第9章数学モデルと幾何

Solve Number Problems数についての文章題を解く

Now we will translate and solve number problems. In number problems, you are given some clues about one or more numbers, and you use these clues to build an equation. Number problems don't usually arise on an everyday basis, but they provide a good introduction to practicing the Problem Solving Strategy. Remember to look for clue words such as difference, of, and and.

英語のヒント

次に、数についての文章題を式に表して解く。この種の問題では、1つ以上の数について手掛かりが与えられ、それを使って方程式を作る。日常で直接出会うことはあまりないが、問題解決の手順を練習するよい導入になる。difference、of、andなどの手掛かりとなる言葉を探そう。

Example 9.4例題 9.4

The difference of a number and six is

13 .

Find the number.

ある数と6の差は

13

である。その数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Do you understand all the words? 手順1．問題を読む。すべての言葉を理解しているか。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the number 求める数
Step 3. Name. Choose a variable to represent the number. 手順3．名前を付ける。求める数を表す変数を選ぶ。	Let $n = the number$ $n = その数$ とおく。
Step 4. Translate. Restate as one sentence. Translate into an equation. 手順4．式に表す。1文に言い直し、方程式に表す。
Step 5. Solve the equation. Add 6 to both sides. Simplify. 手順5．方程式を解く。両辺に6を加え、簡単にする。
Step 6. Check: The difference of 19 and 6 is 13. It checks. 手順6．確認する。19と6の差は13であり、条件を満たす。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The number is 19. 求める数は19である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.5例題 9.5

The sum of twice a number and seven is

15 .

Find the number.

ある数の2倍と7の和は

15

である。その数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the number 求める数
Step 3. Name. Choose a variable to represent the number. 手順3．名前を付ける。求める数を表す変数を選ぶ。	Let $n = the number$ $n = その数$ とおく。
Step 4. Translate. Restate the problem as one sentence. Translate into an equation. 手順4．式に表す。問題を1文に言い直し、方程式に表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Subtract 7 from each side and simplify. 両辺から7を引き、簡単にする。
Divide each side by 2 and simplify. 両辺を2で割り、簡単にする。
Step 6. Check: is the sum of twice 4 and 7 equal to 15? 手順6．確認する。4の2倍と7の和は15に等しいか。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The number is 4. 求める数は4である。

Try It (2)確認問題（2題）

Some number word problems ask you to find two or more numbers. It may be tempting to name them all with different variables, but so far we have only solved equations with one variable. We will define the numbers in terms of the same variable. Be sure to read the problem carefully to discover how all the numbers relate to each other.

英語のヒント

2つ以上の数を求める文章題もある。すべてに別々の変数を付けたくなるかもしれないが、これまで解いてきたのは変数が1つの方程式だけである。数をすべて同じ変数で表そう。数どうしの関係を見つけるため、問題を注意深く読む。

Example 9.6例題 9.6

One number is five more than another. The sum of the numbers is twenty-one. Find the numbers.

一方の数はもう一方より5大きい。2数の和は21である。2数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。		You are looking for two numbers. 2つの数を求める。
Step 3. Name. Choose a variable to represent the first number. What do you know about the second number? Translate. 手順3．名前を付ける。1番目の数を表す変数を選ぶ。2番目の数について何がわかるか。式に表す。		Let $n = 1st number$ One number is five more than another. $n + 5 = 2^{nd} number$ $n = 1番目の数$ とする。一方の数はもう一方より5大きい。 $n + 5 = 2^{} 番目の数$
Step 4. Translate. Restate the problem as one sentence with all the important information. Translate into an equation. Substitute the variable expressions. 手順4．式に表す。重要な情報をすべて含む1文に言い直し、方程式に表す。変数を含む式を代入する。		The sum of the numbers is 21. The sum of the 1st number and the 2nd number is 21. 2数の和は21である。1番目の数と2番目の数の和は21である。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract five from both sides and simplify. 両辺から5を引き、簡単にする。
Divide by two and simplify. 2で割り、簡単にする。
Find the second number too. 2番目の数も求める。
Substitute n = 8 n＝8を代入する。

Step 6. Check: 手順6　確認：
Do these numbers check in the problem? Is one number 5 more than the other? Is thirteen, 5 more than 8? Yes. Is the sum of the two numbers 21? この2数は問題の条件を満たすか。一方はもう一方より5大きいか。13は8より5大きいか。そうである。2数の和は21か。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The numbers are 8 and 13. 2数は8と13である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.7例題 9.7

The sum of two numbers is negative fourteen. One number is four less than the other. Find the numbers.

