第9章数学モデルと幾何

Use the Properties of Rectangles長方形の性質を使う

A rectangle has four sides and four right angles. The opposite sides of a rectangle are the same length. We refer to one side of the rectangle as the length,

L,

and the adjacent side as the width,

W .

See Figure 9.19.

英語のヒント

長方形には4つの辺と4つの直角がある。向かい合う辺の長さは等しい。一方の辺を長さ

L

、それに隣り合う辺を幅

W

と呼ぶ。図9.19を参照せよ。

各角に四角い印のある長方形。上辺と下辺にはL、左右の辺にはWとある。 — Figure 9.19図 9.19
A rectangle has four sides, and four right angles. The sides are labeled L for length and W for width.
長方形には4つの辺と4つの直角がある。辺には長さを表すLと幅を表すWが記されている。

The perimeter,

P,

of the rectangle is the distance around the rectangle. If you started at one corner and walked around the rectangle, you would walk

L + W + L + W

units, or two lengths and two widths. The perimeter then is

長方形の周の長さ

P

は、長方形を一周する距離である。1つの隅から出発して一周すると、

L + W + L + W

単位、つまり長さ2つ分と幅2つ分を歩く。そのため周の長さは

\begin{matrix} P = L + W + L + W \\ or \\ P = 2 L + 2 W \end{matrix}

\begin{matrix} P = L + W + L + W \\ または \\ P = 2 L + 2 W \end{matrix}

What about the area of a rectangle? Remember the rectangular rug from the beginning of this section. It was

2

feet long by

3

feet wide, and its area was

6

square feet. See Figure 9.20. Since

A = 2 \cdot 3,

we see that the area,

A,

is the length,

L,

times the width,

W,

so the area of a rectangle is

A = L \cdot W .

長方形の面積はどうだろうか。この節の初めの長方形の敷物を思い出そう。長さ

2

フィート、幅

3

フィートで、面積は

6

平方フィートだった。図9.20を参照せよ。

A = 2 \cdot 3

なので、面積

A

は長さ

L

と幅

W

の積だとわかる。したがって、長方形の面積は

A = L \cdot W

である。

6個の正方形からなる長方形。下辺には2マス並んで2と記され、側辺には3マス並んで3と記されている。 — Figure 9.20図 9.20
The area of this rectangular rug is $6$ square feet, its length times its width.
この長方形の敷物の面積は、長さと幅の積である $6$ 平方フィートである。

For easy reference as we work the examples in this section, we will restate the Problem Solving Strategy for Geometry Applications here.

この節の例題で参照しやすいよう、図形の応用問題の解決手順をここにもう一度示す。

Use a Problem Solving Strategy for Geometry Applications図形の応用問題に問題解決の手順を使う

Read the problem and make sure you understand all the words and ideas. Draw the figure and label it with the given information.
問題を読み、すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Identify what you are looking for.
何を求めるのかを明らかにする。
Name what you are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
求める量を明らかにする。その量を表す変数を選ぶ。
Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information.
状況に適した公式やモデルを書き、方程式に表す。与えられた情報を代入する。
Solve the equation using good algebra techniques.
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
完全な文で問いに答える。

Example 9.27例題 9.27

The length of a rectangle is

32

meters and the width is

20

meters. Find ⓐ the perimeter, and ⓑ the area.

長方形の長さは

32

メートル、幅は

20

メートルである。ⓐ周の長さとⓑ面積を求めよ。

Solution解答

ⓐ
Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the perimeter of a rectangle 長方形の周の長さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let P = the perimeter Pを周の長さとする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The perimeter of the rectangle is 104 meters. 長方形の周の長さは104メートルである。

ⓑ
Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the area of a rectangle 長方形の面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let A = the area A＝面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The area of the rectangle is 640 square meters. 長方形の面積は640平方メートルである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.28例題 9.28

Find the length of a rectangle with perimeter

50

inches and width

10

inches.

