$ である。したがって、火星の長半径を天文単位で表すと、1.52AUになる。言い換えると、2年より少し短い時間で太陽を一周するには、火星は地球より約50%遠く、つまり地球の約1.5倍の距離にあるはずなのである。

Kepler’s three laws of planetary motion can be summarized as follows:

ケプラーの惑星運動の三法則は、次のようにまとめられる。

Kepler’s three laws provide a precise geometric description of planetary motion within the framework of the Copernican system. With these tools, it was possible to calculate planetary positions with greatly improved precision. Still, Kepler’s laws are purely descriptive: they do not help us understand what forces of nature constrain the planets to follow this particular set of rules. That step was left to Isaac Newton.

ケプラーの三法則は、コペルニクスの体系の枠内で、惑星の運動を正確な幾何学によって記述する。これらを使えば、惑星の位置を、格段に高い精度で計算できるようになった。それでも、ケプラーの法則は、純粋に運動を記述するものである。自然界のどんな力が惑星を拘束し、この特定の規則に従わせるのかを理解する助けにはならない。その一歩は、アイザック・ニュートンに委ねられた。