第9章数学モデルと幾何

Use the Pythagorean Theoremピタゴラスの定理を使う

The Pythagorean Theorem is a special property of right triangles that has been used since ancient times. It is named after the Greek philosopher and mathematician Pythagoras who lived around

500

BCE.

ピタゴラスの定理は、古代から使われてきた直角三角形の特別な性質である。紀元前

500

年ごろに生きたギリシャの哲学者・数学者ピタゴラスにちなんで名付けられた。

Remember that a right triangle has a

90°

angle, which we usually mark with a small square in the corner. The side of the triangle opposite the

90°

angle is called the hypotenuse, and the other two sides are called the legs. See Figure 9.12.

英語のヒント

直角三角形には

90°

の角があり、通常は隅に小さな正方形の印を付けることを思い出そう。

90°

の角の向かいにある辺を斜辺といい、残りの2つの辺を脚という。図9.12を参照せよ。

3つの直角三角形が示され、それぞれの直角に四角い印がある。直角は、最初の三角形では左下、次では左上、最後では上にある。それぞれの直角に接する2辺には「脚」、直角の向かいにある辺には「斜辺」と記されている。 — Figure 9.12図 9.12
In a right triangle, the side opposite the $90°$ angle is called the hypotenuse and each of the other sides is called a leg.
直角三角形で、 $90°$ の角の向かいにある辺を斜辺といい、残りの辺をそれぞれ脚という。

The Pythagorean Theorem tells how the lengths of the three sides of a right triangle relate to each other. It states that in any right triangle, the sum of the squares of the two legs equals the square of the hypotenuse.

英語のヒント

ピタゴラスの定理は、直角三角形の3辺の長さの関係を述べている。どの直角三角形でも、2つの脚の2乗の和は斜辺の2乗に等しい。

To solve problems that use the Pythagorean Theorem, we will need to find square roots. In Simplify and Use Square Roots we introduced the notation

\sqrt{m}

and defined it in this way:

ピタゴラスの定理を使う問題を解くには、平方根を求める必要がある。「平方根を簡単にして使う」では、記号

\sqrt{m}

を導入し、次のように定義した。

If m = n^{2}, then \sqrt{m} = n for n \geq 0

もし m = n^{2}, ならば \sqrt{m} = n について n \geq 0

For example, we found that

\sqrt{25}

5

because

5^{2} = 25 .

例えば、

5^{2} = 25

なので、

\sqrt{25}

は

5

であるとわかった。

We will use this definition of square roots to solve for the length of a side in a right triangle.

この平方根の定義を使って、直角三角形の辺の長さを求める。

Example 9.22例題 9.22

Use the Pythagorean Theorem to find the length of the hypotenuse.

ピタゴラスの定理を使って斜辺の長さを求める。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the length of the hypotenuse of the triangle 三角形の斜辺の長さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $c = the length of the hypotenuse$ $c = 斜辺の長さ$ とおく。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The length of the hypotenuse is 5. 斜辺の長さは5である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.23例題 9.23

Use the Pythagorean Theorem to find the length of the longer leg.

ピタゴラスの定理を使って、長い方の脚の長さを求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	The length of the leg of the triangle 三角形の脚の長さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $b = the leg of the triangle$ Label side b $b = 三角形の直角をはさむ辺$ とする。辺にbと書き込む。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．置き換える。適切な公式を書き、代入する。
Step 5. Solve the equation. Isolate the variable term. Use the definition of the square root. Simplify. 手順5．方程式を解く。変数を含む項だけを一方の辺に残す。平方根の定義を使い、簡単にする。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The length of the leg is 12. 脚の長さは12である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.24例題 9.24

Kelvin is building a gazebo and wants to brace each corner by placing a

10-inch

wooden bracket diagonally as shown. How far below the corner should he fasten the bracket if he wants the distances from the corner to each end of the bracket to be equal? Approximate to the nearest tenth of an inch.

英語のヒント

ケルヴィンはあずまやを建てており、図のように

10インチ

の木製の補強材を斜めに取り付け、各隅を補強しようとしている。隅から補強材の両端までの距離を等しくするには、隅からどれだけ下に取り付ければよいか。インチ単位で小数第1位までの近似値を求めよ。

あずまやの図。屋根の下に長方形があり、上辺から両側へ補強材が付いている。左の補強材には10インチ、補強材が側面に接する位置から屋根までにはxと記されている。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the distance from the corner that the bracket should be attached 隅から補強材の取り付け位置までの距離
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let x = the distance from the corner xを隅からの距離とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
Step 5. Solve the equation. Isolate the variable. Use the definition of the square root. Simplify. Approximate to the nearest tenth. 手順5．方程式を解く。変数だけを一方の辺に残す。平方根の定義を使って簡単にし、小数第1位までの近似値を求める。
Step 6. Check: 手順6　確認： Yes. はい。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	Kelvin should fasten each piece of wood approximately 7.1" from the corner. ケルヴィンは、それぞれの木材を隅から約7.1インチの位置に固定すればよい。

Try It (2)確認問題（2題）

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