第2章記述統計

References参考文献

Data from Microsoft Bookshelf.

データ出典：Microsoft Bookshelf。

King, Bill.“Graphically Speaking.” Institutional Research, Lake Tahoe Community College. Available online at http://www.ltcc.edu/web/about/institutional-research (accessed April 3, 2013).

King, Bill. “Graphically Speaking.” Lake Tahoe Community College、Institutional Research。http://www.ltcc.edu/web/about/institutional-research（2013年4月3日閲覧）。

Chapter Review章の復習

The standard deviation can help you calculate the spread of data. There are different equations to use if are calculating the standard deviation of a sample or of a population.

標準偏差を使うと、データの散らばりを計算できる。標本の標準偏差を求める場合と、母集団の標準偏差を求める場合とでは、用いる式が異なる。

The Standard Deviation allows us to compare individual data or classes to the data set mean numerically.
標準偏差を使うと、個々のデータや階級を、データセットの平均と数値で比較できる。
s = $\sqrt{\frac{\sum^{} {(x - \bar{x})}^{2}}{n - 1}}$ or s = $\sqrt{\frac{\sum^{} f {(x - \bar{x})}^{2}}{n - 1}}$ is the formula for calculating the standard deviation of a sample. To calculate the standard deviation of a population, we would use the population mean, μ, and the formula σ = $\sqrt{\frac{\sum^{} {(x - μ)}^{2}}{N}}$ or σ = $\sqrt{\frac{\sum^{} f {(x - μ)}^{2}}{N}}$ .
標本の標準偏差を求める公式は、s＝ $\sqrt{\frac{\sum^{} {(x - \bar{x})}^{2}}{n - 1}}$ またはs＝ $\sqrt{\frac{\sum^{} f {(x - \bar{x})}^{2}}{n - 1}}$ である。母集団の標準偏差を求めるには、母平均μを使い、σ＝ $\sqrt{\frac{\sum^{} {(x - μ)}^{2}}{N}}$ またはσ＝ $\sqrt{\frac{\sum^{} f {(x - μ)}^{2}}{N}}$ とする。

Formula Review公式の復習

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum f m^{2}}{n} - {\bar{x}}^{2}}

where

\begin{array}{l} s_{x} = sample standard deviation \\ \bar{x} = sample mean \end{array}

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum f m^{2}}{n} - {\bar{x}}^{2}}

。ここで、

\begin{array}{l} s_{x} = 標本標準偏差 \\ \bar{x} = 標本平均 \end{array}

。

Exercises 94–97練習問題 94–97

Use the following information to answer the next two exercises: The following data are the distances between 20 retail stores and a large distribution center. The distances are in miles.
29; 37; 38; 40; 58; 67; 68; 69; 76; 86; 87; 95; 96; 96; 99; 106; 112; 127; 145; 150

英語のヒント

次の2問には、以下の情報を使え。データは、20の小売店から大きな配送センターまでの距離をマイルで示したものである。29; 37; 38; 40; 58; 67; 68; 69; 76; 86; 87; 95; 96; 96; 99; 106; 112; 127; 145; 150

Exercise 94問題 94

Use a graphing calculator or computer to find the standard deviation and round to the nearest tenth.

グラフ電卓かコンピューターで標準偏差を求め、小数第1位まで丸めよ。

Solution解き方

s = 34.5

Exercise 95問題 95

Find the value that is one standard deviation below the mean.

平均より標準偏差1つ分小さい値を求めよ。

Exercise 96問題 96

Two baseball players, Fredo and Karl, on different teams wanted to find out who had the higher batting average when compared to his team. Which baseball player had the higher batting average when compared to his team?

異なるチームの野球選手フレドとカールは、それぞれのチームと比べた場合、どちらの打率が高いかを知りたいと考えた。自分のチームとの比較で、打率が高いのはどちらか。

Table 2.76表 2.76
Baseball Player 野球選手	Batting Average 打率	Team Batting Average チームの打率	Team Standard Deviation チームの標準偏差
Fredo フレド	0.158	0.166	0.012
Karl カール	0.177	0.189	0.015

Solution解き方

For Fredo: z =

\frac{0.158 – 0.166}{0.012}

= –0.67

フレド：z＝

\frac{0.158 – 0.166}{0.012}

＝−0.67

For Karl: z =

\frac{0.177 – 0.189}{0.015}

= –0.8

カール：z＝

\frac{0.177 – 0.189}{0.015}

＝−0.8

Fredo’s z-score of –0.67 is higher than Karl’s z-score of –0.8. For batting average, higher values are better, so Fredo has a better batting average compared to his team.

