プリンキピア

第2章記述統計

2.5 Measures of the Center of the Data2.5　データの中心を表す指標

The "center" of a data set is also a way of describing location. The two most widely used measures of the "center" of the data are the mean (average) and the median. To calculate the mean weight of 50 people, add the 50 weights together and divide by 50. To find the median weight of the 50 people, order the data and find the number that splits the data into two equal parts. The median is generally a better measure of the center when there are extreme values or outliers because it is not affected by the precise numerical values of the outliers. The mean is the most common measure of the center.
データセットの「中心」も、位置の記述の1つである。中心の指標として最も広く用いられるのは、平均値と中央値である。50人の平均体重を求めるには、50人分の体重を足して50で割る。体重の中央値を求めるには、順序に並べてデータを2等分する数を探す。極端値や外れ値がある場合、一般に中央値の方が中心の指標として適している。外れ値の具体的な数値に影響されないからである。中心の指標として最も一般的なのは平均値である。
When each value in the data set is not unique, the mean can be calculated by multiplying each distinct value by its frequency and then dividing the sum by the total number of data values. The letter used to represent the sample mean is an x with a bar over it (pronounced “x bar”): x – .
データセットで同じ値が繰り返される場合、それぞれ異なる値にその度数を掛け、その合計をデータ総数で割って平均を求められる。標本平均は、xの上に横棒を付けた x – という文字で表し、「エックス・バー」と読む。
The Greek letter μ (pronounced "mew") represents the population mean. One of the requirements for the sample mean to be a good estimate of the population mean is for the sample taken to be truly random.
ギリシャ文字μ（ミュー）は母平均を表す。標本平均が母平均のよい推定値になるための条件の1つは、標本が真に無作為に抽出されていることである。
To see that both ways of calculating the mean are the same, consider the sample:
1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4
平均を求める2つの方法が同じになることを、次の標本で確かめよう。1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4
x ¯ = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 11 = 2.7
x ¯ = 3(1)+2(2)+1(3)+5(4) 11 =2.7
In the second calculation, the frequencies are 3, 2, 1, and 5.
2つ目の計算で使う度数は、3、2、1、5である。
You can quickly find the location of the median by using the expression n + 1 2 .
式 n + 1 2 を使えば、中央値の位置をすばやく求められる。
The letter n is the total number of data values in the sample. If n is an odd number, the median is the middle value of the ordered data (ordered smallest to largest). If n is an even number, the median is equal to the two middle values added together and divided by two after the data has been ordered. For example, if the total number of data values is 97, then n + 1 2 = 97 + 1 2 = 49. The median is the 49th value in the ordered data. If the total number of data values is 100, then n + 1 2 = 100 + 1 2 = 50.5. The median occurs midway between the 50th and 51st values. The location of the median and the value of the median are not the same. The upper case letter M is often used to represent the median. The next example illustrates the location of the median and the value of the median.
英語のヒント
nは標本のデータ総数である。nが奇数なら、中央値は小さい順に並べたデータの中央の値である。nが偶数なら、並べたデータの中央2つの値を足して2で割ったものが中央値となる。例えば、データが97個なら、 n + 1 2 ＝ 97 + 1 2 ＝49となる。中央値は、並べたデータの第49番目の値である。100個なら、 n + 1 2 ＝ 100 + 1 2 ＝50.5であり、中央値は第50番目と第51番目の値の中間にある。中央値の位置と、中央値そのものは同じではない。中央値は大文字のMで表すことが多い。次の例で、この位置と値を示す。
Example 2.26例題 2.26
A hospital administrator keeps track of the ages (in years) of patients visiting the emergency room over a one-week period (data are sorted from smallest to largest):
3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47;
