第2章記述統計

A Formula for Finding the Percentile of a Value in a Data Setデータセット中の値が第何パーセンタイルかを求める公式

Order the data from smallest to largest.
データを小さい順に並べる。
x = the number of data values counting from the bottom of the data list up to but not including the data value for which you want to find the percentile.
x＝データの小さい方から数え、パーセンタイルを求めたい値そのものは含めず、その直前までにあるデータの個数。
y = the number of data values equal to the data value for which you want to find the percentile.
y＝パーセンタイルを求めたい値と等しいデータの個数。
n = the total number of data.
n＝データの総数。
Calculate $\frac{x + 0.5 y}{n}$ (100). Then round to the nearest integer.
$\frac{x + 0.5 y}{n}$ (100)を計算し、最も近い整数に丸める。

Example 2.18例題 2.18

Listed are 29 ages for Academy Award winning best actors in order from smallest to largest.
18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77

アカデミー賞主演男優賞の受賞者29人の年齢を、小さい順に示す。18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77

Find the percentile for 58.
58が第何パーセンタイルか求めよ。
Find the percentile for 25.
25が第何パーセンタイルか求めよ。

Solution解き方

Counting from the bottom of the list, there are 18 data values less than 58. There is one value of 58.
データの小さい方から数えると、58未満の値は18個、58と等しい値は1個ある。

x = 18 and y = 1. $\frac{x + 0.5 y}{n}$ (100) = $\frac{18 + 0.5 (1)}{29}$ (100) = 63.80. 58 is the 64^th percentile.
x＝18、y＝1。 $\frac{x + 0.5 y}{n}$ (100)＝ $\frac{18 + 0.5 (1)}{29}$ (100)＝63.80。58は第64パーセンタイルである。
Counting from the bottom of the list, there are three data values less than 25. There is one value of 25.
データの小さい方から数えると、25未満の値は3個、25と等しい値は1個ある。

x = 3 and y = 1. $\frac{x + 0.5 y}{n}$ (100) = $\frac{3 + 0.5 (1)}{29}$ (100) = 12.07. Twenty-five is the 12^th percentile.
x＝3、y＝1。 $\frac{x + 0.5 y}{n}$ (100)＝ $\frac{3 + 0.5 (1)}{29}$ (100)＝12.07。25は第12パーセンタイルである。

Interpreting Percentiles, Quartiles, and Medianパーセンタイル、四分位数、中央値の解釈

A percentile indicates the relative standing of a data value when data are sorted into numerical order from smallest to largest. Percentages of data values are less than or equal to the pth percentile. For example, 15% of data values are less than or equal to the 15^th percentile.

パーセンタイルは、データを小さい順に並べたときの、ある値の相対的な位置を示す。データの一定の百分率が第pパーセンタイル以下となる。例えば、データの15％は第15パーセンタイル以下である。

Low percentiles always correspond to lower data values.
低いパーセンタイルは、常に小さいデータの値に対応する。
High percentiles always correspond to higher data values.
高いパーセンタイルは、常に大きいデータの値に対応する。

A percentile may or may not correspond to a value judgment about whether it is "good" or "bad." The interpretation of whether a certain percentile is "good" or "bad" depends on the context of the situation to which the data applies. In some situations, a low percentile would be considered "good;" in other contexts a high percentile might be considered "good". In many situations, there is no value judgment that applies.

パーセンタイルには、「よい」「悪い」という価値判断が伴う場合も、伴わない場合もある。あるパーセンタイルがよいか悪いかの解釈は、データが当てはまる状況による。低いパーセンタイルが「よい」と考えられる状況も、高いパーセンタイルが「よい」と考えられる状況もある。価値判断が当てはまらない場合も多い。

Understanding how to interpret percentiles properly is important not only when describing data, but also when calculating probabilities in later chapters of this text.

英語のヒント

パーセンタイルの正しい解釈を理解することは、データを記述するときだけでなく、本書の後の章で確率を計算するときにも重要である。

NOTE注

When writing the interpretation of a percentile in the context of the given data, the sentence should contain the following information.

与えられたデータの状況に即してパーセンタイルの解釈を書くときは、次の情報を文に含める。

information about the context of the situation being considered
考察している状況についての情報
the data value (value of the variable) that represents the percentile
そのパーセンタイルを表すデータの値（変数の値）
the percent of individuals or items with data values below the percentile
そのパーセンタイルより小さい値を持つ人や項目の百分率
the percent of individuals or items with data values above the percentile.
そのパーセンタイルより大きい値を持つ人や項目の百分率

Example 2.19例題 2.19

On a timed math test, the first quartile for time it took to finish the exam was 35 minutes. Interpret the first quartile in the context of this situation.

時間を計測した数学の試験で、解き終えるまでの時間の第1四分位数は35分だった。この状況に即して第1四分位数を解釈せよ。

Solution解き方

Twenty-five percent of students finished the exam in 35 minutes or less.
学生の25％は35分以下で試験を終えた。
Seventy-five percent of students finished the exam in 35 minutes or more.
学生の75％は試験を終えるのに35分以上かかった。
A low percentile could be considered good, as finishing more quickly on a timed exam is desirable. (If you take too long, you might not be able to finish.)
制限時間のある試験では、早く終えることが望ましいので、低いパーセンタイルはよいと考えられる。（時間をかけすぎると、終えられないかもしれない。）

Example 2.20例題 2.20

On a 20 question math test, the 70^th percentile for number of correct answers was 16. Interpret the 70^th percentile in the context of this situation.

20問の数学の試験で、正答数の第70パーセンタイルは16だった。この状況に即して第70パーセンタイルを解釈せよ。

Example 2.21例題 2.21

At a community college, it was found that the 30^th percentile of credit units that students are enrolled for is seven units. Interpret the 30^th percentile in the context of this situation.

