第2章記述統計
2.3 Measures of the Location of the Data2.3 データの位置を表す指標
The common measures of location are quartiles and percentiles.
位置の指標としてよく用いるのは、四分位数とパーセンタイルである。
Quartiles divide an ordered data set into four equal parts. The three quartiles of a data set are labeled as Q1, Q2, and Q3.
四分位数は、順序に並べたデータセットを4つの等しい部分に分ける。3つの四分位数を、Q1、Q2、Q3と表す。
- About one-fourth of the data falls on or below the first quartile Q1.データの約4分の1は、第1四分位数Q1以下になる。
- About one-half of the data falls on or below the second quartile Q2.データの約半分は、第2四分位数Q2以下になる。
- About three-fourths of the data falls on or below the third quartile Q3.データの約4分の3は、第3四分位数Q3以下になる。
In the same way, percentiles divide a data set into 100 equal parts.
同様に、パーセンタイルはデータセットを100の等しい部分に分ける。
To calculate quartiles and percentiles, the data must be ordered from smallest to largest. Quartiles divide ordered data into quarters. Percentiles divide ordered data into hundredths. To score in the 90th percentile of an exam does not mean, necessarily, that you received 90% on a test. It means that 90% of test scores are the same or less than your score and 10% of the test scores are the same or greater than your test score.
英語のヒント
四分位数とパーセンタイルを計算するには、データを小さい順に並べなければならない。四分位数はそれを4等分し、パーセンタイルは100等分する。試験の得点が第90パーセンタイルに入ることは、必ずしも90％を得点したという意味ではない。得点の90％が自分の点数以下で、10％が自分の点数以上であるという意味である。
Percentiles are useful for comparing values. For this reason, universities and colleges use percentiles extensively. One instance in which colleges and universities use percentiles is when SAT results are used to determine a minimum testing score that will be used as an acceptance factor. For example, suppose Duke accepts SAT scores at or above the 75th percentile. That translates into a score of at least 1220.
英語のヒント
パーセンタイルは値の比較に役立つ。そのため、大学では広く用いられる。一例が、SATの結果から、入学許可の判断に使う最低点を決める場合である。例えば、デューク大学が第75パーセンタイル以上のSAT得点を受け入れるとしよう。これは、少なくとも1220点という得点に相当する。
Percentiles are mostly used with very large populations. Therefore, if you were to say that 90% of the test scores are less (and not the same or less) than your score, it would be acceptable because removing one particular data value is not significant.
パーセンタイルは主に非常に大きな母集団で使われる。そのため、得点の90％が自分の点数「以下」ではなく「未満」だと言っても、1つのデータを除く影響は大きくないので、差し支えない。
The median is a number that measures the "center" of the data. You can think of the median as the "middle value," but it does not actually have to be one of the observed values. It is a number that separates ordered data into halves. Half the values are the same number or smaller than the median, and half the values are the same number or larger. For example, consider the following data.
1; 11.5; 6; 7.2; 4; 8; 9; 10; 6.8; 8.3; 2; 2; 10; 1
Ordered from smallest to largest:
1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8; 7.2; 8; 8.3; 9; 10; 10; 11.5
1; 11.5; 6; 7.2; 4; 8; 9; 10; 6.8; 8.3; 2; 2; 10; 1
Ordered from smallest to largest:
1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8; 7.2; 8; 8.3; 9; 10; 10; 11.5
英語のヒント
中央値は、データの「中心」を測る数値である。「真ん中の値」と考えられるが、実際に観測された値の1つである必要はない。順序に並べたデータを半分に分ける数であり、半分の値は中央値以下、もう半分は中央値以上である。例えば、次のデータを考える。1; 11.5; 6; 7.2; 4; 8; 9; 10; 6.8; 8.3; 2; 2; 10; 1小さい順に並べると、1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8; 7.2; 8; 8.3; 9; 10; 10; 11.5となる。
Since there are 14 observations, the median is between the seventh value, 6.8, and the eighth value, 7.2. To find the median, add the two values together and divide by two.