2数の和は−14で、一方はもう一方より4小さい。2数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。		two numbers 2つの数
Step 3. Name. Choose a variable. What do you know about the second number? Translate. 手順3．名前を付ける。変数を選ぶ。2番目の数について何がわかるか。式に表す。		Let n = 1^st number One number is 4 less than the other. n - 4 = 2^nd number n＝1番目の数とする。一方の数はもう一方より4小さい。n−4＝2番目の数。
Step 4. Translate. Write as one sentence. Translate into an equation. Substitute the variable expressions. 手順4．式に表す。1文にまとめ、方程式に表す。変数を含む式を代入する。		The sum of two numbers is negative fourteen. 2数の和は−14である。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Add 4 to each side and simplify. 両辺に4を加え、簡単にする。
Divide by 2. 2で割る。
Substitute $n = −5$ to find the 2^nd number. $n = −5$ を代入して、2番目の数を求める。


Step 6. Check: 手順6　確認：
Is −9 four less than −5? Is their sum −14? −9は−5より4小さいか。和は−14か。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The numbers are −5 and −9. 2数は−5と−9である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.8例題 9.8

One number is ten more than twice another. Their sum is one. Find the numbers.

一方の数はもう一方の2倍より10大きい。和は1である。2数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。		two numbers 2つの数
Step 3. Name. Choose a variable. One number is ten more than twice another. 手順3．名前を付ける。変数を選ぶ。一方の数はもう一方の2倍より10大きい。		Let x = 1^st number 2x + 10 = 2^nd number x＝1番目の数、2x＋10＝2番目の数とする。
Step 4. Translate. Restate as one sentence. 手順4．式に表す。1文に言い直す。		Their sum is one. 2数の和は1である。
Translate into an equation 方程式に表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 10 from each side. 両辺から10を引く。
Divide each side by 3 to get the first number. 両辺を3で割って、1番目の数を求める。
Substitute to get the second number. 代入して2番目の数を求める。


Step 6. Check. 手順6．確かめる。
Is 4 ten more than twice −3? Is their sum 1? 4は−3の2倍より10大きいか。和は1か。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The numbers are −3 and 4. 2数は−3と4である。

Try It (2)確認問題（2題）

Consecutive integers are integers that immediately follow each other. Some examples of consecutive integers are:

英語のヒント

連続する整数とは、順に隣り合う整数である。いくつか例を示す。

\begin{matrix} ... 1, 2, 3, 4,... \end{matrix}

... −10, −9, −8, −7,...

... 150, 151, 152, 153,...

Notice that each number is one more than the number preceding it. So if we define the first integer as

n,

the next consecutive integer is

n + 1 .

The one after that is one more than

n + 1,

so it is

n + 1 + 1,

n + 2 .

英語のヒント

それぞれの数は直前の数より1大きい。したがって、最初の整数を

n

とすると、次の整数は

n + 1

である。その次は

n + 1

より1大きいので、

n + 1 + 1

、つまり

n + 2

である。

\begin{matrix} n & 1st integer \\ n + 1 & 2nd consecutive integer \\ n + 2 & 3rd consecutive integer \end{matrix}

\begin{matrix} n & 1番目の整数 \\ n + 1 & 連続する2番目の整数 \\ n + 2 & 連続する3番目の整数 \end{matrix}

Example 9.9例題 9.9

The sum of two consecutive integers is

47 .

Find the numbers.

連続する2つの整数の和は

47

である。その2数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。		two consecutive integers 連続する2つの整数
Step 3. Name. 手順3．名前を付ける。		Let n = 1^st integer n + 1 = next consecutive integer n＝1番目の整数、n＋1＝次の整数とする。
Step 4. Translate. Restate as one sentence. Translate into an equation. 手順4．式に表す。1文に言い直し、方程式に表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 1 from each side. 両辺から1を引く。
Divide each side by 2. 両辺を2で割る。
Substitute to get the second number. 代入して2番目の数を求める。


Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The two consecutive integers are 23 and 24. 連続する2つの整数は23と24である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.10例題 9.10

Find three consecutive integers whose sum is

42 .

和が

42

となる連続する3つの整数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。		three consecutive integers 連続する3つの整数
Step 3. Name. 手順3．名前を付ける。		Let n = 1^st integer n + 1 = 2^nd consecutive integer n + 2 = 3^rd consecutive integer n＝1番目の整数、n＋1＝連続する2番目の整数、n＋2＝連続する3番目の整数とする。
Step 4. Translate. Restate as one sentence. Translate into an equation. 手順4．式に表す。1文に言い直し、方程式に表す。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 3 from each side. 両辺から3を引く。
Divide each side by 3. 両辺を3で割る。
Substitute to get the second number. 代入して2番目の数を求める。


Substitute to get the third number. 代入して3番目の数を求める。


Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The three consecutive integers are 13, 14, and 15. 連続する3つの整数は13、14、15である。