周の長さ

50

インチ、幅

10

インチの長方形の長さを求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the length of the rectangle 長方形の長さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let L = the length Lを長さとする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The length is 15 inches. 長さは15インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, the width is defined in terms of the length. We’ll wait to draw the figure until we write an expression for the width so that we can label one side with that expression.

次の例題では、幅が長さを使って定義されている。幅を表す式を書いてから図を描き、その式を1つの辺に書き込めるようにする。

Example 9.29例題 9.29

The width of a rectangle is two inches less than the length. The perimeter is

52

inches. Find the length and width.

長方形の幅は長さより2インチ短い。周の長さは

52

インチである。長さと幅を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the length and width of the rectangle 長方形の長さと幅
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. Now we can draw a figure using these expressions for the length and width. 手順3．文字で表す。それを表す変数を選ぶ。これで、長さと幅を表す式を使って図を描ける。	Since the width is defined in terms of the length, we let L = length. The width is two feet less that the length, so we let L − 2 = width 幅は長さを使って定義されているので、Lを長さとする。幅は長さより2フィート短いので、L−2を幅とする。
Step 4.Translate. Write the appropriate formula. The formula for the perimeter of a rectangle relates all the information. Substitute in the given information. 手順4．置き換える。適切な公式を書く。長方形の周の長さの公式は、すべての情報を関係付ける。与えられた情報を代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$52 = 2 L + 2 L - 4$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$52 = 4 L - 4$
Add 4 to each side. 両辺に4を加える。	$56 = 4 L$
Divide by 4. 4で割る。	$\frac{56}{4} = \frac{4 L}{4}$
	$14 = L$
	The length is 14 inches. 長さは14インチである。
Now we need to find the width. 次に幅を求める必要がある。
The width is L − 2. 幅はL−2である。	The width is 12 inches. 幅は12インチである。
Step 6. Check: Since $14 + 12 + 14 + 12 = 52$ , this works! 手順6．確認する。 $14 + 12 + 14 + 12 = 52$ なので、正しい。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The length is 14 feet and the width is 12 feet. 長さは14フィート、幅は12フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.30例題 9.30

The length of a rectangle is four centimeters more than twice the width. The perimeter is

32

centimeters. Find the length and width.

長方形の長さは幅の2倍より4センチメートル長い。周の長さは

32

センチメートルである。長さと幅を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the length and width 長さと幅
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let W = width The length is four more than twice the width. 2w + 4 = length Wを幅とする。長さは幅の2倍より4大きい。2w＋4を長さとする。
Step 4.Translate. Write the appropriate formula and substitute in the given information. 手順4．置き換える。適切な公式を書き、与えられた情報を代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The length is 12 cm and the width is 4 cm. 長さは12cm、幅は4cmである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.31例題 9.31

The area of a rectangular room is

168

square feet. The length is

14

feet. What is the width?

長方形の部屋の面積は

168

平方フィート、長さは

14

フィートである。幅はいくらか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the width of a rectangular room 長方形の部屋の幅
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let W = width Wを幅とする。
Step 4.Translate. Write the appropriate formula and substitute in the given information. 手順4．置き換える。適切な公式を書き、与えられた情報を代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The width of the room is 12 feet. 部屋の幅は12フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.32例題 9.32

The perimeter of a rectangular swimming pool is

150

feet. The length is

15

feet more than the width. Find the length and width.

長方形のプールの周の長さは

150

フィートである。長さは幅より

15

フィート長い。長さと幅を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the length and width of the pool プールの長さと幅
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. The length is 15 feet more than the width. 手順3．文字で表す。それを表す変数を選ぶ。長さは幅より15フィート長い。	Let $W = width$ $W + 15 = length$ $W = 幅$ 、 $W + 15 = 長さ$ とする。
Step 4.Translate. Write the appropriate formula and substitute. 手順4．置き換える。適切な公式を書き、代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The length of the pool is 45 feet and the width is 30 feet. プールの長さは45フィート、幅は30フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）