第9章数学モデルと幾何

9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures9.5　図形の応用問題を解く：円と不規則な図形

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Use the properties of circles
円の性質を使う
Find the area of irregular figures
不規則な図形の面積を求める

Before You Begin (3)準備問題（3題）

In this section, we’ll continue working with geometry applications. We will add several new formulas to our collection of formulas. To help you as you do the examples and exercises in this section, we will show the Problem Solving Strategy for Geometry Applications here.

この節でも図形の応用問題を扱う。これまでの公式にいくつかの新しい公式を加える。この節の例題や演習に取り組む際に役立つよう、図形の応用問題の解決手順をここに示す。

Problem Solving Strategy for Geometry Applications

図形の応用問題を解く手順

Read the problem and make sure you understand all the words and ideas. Draw the figure and label it with the given information.
問題を読み、すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Identify what you are looking for.
何を求めるのかを明らかにする。
Name what you are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
求める量を明らかにする。その量を表す変数を選ぶ。
Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information.
状況に適した公式やモデルを書き、方程式に表す。与えられた情報を代入する。
Solve the equation using good algebra techniques.
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
完全な文で問いに答える。

Use the Properties of Circles円の性質を使う

Do you remember the properties of circles from Decimals and Fractions Together? We’ll show them here again to refer to as we use them to solve applications.

「小数と分数を一緒に使う」で学んだ円の性質を覚えているだろうか。応用問題で参照できるよう、ここにもう一度示す。

Remember, that we approximate

π

with

3.14

\frac{22}{7}

depending on whether the radius of the circle is given as a decimal or a fraction. If you use the

π

key on your calculator to do the calculations in this section, your answers will be slightly different from the answers shown. That is because the

π

key uses more than two decimal places.

英語のヒント

円の半径が小数で与えられているか分数で与えられているかに応じて、

π

には

3.14

または

\frac{22}{7}

を近似値として使うことを思い出そう。この節の計算で電卓の

π

キーを使うと、答えは示されたものと少し異なる。

π

キーでは小数第2位より先の桁まで使うからである。

Example 9.41例題 9.41

A circular sandbox has a radius of

2.5

feet. Find the ⓐ circumference and ⓑ area of the sandbox.

円形の砂場の半径は

2.5

フィートである。砂場のⓐ円周とⓑ面積を求めよ。

Solution解答

ⓐ Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. ⓐ 手順1．問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the circumference of the circle 円周
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let c = circumference of the circle cを円周とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula Substitute 手順4．置き換える。適切な公式を書き、代入する。	$C = 2 π r$ $C = 2 π (2.5)$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$C \approx 2 (3.14) (2.5)$ $C \approx 15 ft$
Step 6. Check. Does this answer make sense? Yes. If we draw a square around the circle, its sides would be 5 ft (twice the radius), so its perimeter would be 20 ft. This is slightly more than the circle's circumference, 15.7 ft. 手順6．確認する。この答えは妥当か。妥当である。円の外側に正方形を描くと、その1辺は5フィート（半径の2倍）なので、周の長さは20フィートとなる。これは円周の15.7フィートより少し大きい。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The circumference of the sandbox is 15.7 feet. 砂場の円周は15.7フィートである。

ⓑ Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. ⓑ 手順1．問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the area of the circle 円の面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let A = the area of the circle Aを円の面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula Substitute 手順4．置き換える。適切な公式を書き、代入する。	$A = π r^{2}$ $A = π {(2.5)}^{2}$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$A \approx (3.14) {(2.5)}^{2}$ $A \approx 19.625 sq. ft$
Step 6. Check. Yes. If we draw a square around the circle, its sides would be 5 ft, as shown in part ⓐ. So the area of the square would be 25 sq. ft. This is slightly more than the circle's area, 19.625 sq. ft. 手順6．確認する。妥当である。円の外側に正方形を描くと、ⓐで示したように1辺は5フィートとなる。正方形の面積は25平方フィートである。これは円の面積19.625平方フィートより少し大きい。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The area of the circle is 19.625 square feet. 円の面積は19.625平方フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

We usually see the formula for circumference in terms of the radius

r

of the circle:

円周の公式は、通常、円の半径

r

を使って次のように表される。

C = 2 π r

But since the diameter of a circle is two times the radius, we could write the formula for the circumference in terms

of d .

しかし、円の直径は半径の2倍なので、円周の公式を

の d

を使って書くこともできる。

\begin{matrix} C = 2 π r \\ Using the commutative property, we get & C = π \cdot 2 r \\ Then substituting d = 2 r & C = π \cdot d \\ So & C = π d \end{matrix}

\begin{matrix} C = 2 π r \\ 交換法則を使うと、次のようになる： & C = π \cdot 2 r \\ 次に代入する： d = 2 r & C = π \cdot d \\ したがって & C = π d \end{matrix}

We will use this form of the circumference when we’re given the length of the diameter instead of the radius.

半径ではなく直径の長さが与えられているときには、この形の円周の公式を使う。

Example 9.42例題 9.42

A circular table has a diameter of four feet. What is the circumference of the table?

円形のテーブルの直径は4フィートである。テーブルの円周はいくらか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the circumference of the table テーブルの円周
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let c = the circumference of the table cをテーブルの円周とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula for the situation. Substitute. 手順4．置き換える。状況に適した公式を書き、代入する。	$C = π d$ $C = π (4)$
Step 5. Solve the equation, using 3.14 for $π .$ 手順5． $π$ を3.14として方程式を解く。	$C \approx (3.14) (4)$ $C \approx 12.56 feet$ $C \approx (3.14) (4)$ $C \approx 12.56 フィート$
Step 6. Check: If we put a square around the circle, its side would be 4. The perimeter would be 16. It makes sense that the circumference of the circle, 12.56, is a little less than 16. 手順6．確認する。円の外側に正方形を描くと、その1辺は4、周の長さは16となる。円周の12.56が16より少し小さいのは妥当である。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The diameter of the table is 12.56 feet. テーブルの直径は12.56フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.43例題 9.43

Find the diameter of a circle with a circumference of

47.1

centimeters.

円周が

47.1

センチメートルの円の直径を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the diameter of the circle 円の直径
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let d = the diameter of the circle dを円の直径とする。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。
Write the formula. Substitute, using 3.14 to approximate $π$ . 公式を書く。 $π$ の近似値を3.14として代入する。
Step 5. Solve. 手順5　解く。
Step 6. Check: 手順6　確認： $47.1 \overset{?}{=} (3.14) (15)$ $47.1 = 47.1 ✓$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The diameter of the circle is approximately 15 centimeters. 円の直径は約15センチメートルである。

Try It (2)確認問題（2題）

第9章数学モデルと幾何

9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures9.5 図形の応用問題を解く：円と不規則な図形

Learning Objectives学習目標

Use the Properties of Circles円の性質を使う

Solution解答

Solution解答

Solution解答

9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures9.5　図形の応用問題を解く：円と不規則な図形