第2章記述統計

Standard deviation of Grouped Frequency Tables階級に分けた度数分布表の標準偏差

Recall that for grouped data we do not know individual data values, so we cannot describe the typical value of the data with precision. In other words, we cannot find the exact mean, median, or mode. We can, however, determine the best estimate of the measures of center by finding the mean of the grouped data with the formula:

M e a n o f F r e q u e n c y T a b l e = \frac{\sum f m}{\sum f}

where

f =

interval frequencies and m = interval midpoints.

英語のヒント

階級に分けたデータでは個々の値が分からないため、代表的な値を正確に示せないことを思い出そう。つまり、厳密な平均値、中央値、最頻値は求められない。それでも、次の公式で階級別データの平均を求めることで、中心を表す指標の最善の推定値を得られる。

度数分布表の平均 = \frac{\sum f m}{\sum f}

。ここで

f =

は階級の度数、mは階級値である。

Just as we could not find the exact mean, neither can we find the exact standard deviation. Remember that standard deviation describes numerically the expected deviation a data value has from the mean. In simple English, the standard deviation allows us to compare how “unusual” individual data is compared to the mean.

英語のヒント

厳密な平均が求められなかったのと同じく、厳密な標準偏差も求められない。標準偏差は、データの値が平均からどの程度離れると見込まれるかを数値で表す。平たくいえば、個々の値が平均に比べてどれほど「普通でない」かを比較する手段となる。

Example 2.34例題 2.34

Find the standard deviation for the data in Table 2.71.

表2.71のデータの標準偏差を求めよ。

Table 2.71表 2.71
Class 階級	Frequency, $f$ 度数、 $f$	Midpoint, $m$ 階級値、 $m$	$f \cdot m$	$\bar{x}$	$m - \bar{x}$	${(m - \bar{x})}^{2}$	$f {(m - \bar{x})}^{2}$
0–2	1	1	1	7.58	-6.58	43.2964	43.2964
3–5	6	4	24	7.58	-3.58	12.8164	76.8984
6–8	10	7	70	7.58	-0.58	0.3364	3.364
9–11	7	10	70	7.58	2.42	5.8564	40.9948
12–14	0	13	0	7.58	5.42	29.3764	0
15–17	2	16	32	7.58	8.42	70.8964	141.7928
SUM ( $Σ$ ) 合計（ $Σ$ ）	26		197				306.3464

The values in the second, third, and fourth columns of Table 2.71 are used to calculate the mean of the grouped frequency table, the value in the fifth column.

表2.71の第2、第3、第4列の値を使い、階級別度数分布表の平均を計算する。その値が第5列である。

\bar{x} = \frac{Σ f m}{Σ f} = \frac{197}{26} \approx 7.58 .

After calculating

\bar{x}

, find the difference,

m - \bar{x}

, for each midpoint,

m

. Next, square each difference. In the final column, calculate the product of the frequency and the squared difference for each class.

\bar{x}

を計算したら、各階級値

m

について差

m - \bar{x}

を求める。次に各差を2乗する。最後の列では、階級ごとに度数と差の2乗の積を計算する。

The table makes it easy to use the formula for calculating the standard deviation of a grouped frequency table:

この表を使うと、階級別度数分布表の標準偏差を求める次の公式を適用しやすい。

s_{x} = \sqrt{\frac{Σ f {(m - \bar{x})}^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{43.2964}{26 - 1}} \approx 3.50 .

Although the formula is not complicated, these calculations are typically performed using technology.

公式は複雑ではないが、通常は機器やソフトを使って計算する。

Try Itやってみよう

Find the standard deviation for the data from the previous example

前の例のデータについて、標準偏差を求めよ。

Table 2.72表 2.72
Class 階級	Frequency, f 度数、f
0–2	1
3–5	6
6–8	10
9–11	7
12–14	0
15–17	2

First, press the STAT key and select 1:Edit

まずSTATキーを押し、1:Editを選ぶ。

Figure 2.58図 2.58

Input the midpoint values into L1 and the frequencies into L2

L1に階級値、L2に度数を入力する。

Figure 2.59図 2.59

Select STAT, CALC, and 1: 1-Var Stats

STAT、CALC、1: 1-Var Statsを順に選ぶ。

Figure 2.60図 2.60

Select 2^nd then 1 then , 2^nd then 2 Enter

2^nd、1、コンマ、2^nd、2、Enterの順に押す。

Figure 2.61図 2.61

You will see displayed both a population standard deviation, σ_x, and the sample standard deviation, s_x.

母標準偏差σ_xと標本標準偏差s_xの両方が表示される。

Comparing Values from Different Data Sets異なるデータセットの値を比較する

The standard deviation is useful when comparing data values that come from different data sets. If the data sets have different means and standard deviations, then comparing the data values directly can be misleading.