あるコミュニティ・カレッジで、学生の履修単位数の第30パーセンタイルは7単位だった。この状況に即して第30パーセンタイルを解釈せよ。

Example 2.22例題 2.22

Sharpe Middle School is applying for a grant that will be used to add fitness equipment to the gym. The principal surveyed 15 anonymous students to determine how many minutes a day the students spend exercising. The results from the 15 anonymous students are shown.

英語のヒント

シャープ中学校は、体育館に運動器具を追加するための助成金を申請している。校長は、生徒の1日の運動時間を知るため、15人に匿名で調査した。その結果を示す。

0 minutes; 40 minutes; 60 minutes; 30 minutes; 60 minutes

0分; 40分; 60分; 30分; 60分

10 minutes; 45 minutes; 30 minutes; 300 minutes; 90 minutes;

10分; 45分; 30分; 300分; 90分;

30 minutes; 120 minutes; 60 minutes; 0 minutes; 20 minutes

30分; 120分; 60分; 0分; 20分

Determine the following five values.

次の5つの値を求めよ。

Min = 0
最小値 = 0
Q₁ = 20
Med = 40
中央値 = 40
Q₃ = 60
Max = 300
最大値 = 300

If you were the principal, would you be justified in purchasing new fitness equipment? Since 75% of the students exercise for 60 minutes or less daily, and since the IQR is 40 minutes (60 – 20 = 40), we know that half of the students surveyed exercise between 20 minutes and 60 minutes daily. This seems a reasonable amount of time spent exercising, so the principal would be justified in purchasing the new equipment.

英語のヒント

自分が校長なら、新しい運動器具の購入を正当化できるだろうか。生徒の75％は毎日60分以下の運動をし、IQRは40分（60−20＝40）なので、調査した生徒の半分が毎日20～60分運動すると分かる。これは妥当な運動時間に思えるので、校長は器具の新規購入を正当化できるだろう。

However, the principal needs to be careful. The value 300 appears to be a potential outlier.

しかし、校長は注意が必要である。300という値は、外れ値の候補に見える。

Q₃ + 1.5(IQR) = 60 + (1.5)(40) = 120.

The value 300 is greater than 120 so it is a potential outlier. If we delete it and calculate the five values, we get the following values:

300は120より大きいので、外れ値の候補である。これを除き、5つの値を計算すると、以下のようになる。

Min = 0
最小値 = 0
Q₁ = 20
Q₃ = 60
Max = 120
最大値 = 120

We still have 75% of the students exercising for 60 minutes or less daily and half of the students exercising between 20 and 60 minutes a day. However, 15 students is a small sample and the principal should survey more students to be sure of his survey results.

依然として、生徒の75％の運動時間は1日60分以下で、半分は20～60分である。しかし、15人は小さな標本なので、校長は結果を確かめるため、もっと多くの生徒を調査すべきである。

Try Itやってみよう

A college statistics instructor is investigating the amount of time students spend working on a final project in the course. The instructor would like students to spend approximately 3 to 4 hours as the typical amount of time to be spent on the project. The instructor collects data from a random sample of 10 students for the number of hours spent working on the final project. The results obtained are as follows:

大学の統計学の教員が、学生の授業の最終課題にかける時間を調べている。標準的な所要時間は3～4時間程度であってほしいと考えている。無作為標本として学生10人を選び、最終課題にかけた時間を集めた。得られた結果は次のとおりである。

2 hours; 3 hours; 5 hours; 3 hours; 4 hours;

2時間; 3時間; 5時間; 3時間; 4時間;

4 hours; 3 hours; 11 hours; 3 hours; 2 hours.

4時間; 3時間; 11時間; 3時間; 2時間。

Determine the following five values: Min, Q₁, Med, Q₃, Max.
最小値、Q₁、中央値、Q₃、最大値の5つを求めよ。
Should the instructor modify the final project or leave as is?
教員は最終課題を修正すべきか、そのままにすべきか。

Solution解答

The five values are obtained as follows:
5つの値は次のようになる。

Min = 2
最小値 = 2

Q₁ = 3

Med = 3
中央値 = 3

Q₃ = 4

Max = 11
最大値 = 11
Given that the 3^rd quartile is 4 hours, this indicates that 75% of the students spend 4 hours or less on the project. Also for the interquartile range: IQR = 4 – 3 = 1, we know that half the students spent between 3 and 4 hours on the project. This seems like a reasonable amount of time for students to spend on the final project.
第3四分位数が4時間なので、学生の75％は課題に4時間以下をかけている。四分位範囲はIQR＝4−3＝1であり、学生の半分は3～4時間をかけたと分かる。最終課題にかける時間として妥当に思える。

However, the value 11 hours appears to be a potential outlier.
しかし、11時間という値は外れ値の候補に見える。

$Q_{3} + 1.5 (I Q R) = 4 + 1.5 (1) = 5.5$

The value 11 is greater than 5.5, so it is an outlier. If we delete it and recalculate the five values, we get the following values:
11は5.5より大きいので、外れ値である。これを除き、5つの値を計算し直すと次のようになる。

Min = 2
最小値 = 2

Q₁ = 2.5

Q₃ = 4

Max = 5
最大値 = 5

We still have 75% of students spending 4 hours or less on the project. Half of the students spend between 2.5 hours and 4 hours on the project.
依然として、学生の75％は課題に4時間以下をかけている。半分の学生は2.5～4時間をかけている。

However, 10 students may be a relatively small sample size. The instructor might consider a larger sample size.
しかし、10人は比較的小さな標本かもしれない。教員は標本を大きくすることを検討してもよい。