観測値は14個なので、中央値は7番目の6.8と8番目の7.2の間にある。2つの値を足して2で割ると、中央値が求まる。
The median is seven. Half of the values are smaller than seven and half of the values are larger than seven.
中央値は7である。値の半分は7より小さく、もう半分は7より大きい。
Quartiles are numbers that separate the data into quarters. Quartiles may or may not be part of the data. To find the quartiles, first find the median or second quartile. The first quartile, Q1, is the middle value of the lower half of the data, and the third quartile, Q3, is the middle value, or median, of the upper half of the data. To get the idea, consider the same data set:
1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8; 7.2; 8; 8.3; 9; 10; 10; 11.5
1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8; 7.2; 8; 8.3; 9; 10; 10; 11.5
四分位数は、データを4つの部分に分ける数であり、データ中に存在する場合もしない場合もある。求めるには、まず中央値、すなわち第2四分位数を見つける。第1四分位数Q1は下半分のデータの中央の値、第3四分位数Q3は上半分の中央の値、つまり中央値である。考え方をつかむため、先ほどと同じデータを考えよう。1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8; 7.2; 8; 8.3; 9; 10; 10; 11.5
The median or second quartile is seven. The lower half of the data are 1, 1, 2, 2, 4, 6, 6.8. The middle value of the lower half is two.
1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8
1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8
中央値、すなわち第2四分位数は7である。下半分のデータは1, 1, 2, 2, 4, 6, 6.8であり、その中央の値は2である。1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8
The number two, which is part of the data, is the first quartile. One-fourth of the entire sets of values are the same as or less than two and three-fourths of the values are more than two.
データに含まれる値2が第1四分位数である。データ全体の4分の1は2以下で、4分の3は2より大きい。
The upper half of the data is 7.2, 8, 8.3, 9, 10, 10, 11.5. The middle value of the upper half is nine.
上半分のデータは7.2, 8, 8.3, 9, 10, 10, 11.5であり、その中央の値は9である。
The third quartile, Q3, is nine. Three-fourths (75%) of the ordered data set are less than nine. One-fourth (25%) of the ordered data set are greater than nine. The third quartile is part of the data set in this example.
第3四分位数Q3は9である。順序に並べたデータの4分の3（75％）は9より小さく、4分の1（25％）は9より大きい。この例では、第3四分位数はデータの中に含まれる。
The interquartile range is a number that indicates the spread of the middle half or the middle 50% of the data. It is the difference between the third quartile (Q3) and the first quartile (Q1).
英語のヒント
四分位範囲は、データの中央の半分、すなわち中央50％の散らばりを示す数値である。第3四分位数（Q3）と第1四分位数（Q1）の差で求める。
IQR = Q3 – Q1
The IQR can help to determine potential outliers. A value is suspected to be a potential outlier if it is less than (1.5)(IQR) below the first quartile or more than (1.5)(IQR) above the third quartile. Potential outliers always require further investigation.
IQRは、外れ値の候補の判定に役立つ。第1四分位数から(1.5)(IQR)だけ下の値より小さいか、第3四分位数から(1.5)(IQR)だけ上の値より大きい場合、外れ値の候補と考える。外れ値の候補は、必ずさらに調べる必要がある。
Example 2.13例題 2.13
For the following 13 real estate prices, calculate the IQR and determine if any prices are potential outliers. Prices are in dollars.
389,950; 230,500; 158,000; 479,000; 639,000; 114,950; 5,500,000; 387,000; 659,000; 529,000; 575,000; 488,800; 1,095,000
389,950; 230,500; 158,000; 479,000; 639,000; 114,950; 5,500,000; 387,000; 659,000; 529,000; 575,000; 488,800; 1,095,000
以下の13件の不動産価格について、IQRを計算し、外れ値の候補があるか判定せよ。価格はドルである。389,950; 230,500; 158,000; 479,000; 639,000; 114,950; 5,500,000; 387,000; 659,000; 529,000; 575,000; 488,800; 1,095,000
Solution解き方
Order the data from smallest to largest.