フレドのzスコア−0.67は、カールの−0.8より高い。打率は高い方がよいので、自分のチームとの比較では、フレドの打率の方がよい。

Exercise 97問題 97

Use Table 2.76 to find the value that is three standard deviations:

表2.76を使い、平均から標準偏差3つ分だけ次の方向に離れた値を求めよ。

above the mean
平均より上
below the mean
平均より下

Exercises 98練習問題 98

Find the standard deviation for the following frequency tables using the formula. Check the calculations with the TI 83/84.

公式を使い、次の度数分布表の標準偏差を求めよ。TI-83/84で計算を確認せよ。

Exercise 98問題 98

Find the standard deviation for the following frequency tables using the formula. Check the calculations with the TI 83/84.

公式を使い、次の度数分布表の標準偏差を求めよ。TI-83/84で計算を確認せよ。

Grade
点数

Frequency
度数

49.5–59.5

2

59.5–69.5

3

69.5–79.5

8

79.5–89.5

12

89.5–99.5

5

Table 2.77表 2.77
Daily Low Temperature
日最低気温

Frequency
度数

49.5–59.5

53

59.5–69.5

32

69.5–79.5

15

79.5–89.5

1

89.5–99.5

0

Table 2.78表 2.78
Points per Game
1試合当たりの得点

Frequency
度数

49.5–59.5

14

59.5–69.5

32

69.5–79.5

15

79.5–89.5

23

89.5–99.5

2

Table 2.79表 2.79

Table 2.77表 2.77
Grade 点数	Frequency 度数
49.5–59.5	2
59.5–69.5	3
69.5–79.5	8
79.5–89.5	12
89.5–99.5	5

Table 2.78表 2.78
Daily Low Temperature 日最低気温	Frequency 度数
49.5–59.5	53
59.5–69.5	32
69.5–79.5	15
79.5–89.5	1
89.5–99.5	0

Table 2.79表 2.79
Points per Game 1試合当たりの得点	Frequency 度数
49.5–59.5	14
59.5–69.5	32
69.5–79.5	15
79.5–89.5	23
89.5–99.5	2

Solution解き方

$s_{x} = \sqrt{\frac{\sum f m^{2}}{n} - {\bar{x}}^{2}} = \sqrt{\frac{193157.45}{30} - {79.5}^{2}} = 10.88$
$s_{x} = \sqrt{\frac{\sum f m^{2}}{n} - {\bar{x}}^{2}} = \sqrt{\frac{380945.3}{101} - {60.94}^{2}} = 7.62$
$s_{x} = \sqrt{\frac{\sum f m^{2}}{n} - {\bar{x}}^{2}} = \sqrt{\frac{440051.5}{86} - {70.66}^{2}} = 11.14$

Homework宿題

Exercises 99–112練習問題 99–112

Use the following information to answer the next nine exercises: The population parameters below describe the full-time equivalent number of students (FTES) each year at a local community college over a 29-year period.

次の9問には、以下の情報を使え。下記の母数は、ある地域のコミュニティカレッジにおける29年間の各年のフルタイム換算学生数（FTES）を表す。

μ = 1000 FTES
μ＝1,000 FTES
median = 1,014 FTES
中央値＝1,014 FTES
σ = 474 FTES
σ＝474 FTES
first quartile = 528.5 FTES
第1四分位数＝528.5 FTES
third quartile = 1,447.5 FTES
第3四分位数＝1,447.5 FTES
n = 29 years
n＝29年

Exercise 99問題 99

A sample of 11 years is taken. About how many are expected to have a FTES of 1014 or above? Explain how you determined your answer.

11年分を標本として取り出す。FTESが1,014以上となる年は、およそ何年分と予想されるか。求め方を説明せよ。

Solution解き方

The median value is the middle value in the ordered list of data values. The median value of a set of 11 will be the 6th number in order. Six years will have totals at or above the median.

