第9章数学モデルと幾何

Volume and Surface Area of a Cube立方体の体積と表面積

A cube is a rectangular solid whose length, width, and height are equal. See Volume and Surface Area of a Cube, below. Substituting, s for the length, width and height into the formulas for volume and surface area of a rectangular solid, we get:

立方体とは、長さ、幅、高さが等しい直方体である。下の「立方体の体積と表面積」を参照せよ。直方体の体積と表面積の公式に、長さ、幅、高さとしてsを代入すると、次のようになる。

\begin{matrix} V = L W H & S = 2 L H + 2 L W + 2 W H \\ V = s \cdot s \cdot s & S = 2 s \cdot s + 2 s \cdot s + 2 s \cdot s \\ V = s^{3} & S = 2 s^{2} + 2 s^{2} + 2 s^{2} \\ S = 6 s^{2} \end{matrix}

So for a cube, the formulas for volume and surface area are

V = s^{3}

and

S = 6 s^{2} .

したがって、立方体の体積と表面積の公式は

V = s^{3}

と

S = 6 s^{2}

である。

Example 9.49例題 9.49

A cube is

2.5

inches on each side. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.

立方体の各辺は

2.5

インチである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。

Solution解答

Step 1 is the same for both ⓐ and ⓑ , so we will show it just once.

手順1はⓐとⓑで共通なので、一度だけ示す。

Step 1. Read the problem. Draw the figure and
label it with the given information.

手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。

ⓐ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the cube 立方体の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let V = volume V＝体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。	$V = s^{3}$
Step 5. Solve. Substitute and solve. 手順5．解く。代入して解く。	$V = {(2.5)}^{3}$ $V = 15.625$
Step 6. Check: Check your work. 手順6．確認する。計算過程を確認する。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume is 15.625 cubic inches. 体積は15.625立方インチである。

ⓑ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the surface area of the cube 立方体の表面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let S = surface area S＝表面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。	$S = 6 s^{2}$
Step 5. Solve. Substitute and solve. 手順5．解く。代入して解く。	$S = 6 \cdot {(2.5)}^{2}$ $S = 37.5$
Step 6. Check: The check is left to you. 手順6．確認する。確認は各自で行おう。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The surface area is 37.5 square inches. 表面積は37.5平方インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.50例題 9.50

A notepad cube measures

2

inches on each side. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.

立方体の形をしたメモ用紙の束は、各辺が

2

インチである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and
label it with the given information.

手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。

ⓐ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the cube 立方体の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let V = volume V＝体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。	$V = s^{3}$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$V = 2^{3}$ $V = 8$
Step 6. Check: Check that you did the calculations correctly. 手順6．確認する。計算が正しいことを確認する。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume is 8 cubic inches. 体積は8立方インチである。

ⓑ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the surface area of the cube 立方体の表面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let S = surface area S＝表面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。	$S = 6 s^{2}$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$S = 6 \cdot 2^{2}$ $S = 24$
Step 6. Check: The check is left to you. 手順6．確認する。確認は各自で行おう。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The surface area is 24 square inches. 表面積は24平方インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

Find the Volume and Surface Area of Spheres球の体積と表面積を求める

A sphere is the shape of a basketball, like a three-dimensional circle. Just like a circle, the size of a sphere is determined by its radius, which is the distance from the center of the sphere to any point on its surface. The formulas for the volume and surface area of a sphere are given below.

英語のヒント

球はバスケットボールの形で、立体になった円のようなものである。円と同じく、球の大きさは半径によって決まる。半径とは、球の中心から表面上の任意の点までの距離である。球の体積と表面積の公式を以下に示す。

Showing where these formulas come from, like we did for a rectangular solid, is beyond the scope of this course. We will approximate

π

with

3.14 .

英語のヒント

直方体でしたように、これらの公式の成り立ちを示すことは、この課程の範囲を超える。

π

は

3.14

で近似する。

Example 9.51例題 9.51

A sphere has a radius

6

inches. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.

球の半径は

6

インチである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。

Solution解答

Step 1 is the same for both ⓐ and ⓑ , so we will show it just once.

手順1はⓐとⓑで共通なので、一度だけ示す。

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label
it with the given information.

手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。

ⓐ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the sphere 球の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let V = volume V＝体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$V \approx \frac{4}{3} (3.14) 6^{3}$ $V \approx 904.32 cubic inches$ $V \approx \frac{4}{3} (3.14) 6^{3}$ $V \approx 904.32 立方インチ$
Step 6. Check: Double-check your math on a calculator. 手順6．確認する。電卓で計算をもう一度確認する。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume is approximately 904.32 cubic inches. 体積は約904.32立方インチである。

ⓑ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the surface area of the sphere 球の表面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let S = surface area S＝表面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。	$S = 4 π r^{2}$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$S \approx 4 (3.14) 6^{2}$ $S \approx 452.16$
Step 6. Check: Double-check your math on a calculator 手順6．確認する。電卓で計算をもう一度確認する。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The surface area is approximately 452.16 square inches. 表面積は約452.16平方インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.52例題 9.52

A globe of Earth is in the shape of a sphere with radius

14

inches. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area. Round the answer to the nearest hundredth.

地球儀は半径

14

インチの球形である。ⓐ体積とⓑ表面積を求め、四捨五入して小数第2位まで答えよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw a figure with the
given information and label it.

手順1．問題を読む。与えられた情報を使って図を描き、書き込む。

ⓐ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the sphere 球の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let V = volume V＝体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. (Use 3.14 for $π$ ) 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。（ $π$ には3.14を使う。）	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$ $V \approx \frac{4}{3} (3.14) 14^{3}$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$V \approx 11,488.21$
Step 6. Check: We leave it to you to check your calculations. 手順6．確かめる。計算の確認は読者に任せる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume is approximately 11,488.21 cubic inches. 体積は約11,488.21立方インチである。

ⓑ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the surface area of the sphere 球の表面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let S = surface area S＝表面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. (Use 3.14 for $π$ ) 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。（ $π$ には3.14を使う。）	$S = 4 π r^{2}$ $S \approx 4 (3.14) 14^{2}$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$S \approx 2461.76$
Step 6. Check: We leave it to you to check your calculations. 手順6．確かめる。計算の確認は読者に任せる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The surface area is approximately 2461.76 square inches. 表面積は約2461.76平方インチである。

Try It (2)確認問題（2題）