英語のヒント

異なるデータセットに属する値を比べる際には、標準偏差が役立つ。それぞれの平均値や標準偏差が異なるとき、値を直接比べると誤解を招くことがある。

For each data value, calculate how many standard deviations away from its mean the value is.
各データの値が、それぞれの平均から標準偏差何個分離れているかを計算する。
Use the formula: value = mean + (#ofSTDEVs)(standard deviation); solve for #ofSTDEVs.
値＝平均値＋(#ofSTDEVs)(標準偏差)を使い、#ofSTDEVsについて解く。
$# o f S T D E V s = \frac{value – mean}{standard deviation}$
$# o f S T D E V s = \frac{値 – 平均値}{標準偏差}$
Compare the results of this calculation.
この計算の結果を比較する。

#ofSTDEVs is often called a "z-score"; we can use the symbol z. In symbols, the formulas become:

#ofSTDEVsは「zスコア」と呼ばれることが多く、記号zで表せる。公式を記号で書くと、次のようになる。

Table 2.73表 2.73
Sample 標本	$x$ = $\bar{x}$ + zs $x$ ＝ $\bar{x}$ ＋zs	$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$
Population 母集団	$x$ = $μ$ + zσ	$z = \frac{x - μ}{σ}$

Example 2.35例題 2.35

Two students, John and Ali, from different high schools, wanted to find out who had the highest GPA when compared to his school. Which student had the highest GPA when compared to his school?

異なる高校に通うジョンとアリは、それぞれの学校の中で比べた場合、どちらのGPA（成績平均値）が高いかを知りたいと考えた。自分の学校と比べたとき、GPAが高いのはどちらか。

Table 2.74表 2.74
Student 生徒	GPA	School Mean GPA 学校の平均GPA	School Standard Deviation 学校の標準偏差
John ジョン	2.85	3.0	0.7
Ali アリ	77	80	10

Solution解き方

For each student, determine how many standard deviations (#ofSTDEVs) his GPA is away from the average, for his school. Pay careful attention to signs when comparing and interpreting the answer.

各生徒について、GPAが自分の学校の平均から標準偏差何個分（#ofSTDEVs）離れているかを求める。答えを比較して解釈するときは、符号に十分注意する。

z = # of STDEVs = \frac{value - mean}{standard deviation} = \frac{x - μ}{σ}

z = # of STDEVs = \frac{値 - 平均値}{標準偏差} = \frac{x - μ}{σ}

For John,

z = # o f S T D E V s = \frac{2.85 - 3.0}{0.7} = - 0.21

ジョンの場合、

z = # o f S T D E V s = \frac{2.85 - 3.0}{0.7} = - 0.21

。

For Ali,

z = # o f S T D E V s = \frac{77 - 80}{10} = - 0.3

アリの場合、

z = # o f S T D E V s = \frac{77 - 80}{10} = - 0.3

。

John has the better GPA when compared to his school because his GPA is 0.21 standard deviations below his school's mean while Ali's GPA is 0.3 standard deviations below his school's mean.

ジョンのGPAは学校平均を標準偏差0.21個分下回るのに対し、アリは学校平均を0.3個分下回る。そのため、自分の学校との比較では、ジョンのGPAの方がよい。

John's z-score of –0.21 is higher than Ali's z-score of –0.3. For GPA, higher values are better, so we conclude that John has the better GPA when compared to his school.

ジョンのzスコア−0.21は、アリの−0.3より高い。GPAは高い方がよいので、自分の学校との比較では、ジョンのGPAの方がよいと結論できる。

Try Itやってみよう

Two swimmers, Angie and Beth, from different teams, wanted to find out who had the fastest time for the 50 meter freestyle when compared to her team. Which swimmer had the fastest time when compared to her team?

異なるチームの水泳選手アンジーとベスは、それぞれのチームと比べた場合、どちらの50メートル自由形のタイムが速いかを知りたいと考えた。自分のチームとの比較で、タイムが速いのはどちらか。

Table 2.75表 2.75
Swimmer 水泳選手	Time (seconds) タイム（秒）	Team Mean Time チームの平均タイム	Team Standard Deviation チームの標準偏差
Angie アンジー	26.2	27.2	0.8
Beth ベス	27.3	30.1	1.4

The following lists give a few facts that provide a little more insight into what the standard deviation tells us about the distribution of the data.

英語のヒント

以下に挙げる事実から、標準偏差がデータの分布について何を教えるかを、もう少し深く理解できる。

For ANY data set, no matter what the distribution of the data is:どのような分布であっても、すべてのデータセットについて：

At least 75% of the data is within two standard deviations of the mean.
データの少なくとも75%は、平均から標準偏差2つ分以内にある。
At least 89% of the data is within three standard deviations of the mean.
データの少なくとも89%は、平均から標準偏差3つ分以内にある。
At least 95% of the data is within 4.5 standard deviations of the mean.
データの少なくとも95%は、平均から標準偏差4.5個分以内にある。
This is known as Chebyshev's Rule.
これはチェビシェフの法則と呼ばれる。

For data having a distribution that is BELL-SHAPED and SYMMETRIC:釣鐘型で対称な分布を持つデータについて：

Approximately 68% of the data is within one standard deviation of the mean.
データの約68%は、平均から標準偏差1つ分以内にある。
Approximately 95% of the data is within two standard deviations of the mean.
データの約95%は、平均から標準偏差2つ分以内にある。
More than 99% of the data is within three standard deviations of the mean.
データの99%超は、平均から標準偏差3つ分以内にある。
This is known as the Empirical Rule.
これは経験則と呼ばれる。
It is important to note that this rule only applies when the shape of the distribution of the data is bell-shaped and symmetric. We will learn more about this when studying the "Normal" or "Gaussian" probability distribution in later chapters.
この法則が適用できるのは、データの分布が釣鐘型で対称な場合に限られる点に注意しよう。後の章で「正規分布」、別名「ガウス分布」という確率分布を学ぶ際に、詳しく扱う。