中央値は、値を順に並べたときの中央の値である。11個のデータの中央値は、小さい方から6番目となる。6年分の合計学生数が中央値以上になる。

Exercise 100問題 100

75% of all years have an FTES:

全期間の75%の年では、FTESは次の値の範囲にある。

at or below: _____
_____以下
at or above: _____
_____以上

Exercise 101問題 101

The population standard deviation = _____

母標準偏差＝_____

Solution解き方

474 FTES

Exercise 102問題 102

What percent of the FTES were from 528.5 to 1447.5? How do you know?

FTESの何%が528.5～1,447.5の間にあったか。どうして分かるか。

Exercise 103問題 103

What is the IQR? What does the IQR represent?

IQRはいくつか。また、何を表すか。

Solution解き方

919

Exercise 104問題 104

How many standard deviations away from the mean is the median?

中央値は平均値から標準偏差何個分離れているか。

Additional Information: The population FTES for a specific six-year period was given in an updated report. The data are reported here.

追加情報：更新された報告書に、ある6年間の母集団のFTESが示された。そのデータを以下に示す。

Table 2.80表 2.80
Year 年	1	2	3	4	5	6
Total FTES FTES合計	1,585	1,690	1,735	1,935	2,021	1,890

Exercise 105問題 105

Calculate the mean, median, standard deviation, the first quartile, the third quartile and the IQR. Round to one decimal place.

平均値、中央値、標準偏差、第1四分位数、第3四分位数、IQRを求め、小数第1位まで丸めよ。

Solution解き方

mean = 1,809.3
平均値＝1,809.3
median = 1,812.5
中央値＝1,812.5
standard deviation = 151.2
標準偏差＝151.2
first quartile = 1,690
第1四分位数＝1,690
third quartile = 1,935
第3四分位数＝1,935
IQR = 245
IQR＝245

Exercise 106問題 106

What additional information is needed to construct a box plot for the FTES for Years 1 to 6 and a box plot for the 29-year period shown earlier?

1～6年目のFTESの箱ひげ図と、先に示した29年間の箱ひげ図を描くには、ほかにどのような情報が必要か。

Exercise 107問題 107

Compare the IQR for the previous 29-year period with the IQR for the six-year period shown in Table 2.80. Why do you suppose the IQRs are so different?

先の29年間のIQRと、表2.80の6年間のIQRを比較せよ。なぜこれほど違うと考えられるか。

Solution解き方

Hint: Think about the number of years covered by each time period and what happened to higher education during those periods.

ヒント：各期間が何年間にわたるか、その間に高等教育で何が起こったかを考えよう。

Exercise 108問題 108

Three students were applying to the same graduate school. They came from schools with different grading systems. Which student had the best GPA when compared to other students at his school? Explain how you determined your answer.

成績評価の仕組みが異なる学校から、3人の学生が同じ大学院に出願した。それぞれの学校の学生と比較した場合、GPAが最もよいのは誰か。求め方を説明せよ。

Table 2.81表 2.81
Student 生徒	GPA	School Average GPA 学校の平均GPA	School Standard Deviation 学校の標準偏差
Thuy トゥイ	2.7	3.2	0.8
Vichet ヴィチェット	87	75	20
Kamala カマラ	8.6	8	0.4

Exercise 109問題 109

A music school has budgeted to purchase three musical instruments. They plan to purchase a piano costing $3,000, a guitar costing $550, and a drum set costing $600. The mean cost for a piano is $4,000 with a standard deviation of $2,500. The mean cost for a guitar is $500 with a standard deviation of $200. The mean cost for drums is $700 with a standard deviation of $100. Which cost is the lowest, when compared to other instruments of the same type? Which cost is the highest when compared to other instruments of the same type. Justify your answer.

英語のヒント

ある音楽学校が、3つの楽器を購入する予算を組んだ。3,000ドルのピアノ、550ドルのギター、600ドルのドラムセットを買う予定である。ピアノの平均価格は4,000ドル、標準偏差は2,500ドルである。ギターの平均価格は500ドル、標準偏差は200ドル、ドラムの平均価格は700ドル、標準偏差は100ドルである。それぞれ同種の楽器と比較したとき、最も安いのはどれか。最も高いのはどれか。答えの根拠を示せ。

Solution解き方

For pianos, the cost of the piano is 0.4 standard deviations BELOW the mean. For guitars, the cost of the guitar is 0.25 standard deviations ABOVE the mean. For drums, the cost of the drum set is 1.0 standard deviations BELOW the mean. Of the three, the drums cost the lowest in comparison to the cost of other instruments of the same type. The guitar costs the most in comparison to the cost of other instruments of the same type.