114,950; 158,000; 230,500; 387,000; 389,950; 479,000; 488,800; 529,000; 575,000; 639,000; 659,000; 1,095,000; 5,500,000
114,950; 158,000; 230,500; 387,000; 389,950; 479,000; 488,800; 529,000; 575,000; 639,000; 659,000; 1,095,000; 5,500,000
データを小さい順に並べる。114,950; 158,000; 230,500; 387,000; 389,950; 479,000; 488,800; 529,000; 575,000; 639,000; 659,000; 1,095,000; 5,500,000
M = 488,800
Q1 = = 308,750
Q3 = = 649,000
IQR = 649,000 – 308,750 = 340,250
(1.5)(IQR) = (1.5)(340,250) = 510,375
Q1 – (1.5)(IQR) = 308,750 – 510,375 = –201,625
Q3 + (1.5)(IQR) = 649,000 + 510,375 = 1,159,375
No house price is less than –201,625. However, 5,500,000 is more than 1,159,375. Therefore, 5,500,000 is a potential outlier.
−201,625より小さい住宅価格はない。しかし、5,500,000は1,159,375より大きい。したがって、5,500,000が外れ値の候補となる。
Example 2.14例題 2.14
Test scores for a college statistics class held during the day are:
99; 56; 78; 55.5; 32; 90; 80; 81; 56; 59; 45; 77; 84.5; 84; 70; 72; 68; 32; 79; 90
99; 56; 78; 55.5; 32; 90; 80; 81; 56; 59; 45; 77; 84.5; 84; 70; 72; 68; 32; 79; 90
大学の昼間の統計学のクラスの試験の点数：99; 56; 78; 55.5; 32; 90; 80; 81; 56; 59; 45; 77; 84.5; 84; 70; 72; 68; 32; 79; 90
Test scores for a college statistics class held during the evening are:
98; 78; 68; 83; 81; 89; 88; 76; 65; 45; 98; 90; 80; 84.5; 85; 79; 78; 98; 90; 79; 81; 25.5
98; 78; 68; 83; 81; 89; 88; 76; 65; 45; 98; 90; 80; 84.5; 85; 79; 78; 98; 90; 79; 81; 25.5
大学の夜間の統計学のクラスの試験の点数：98; 78; 68; 83; 81; 89; 88; 76; 65; 45; 98; 90; 80; 84.5; 85; 79; 78; 98; 90; 79; 81; 25.5
For the two data sets, find the following:
2つのデータセットについて、次を求めよ。
- The interquartile range. Compare the two interquartile ranges.四分位範囲。2つの四分位範囲を比較せよ。
- Any outliers in either set.各データセットの外れ値。
Solution解き方
The five number summary for the day and night classes is
昼間と夜間のクラスの五数要約は、次のとおりである。
Minimum 最小値 |
Q1 |
Median 中央値 |
Q3 |
Maximum 最大値 |
|
|---|---|---|---|---|---|
Day 昼間 |
32 |
56 |
74.5 |
82.5 |
99 |
Night 夜間 |
25.5 |
78 |
81 |
89 |
98 |
- The IQR for the day group is Q3 – Q1 = 82.5 – 56 = 26.5昼間のクラスのIQRは、Q3−Q1＝82.5−56＝26.5である。The IQR for the night group is Q3 – Q1 = 89 – 78 = 11夜間のクラスのIQRは、Q3−Q1＝89−78＝11である。The interquartile range (the spread or variability) for the day class is larger than the night class IQR. This suggests more variation will be found in the day class’s class test scores.昼間のクラスの四分位範囲（散らばり、ばらつき）は、夜間のクラスより大きい。昼間のクラスの点数の方が、ばらつきが大きいと考えられる。
- Day class outliers are found using the IQR times 1.5 rule. So,昼間のクラスの外れ値は、IQRの1.5倍の規則で調べる。したがって、
- Q1 - IQR(1.5) = 56 – 26.5(1.5) = 16.25
- Q3 + IQR(1.5) = 82.5 + 26.5(1.5) = 122.25
Since the minimum and maximum values for the day class are greater than 16.25 and less than 122.25, there are no outliers.昼間のクラスの最小値と最大値は、16.25より大きく122.25より小さいので、外れ値はない。Night class outliers are calculated as:夜間のクラスの外れ値は、次の計算で調べる。- Q1 – IQR (1.5) = 78 – 11(1.5) = 61.5
