第2章記述統計

The Law of Large Numbers and the Mean大数の法則と平均値

The Law of Large Numbers says that if you take samples of larger and larger size from any population, then the mean

\bar{x}

of the sample is very likely to get closer and closer to µ. This is discussed in more detail later in the text.

大数の法則によれば、どの母集団からでも、標本の大きさを増やしていくと、標本平均

\bar{x}

がμにますます近づく可能性が非常に高くなる。本書の後で、さらに詳しく扱う。

Sampling Distributions and Statistic of a Sampling Distribution標本分布と、その統計量

You can think of a sampling distribution as a relative frequency distribution with a great many samples. (See Sampling and Data for a review of relative frequency). Suppose thirty randomly selected students were asked the number of movies they watched the previous week. The results are in the relative frequency table shown below.

標本分布は、非常に多くの標本による相対度数分布と考えられる。（相対度数の復習は「標本抽出とデータ」を参照。）無作為に選んだ学生30人に、前の週に見た映画の本数を尋ねたとする。結果を以下の相対度数表に示す。

Table 2.57表 2.57
# of movies 映画の本数	Relative Frequency 相対度数
0	$\frac{5}{30}$
1	$\frac{15}{30}$
2	$\frac{6}{30}$
3	$\frac{3}{30}$
4	$\frac{1}{30}$

If you let the number of samples get very large (say, 300 million or more), the relative frequency table becomes a relative frequency distribution.

標本数を非常に大きくすると（例えば3億以上）、相対度数表は相対度数分布になる。

A statistic is a number calculated from a sample. Statistic examples include the mean, the median and the mode as well as others. The sample mean

\bar{x}

is an example of a statistic which estimates the population mean μ.

統計量とは、標本から計算する数値である。平均値、中央値、最頻値などがその例である。標本平均

\bar{x}

は、母平均μを推定する統計量の一例である。

Calculating the Mean of Grouped Frequency Tables階級にまとめた度数表から平均を計算する

When only grouped data is available, you do not know the individual data values (we only know intervals and interval frequencies); therefore, you cannot compute an exact mean for the data set. What we must do is estimate the actual mean by calculating the mean of a frequency table. A frequency table is a data representation in which grouped data is displayed along with the corresponding frequencies. To calculate the mean from a grouped frequency table we can apply the basic definition of mean: mean =

\frac{data sum}{number of data values}

We simply need to modify the definition to fit within the restrictions of a frequency table.

英語のヒント

階級にまとめたデータしかない場合、区間とその度数だけが分かり、個々の値は分からない。したがって、正確な平均値は計算できない。度数表から平均を計算し、実際の平均値を推定する必要がある。度数表は、階級にまとめたデータと対応する度数を一緒に示す表現である。平均の基本的な定義、平均値＝

\frac{データの合計}{データの個数}

を適用できる。この定義を、度数表の制約に合うように調整すればよい。

Since we do not know the individual data values we can instead find the midpoint of each interval. The midpoint is

\frac{lower boundary + upper boundary}{2}

. We can now modify the mean definition to be

Mean of Frequency Table = \frac{\sum f m}{\sum f}

where f = the frequency of the interval and m = the midpoint of the interval.

個々の値が分からないので、代わりに各区間の中点を求める。中点は

\frac{下側境界値 + 上側境界値}{2}

である。平均の定義を

度数表の平均値 = \frac{\sum f m}{\sum f}

と書き換えられる。ここで、fは区間の度数、mは区間の中点である。

Example 2.30例題 2.30

A frequency table displaying professor Blount’s last statistic test is shown. Find the best estimate of the class mean.

ブラウント教授の直近の統計学の試験を示す度数表がある。クラスの平均値の最良の推定値を求めよ。

Table 2.58表 2.58
Grade Interval 点数の区間	Number of Students 学生数
50–56.5	1
56.5–62.5	0
62.5–68.5	4
68.5–74.5	4
74.5–80.5	2
80.5–86.5	3
86.5–92.5	4
92.5–98.5	1

Solution解き方

Find the midpoints for all intervals
すべての区間の中点を求める。

Table 2.59表 2.59
Grade Interval 点数の区間	Midpoint 中点
50–56.5	53.25
56.5–62.5	59.5
62.5–68.5	65.5
68.5–74.5	71.5
74.5–80.5	77.5
80.5–86.5	83.5
86.5–92.5	89.5
92.5–98.5	95.5

Calculate the sum of the product of each interval frequency and midpoint. $\sum^{} f m$
$53.25 (1) + 59.5 (0) + 65.5 (4) + 71.5 (4) + 77.5 (2) + 83.5 (3) + 89.5 (4) + 95.5 (1) = 1460.25$
各区間の度数と中点の積を足し合わせる。 $\sum^{} f m$ $53.25 (1) + 59.5 (0) + 65.5 (4) + 71.5 (4) + 77.5 (2) + 83.5 (3) + 89.5 (4) + 95.5 (1) = 1460.25$
$μ = \frac{\sum f m}{\sum f} = \frac{1460.25}{19} = 76.86$

Try Itやってみよう

A researcher conducted a study on the effect that playing video games has on memory recall. As part of the study, they compiled the following data:

英語のヒント

研究者が、ビデオゲームが記憶の想起に及ぼす影響を調べた。研究の一環として、次のデータをまとめた。

Table 2.60表 2.60
Hours Teenagers Spend on Video Games 10代の若者がビデオゲームに費やす時間	Number of Teenagers 10代の若者の人数
0–3.5	3
3.5–7.5	7
7.5–11.5	12
11.5–15.5	7
15.5–19.5	9

What is the best estimate for the mean number of hours spent playing video games?

ビデオゲームに費やす平均時間の最良の推定値はいくつか。

References参考文献

Data from The World Bank, available online at http://www.worldbank.org (accessed April 3, 2013).

データ出典：世界銀行。http://www.worldbank.org（2013年4月3日閲覧）。

“Demographics: Obesity – adult prevalence rate.” Indexmundi. Available online at http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2228&l=en (accessed April 3, 2013).

「人口統計：肥満―成人の有病割合」、Indexmundi。http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2228&l=en（2013年4月3日閲覧）。

Chapter Review章の復習

The mean and the median can be calculated to help you find the "center" of a data set. The mean is the best estimate for the actual data set, but the median is the best measurement when a data set contains several outliers or extreme values. The mode will tell you the most frequently occurring datum (or data) in your data set. The mean, median, and mode are extremely helpful when you need to analyze your data, but if your data set consists of ranges which lack specific values, the mean may seem impossible to calculate. However, the mean can be approximated if you add the lower boundary with the upper boundary and divide by two to find the midpoint of each interval. Multiply each midpoint by the number of values found in the corresponding range. Divide the sum of these values by the total number of data values in the set.

平均値と中央値は、データセットの「中心」を知るのに役立つ。実際のデータセットの最良の推定値は平均値だが、外れ値や極端値がいくつか含まれる場合は、中央値が最もよい指標になる。最頻値は、最も多く現れる値を示す。これらは分析に非常に役立つが、データが区間にまとめられ、具体的な値が分からなければ、平均値は計算できないように見える。しかし、下側境界値と上側境界値を足して2で割り、各区間の中点を求めれば近似できる。各中点にその区間のデータ数を掛け、その合計をデータ総数で割る。