ピアノの価格は平均より標準偏差0.4個分低く、ギターは0.25個分高く、ドラムセットは1.0個分低い。3つの中で、同種の楽器との比較で最も安いのはドラム、最も高いのはギターである。

Exercise 110問題 110

An elementary school class ran one mile with a mean of 11 minutes and a standard deviation of three minutes. Rachel, a student in the class, ran one mile in eight minutes. A junior high school class ran one mile with a mean of nine minutes and a standard deviation of two minutes. Kenji, a student in the class, ran 1 mile in 8.5 minutes. A high school class ran one mile with a mean of seven minutes and a standard deviation of four minutes. Nedda, a student in the class, ran one mile in eight minutes.

ある小学校のクラスの1マイル走は、平均11分、標準偏差3分だった。クラスの生徒レイチェルは8分で走った。ある中学校のクラスは平均9分、標準偏差2分で、生徒ケンジは8.5分で走った。ある高校のクラスは平均7分、標準偏差4分で、生徒ネダは8分で走った。

Why is Kenji considered a better runner than Nedda, even though Nedda ran faster than he?
ネダの方が速く走ったのに、なぜケンジの方が優れた走者とみなされるのか。
Who is the fastest runner with respect to their class? Explain why.
自分のクラスとの比較で最も速い走者は誰か。理由を説明せよ。

Exercise 111問題 111

A selection of countries has poverty rates that range from 11.4% to 74.6%. This data is summarized in Table 2.76.

選んだ国々の貧困率は11.4%～74.6%の範囲にある。データを表2.76にまとめる。

Table 2.82表 2.82
Percent of Population 人口の百分率	Number of Countries 国数
11.4–20.45	29
20.45–29.45	13
29.45–38.45	4
38.45–47.45	0
47.45–56.45	2
56.45–65.45	1
65.45–74.45	0
74.45–83.45	1

What is the best estimate of the average poverty percentage for these countries? What is the standard deviation for the listed poverty rates? The United States has an average poverty rate of 33.9%. Is this rate above average or below? How “unusual” is the United States’ rate compared to the average rate? Explain.

これらの国々の平均貧困率の最善の推定値はいくつか。示された貧困率の標準偏差はいくつか。米国の平均貧困率は33.9%である。これは平均より高いか、低いか。米国の率は平均と比べてどれほど「普通でない」か。説明せよ。

Solution解き方

$\bar{x} = 23.32$
Using the TI 83/84, we obtain a standard deviation of: $s_{x} = 12.95.$
TI-83/84を使うと、標準偏差は $s_{x} = 12.95$ と求まる。
The poverty rate of the United States is 10.58% higher than the average rate.
米国の貧困率は平均より10.58ポイント高い。
Since the standard deviation is 12.95, we see that 23.32 + 12.95 = 36.27 is the poverty percentage that is one standard deviation from the mean. The United States rate is slightly less than one standard deviation from the mean. Therefore, we can assume that the United States does not have an unusually high percentage of people experiencing poverty.
標準偏差は12.95なので、平均から標準偏差1つ分高い貧困率は23.32＋12.95＝36.27となる。米国の率の平均からの距離は、標準偏差1つ分より少し小さい。したがって、米国の貧困状態にある人の割合は、異常に高いわけではないと考えられる。

Exercise 112問題 112

Table 2.83 gives the percent of children under five considered to be underweight.

表2.83は、5歳未満の子どものうち、低体重とみなされる割合を示す。

Table 2.83表 2.83
Percent of Underweight Children 低体重の子どもの百分率	Number of Countries 国数
16–21.45	23
21.45–26.9	4
26.9–32.35	9
32.35–37.8	7
37.8–43.25	6
43.25–48.7	1

What is the best estimate for the mean percentage of underweight children? What is the standard deviation? Which interval(s) could be considered unusual? Explain.

低体重の子どもの割合について、平均の最善の推定値はいくつか。標準偏差はいくつか。通常とは異なると考えられる階級はどれか。説明せよ。