- Q3 + IQR(1.5) = 89 + 11(1.5) = 105.5
For this class, any test score less than 61.5 is an outlier. Therefore, the scores of 45 and 25.5 are outliers. Since no test score is greater than 105.5, there is no upper end outlier.このクラスでは61.5未満の点数が外れ値になる。したがって、45と25.5が外れ値である。105.5より大きい点数はないので、上側の外れ値はない。
Example 2.15例題 2.15
Fifty statistics students were asked how much sleep they get per school night (rounded to the nearest hour). The results were:
統計学の学生50人に、学校のある日の夜に何時間眠るかを尋ね、最も近い整数時間に丸めた。結果は次のとおりである。
AMOUNT OF SLEEP PER SCHOOL NIGHT (HOURS) 学校のある日の夜の睡眠時間（時間） |
FREQUENCY 度数 |
RELATIVE FREQUENCY 相対度数 |
CUMULATIVE RELATIVE FREQUENCY 累積相対度数 |
|---|---|---|---|
4 |
2 |
0.04 |
0.04 |
5 |
5 |
0.10 |
0.14 |
6 |
7 |
0.14 |
0.28 |
7 |
12 |
0.24 |
0.52 |
8 |
14 |
0.28 |
0.80 |
9 |
7 |
0.14 |
0.94 |
10 |
3 |
0.06 |
1.00 |
Find the 28th percentile. Notice the 0.28 in the "cumulative relative frequency" column. Twenty-eight percent of 50 data values is 14 values. There are 14 values less than the 28th percentile. They include the two 4s, the five 5s, and the seven 6s. The 28th percentile is between the last six and the first seven. The 28th percentile is 6.5.
第28パーセンタイルを求める。「累積相対度数」の列の0.28に注目する。50個のデータの28％は14個である。第28パーセンタイルより小さい値は14個あり、4が2個、5が5個、6が7個である。第28パーセンタイルは最後の6と最初の7の間にある。第28パーセンタイルは6.5である。
Find the median. Look again at the "cumulative relative frequency" column and find 0.52. The median is the 50th percentile or the second quartile. 50% of 50 is 25. There are 25 values less than the median. They include the two 4s, the five 5s, the seven 6s, and eleven of the 7s. The median or 50th percentile is between the 25th, or seven, and 26th, or seven, values. The median is seven.
中央値を求める。もう一度「累積相対度数」の列を見て、0.52を探す。中央値は第50パーセンタイル、つまり第2四分位数である。50の50％は25であり、中央値より小さい値は25個ある。4が2個、5が5個、6が7個、7のうち11個である。中央値、つまり第50パーセンタイルは、第25番目の値7と第26番目の値7の間にある。中央値は7である。
Find the third quartile. The third quartile is the same as the 75th percentile. You can "eyeball" this answer. If you look at the "cumulative relative frequency" column, you find 0.52 and 0.80. When you have all the fours, fives, sixes and sevens, you have 52% of the data. When you include all the 8s, you have 80% of the data. The 75th percentile, then, must be an eight. Another way to look at the problem is to find 75% of 50, which is 37.5, and round up to 38. The third quartile, Q3, is the 38th value, which is an eight. You can check this answer by counting the values. (There are 37 values below the third quartile and 12 values above.)
英語のヒント
第3四分位数を求める。これは第75パーセンタイルと同じであり、答えは「目分量」で分かる。「累積相対度数」の列には0.52と0.80がある。4、5、6、7をすべて含めるとデータの52％、8もすべて含めると80％になる。したがって、第75パーセンタイルは8でなければならない。別の考え方では、50の75％である37.5を求め、38に切り上げる。第3四分位数Q3は、第38番目の値である8となる。値を数えて確認できる。（第3四分位数より下には37個、上には12個の値がある。）