第2章記述統計

A Formula for Finding the kth Percentile第kパーセンタイルを求める公式

If you were to do a little research, you would find several formulas for calculating the k^th percentile. Here is one of them.

少し調べれば、第kパーセンタイルの計算公式がいくつか見つかるだろう。ここでは、その1つを示す。

k = the k^th percentile. It may or may not be part of the data.

k＝第kパーセンタイル。これはデータ中に存在する場合もしない場合もある。

i = the index (ranking or position of a data value)

i＝指数（データの値の順位、すなわち位置）

n = the total number of data

n＝データの総数

Order the data from smallest to largest.
データを小さい順に並べる。
Calculate $i = \frac{k}{100} (n + 1)$
$i = \frac{k}{100} (n + 1)$ を計算する。
If i is an integer, then the k^th percentile is the data value in the i^th position in the ordered set of data.
iが整数なら、第kパーセンタイルは、順序に並べたデータの第i番目の値である。
If i is not an integer, then round i up and round i down to the nearest integers. Average the two data values in these two positions in the ordered data set. This is easier to understand in an example.
iが整数でなければ、iを直上と直下の整数にそれぞれ丸める。順序に並べたデータの、その2つの位置の値の平均を取る。例を見ると分かりやすい。

Example 2.16例題 2.16

Listed are 29 ages for Academy Award winning best actors in order from smallest to largest.
18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77

アカデミー賞主演男優賞の受賞者29人の年齢を、小さい順に示す。18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77

Find the 70^th percentile.
第70パーセンタイルを求めよ。
Find the 83^rd percentile.
第83パーセンタイルを求めよ。

Solution解き方

- k = 70
- i = the index
  i＝位置を表す指数
- n = 29
i = $\frac{k}{100}$ (n + 1) = ( $\frac{70}{100}$ )(29 + 1) = 21. Twenty-one is an integer, and the data value in the 21^st position in the ordered data set is 64. The 70^th percentile is 64 years.
i＝ $\frac{k}{100}$ (n＋1)＝( $\frac{70}{100}$ )(29＋1)＝21。21は整数であり、順序に並べたデータの第21番目は64である。第70パーセンタイルは64歳である。
- k = 83^rd percentile
  k＝第83パーセンタイル
- i = the index
  i＝位置を表す指数
- n = 29
i = $\frac{k}{100}$ (n + 1) = ( $\frac{83}{100}$ )(29 + 1) = 24.9, which is NOT an integer. Round it down to 24 and up to 25. The age in the 24^th position is 71 and the age in the 25^th position is 72. Average 71 and 72. The 83^rd percentile is 71.5 years.
i＝ $\frac{k}{100}$ (n＋1)＝( $\frac{83}{100}$ )(29＋1)＝24.9であり、整数ではない。切り下げて24、切り上げて25とする。第24番目の年齢は71、第25番目は72である。71と72の平均を取る。第83パーセンタイルは71.5歳となる。

Example 2.17例題 2.17

Using Table 2.52:

表2.52を使って、次を求めよ。

Find the 80^th percentile.
第80パーセンタイルを求めよ。
Find the 90^th percentile.
第90パーセンタイルを求めよ。
Find the first quartile. What is another name for the first quartile?
第1四分位数を求めよ。第1四分位数の別名は何か。

Solution解き方

Using the data from the frequency table, we have:

度数表のデータを使うと、次のようになる。

Notice there are 50 data values in the table, so n = 50.
Calculate the index i as follows:
$i = \frac{80}{100} (50 + 1) = 40.8$
Since i = 40.8, calculate the mean of the 40^th and 41^st data values. The 40^th data value is 8, the 41^st data value is 9, and the mean of these two data values is 8.5. Thus, the 80^th percentile is 8.5.
表のデータは50個なので、n＝50である。指数iを計算する。 $i = \frac{80}{100} (50 + 1) = 40.8$ i＝40.8なので、第40番目と第41番目の値の平均を取る。第40番目は8、第41番目は9で、その平均は8.5である。したがって、第80パーセンタイルは8.5である。
Calculate the index i as follows:
$i = \frac{90}{100} (50 + 1) = 45.9$
Since i = 45.9, calculate the mean of the 45^th and 46^th data values. The 45^th data value is 9, the 46^th data value is 9, and the mean of these two data values is 9. Thus, the 90^th percentile is 9.
指数iを計算する。 $i = \frac{90}{100} (50 + 1) = 45.9$ i＝45.9なので、第45番目と第46番目の値の平均を取る。第45番目も第46番目も9で、その平均は9である。したがって、第90パーセンタイルは9である。
Another name for the first quartile is the 25^th percentile. Proceed to calculate the 25^th percentile:
Calculate the index i as follows:
$i = \frac{25}{100} (50 + 1) = 12.75$
Since i = 12.75, calculate the mean of the 12^th and 13^th data values. The 12^th data value is 6, the 13^th data value is 6, and the mean of these two data values is 6. Thus, the first quartile is 6.
第1四分位数の別名は、第25パーセンタイルである。第25パーセンタイルを計算しよう。指数iは次のようになる。 $i = \frac{25}{100} (50 + 1) = 12.75$ i＝12.75なので、第12番目と第13番目の値の平均を取る。第12番目も第13番目も6で、その平均は6である。したがって、第1四分位数は6である。

Collaborative Exercise共同演習

Your instructor or a member of the class will ask everyone in class how many sweaters they own. Answer the following questions:

教員かクラスの1人が、全員に持っているセーターの枚数を尋ねる。次の問いに答えよ。

How many students were surveyed?
何人の学生を調査したか。
What kind of sampling did you do?
どの抽出法を用いたか。
Construct two different histograms. For each, starting value = _____ ending value = ____.
異なるヒストグラムを2つ作成せよ。それぞれについて、始点＝_____、終点＝____。
Find the median, first quartile, and third quartile.
中央値、第1四分位数、第3四分位数を求めよ。
Construct a table of the data to find the following:
データの表を作成し、次を求めよ。
1. the 10^th percentile
  第10パーセンタイル
2. the 70^th percentile
  第70パーセンタイル
3. the percent of students who own less than four sweaters
  セーターの所有枚数が4枚未満の学生の百分率