Calculate the mean and the median.
英語のヒント
病院の管理者が、1週間に救急外来を訪れた患者の年齢を記録した。小さい順に示す。3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47。平均値と中央値を計算せよ。
Solution解き方
The calculation for the mean is:
平均値の計算は次のとおりである。
x ¯ = [ 3 + 4 + ( 8 ) ( 2 ) + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + ( 15 ) ( 2 ) + ( 16 ) ( 2 ) + ... + 35 + 37 + 40 + ( 44 ) ( 2 ) + 47 ] 40 = 23.6
To find the median, M, first use the formula for the location. The location is:
n + 1 2 = 40 + 1 2 = 20.5
Starting at the smallest value, the median is located between the 20th and 21st values (the two 24s):
3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47;
x ¯ = [ 3 + 4 + ( 8 ) ( 2 ) + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + ( 15 ) ( 2 ) + ( 16 ) ( 2 ) + ... + 35 + 37 + 40 + ( 44 ) ( 2 ) + 47 ] 40 = 23.6 中央値Mを求めるには、まず位置の公式を使う。位置は n + 1 2 = 40 + 1 2 = 20.5 となる。小さい方から数えて第20番目と第21番目、つまり2つの24の間に中央値がある。3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47;
M = 24 + 24 2 = 24
Using the Calculator電卓の操作
Example 2.27例題 2.27
Suppose that in a small town of 50 people, one person earns $5,000,000 per year and the other 49 each earn $30,000. Which is the better measure of the "center": the mean or the median?
人口50人の小さな町で、1人の年収が5,000,000ドル、残る49人は各30,000ドルだとする。「中心」を表すのに適しているのは、平均値と中央値のどちらか。
Solution解き方
x ¯ = 5,000,000+49(30,000) 50 =129,400
M = 30,000
(There are 49 people who earn $30,000 and one person who earns $5,000,000.)
（30,000ドルを稼ぐ人が49人、5,000,000ドルを稼ぐ人が1人いる。）
The median is a better measure of the "center" than the mean because 49 of the values are 30,000 and one is 5,000,000. The 5,000,000 is an outlier. The 30,000 gives us a better sense of the middle of the data.
49個の値が30,000、1個が5,000,000なので、平均値より中央値の方が「中心」の指標としてよい。5,000,000は外れ値であり、30,000の方がデータの中央をよく伝える。
Another measure of the center is the mode. The mode is the most frequent value. There can be more than one mode in a data set as long as those values have the same frequency and that frequency is the highest. A data set with two modes is called bimodal.
英語のヒント
中心の別の指標として最頻値がある。これは、最も頻繁に現れる値である。複数の値の度数が同じで、それが最大なら、最頻値は複数存在できる。最頻値を2つ持つデータセットを二峰性という。
Example 2.28例題 2.28
Statistics exam scores for 20 students are as follows:
学生20人の統計学の試験の点数は次のとおりである。
  • 50
  • 53
  • 59
  • 59
  • 63
  • 63
  • 72
  • 72
  • 72
  • 72
  • 72
  • 76
  • 78
  • 81
  • 83
  • 84
  • 84
  • 84
  • 90
  • 93
Find the mode.
最頻値を求めよ。
Solution解き方
The most frequent score is 72, which occurs five times. Mode = 72.
最も多い点数は72で、5回現れる。最頻値＝72。
Example 2.29例題 2.29
Five real estate exam scores are 430, 430, 480, 480, 495. The data set is bimodal because the scores 430 and 480 each occur twice.
不動産の試験の5人の点数は、430、430、480、480、495である。430と480がそれぞれ2回現れるので、このデータセットは二峰性である。
When is the mode the best measure of the "center"? Consider a weight loss program that advertises a mean weight loss of six pounds the first week of the program. The mode might indicate that most people lose two pounds the first week, making the program less appealing.
英語のヒント
最頻値が「中心」の最適な指標になるのは、どんなときだろうか。最初の1週間で平均6ポンド減量できるとうたう減量プログラムを考える。最頻値を見ると、最も多いのは2ポンドの減量で、プログラムの魅力が薄れるかもしれない。
Statistical software will easily calculate the mean, the median, and the mode. Some graphing calculators can also make these calculations. In the real world, people make these calculations using software.
統計ソフトウェアを使えば、平均値、中央値、最頻値は簡単に計算できる。対応するグラフ電卓もある。実務では、こうした計算はソフトウェアで行う。