第9章数学モデルと幾何

Find the Area of Irregular Figures不規則な図形の面積を求める

Example 9.44例題 9.44

Find the area of the shaded region.

英語のヒント

色の付いた部分の面積を求めよ。

Solution解答

The given figure is irregular, but we can break it into two rectangles. The area of the shaded region will be the sum of the areas of both rectangles.

英語のヒント

与えられた図形は不規則だが、2つの長方形に分けられる。色の付いた部分の面積は、両方の長方形の面積の和になる。

The blue rectangle has a width of $12$ and a length of $4.$ The red rectangle has a width of $2,$ but its length is not labeled. The right side of the figure is the length of the red rectangle plus the length of the blue rectangle. Since the right side of the blue rectangle is $4$ units long, the length of the red rectangle must be $6$ units.

青い長方形の幅は$12$、長さは$4$である。赤い長方形の幅は$2$だが、長さは記されていない。図形の右辺は、赤い長方形の長さと青い長方形の長さの和である。青い長方形の右辺の長さは$4$単位なので、赤い長方形の長さは$6$単位になる。

The area of the figure is $60$ square units.

図形の面積は$60$平方単位である。

Is there another way to split this figure into two rectangles? Try it, and make sure you get the same area.

英語のヒント

この図形を2つの長方形に分ける別の方法はあるだろうか。試して、同じ面積になることを確かめよう。

Example 9.45例題 9.45

Find the area of the shaded region.

色の付いた部分の面積を求めよ。

Solution解答

We can break this irregular figure into a triangle and rectangle. The area of the figure will be the sum of the areas of triangle and rectangle.

この不規則な図形は、三角形と長方形に分けられる。図形の面積は、三角形と長方形の面積の和になる。

The rectangle has a length of $8$ units and a width of $4$ units.

長方形の長さは$8$単位、幅は$4$単位である。

We need to find the base and height of the triangle.

三角形の底辺と高さを求める必要がある。

Since both sides of the rectangle are $4,$ the vertical side of the triangle is $3$, which is $7-4$.

長方形の両側の辺は$4$なので、三角形の垂直な辺は$3$、つまり$7-4$である。

The length of the rectangle is $8,$ so the base of the triangle will be $3$, which is $8-5$.

長方形の長さは$8$なので、三角形の底辺は$3$、つまり$8-5$になる。

Now we can add the areas to find the area of the irregular figure.

これで面積を足し、不規則な図形の面積を求められる。

The area of the figure is $36.5$ square units.

図形の面積は$36.5$平方単位である。

Example 9.46例題 9.46

A high school track is shaped like a rectangle with a semi-circle (half a circle) on each end. The rectangle has length $105$ meters and width $68$ meters. Find the area enclosed by the track. Round your answer to the nearest hundredth.

英語のヒント

高校のトラックは、長方形の両端に半円（円の半分）をつないだ形をしている。長方形の長さは$105$メートル、幅は$68$メートルである。トラックで囲まれた部分の面積を求め、四捨五入して小数第2位まで答えよ。

Solution解答

We will break the figure into a rectangle and two semi-circles. The area of the figure will be the sum of the areas of the rectangle and the semicircles.

図形を長方形と2つの半円に分ける。図形の面積は、長方形と半円の面積の和になる。

The rectangle has a length of $105$ m and a width of $68$ m. The semi-circles have a diameter of $68$ m, so each has a radius of $34$ m.

長方形の長さは$105$メートル、幅は$68$メートルである。半円の直径は$68$メートルなので、それぞれの半径は$34$メートルである。

Key Concepts重要な概念

• Problem Solving Strategy for Geometry Applications

  図形の応用問題を解く手順
  1. Read the problem and make sure you understand all the words and ideas. Draw the figure and label it with the given information.

     問題を読み、すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。図を描き、与えられた情報を書き込む。
  2. Identify what you are looking for.

     何を求めるのかを明らかにする。
  3. Name what you are looking for. Choose a variable to represent that quantity.

     求める量を明らかにする。その量を表す変数を選ぶ。
  4. Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information.

     状況に適した公式やモデルを書き、方程式に表す。与えられた情報を代入する。
  5. Solve the equation using good algebra techniques.

     適切な代数の手順を使って方程式を解く。
  6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.

     答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
  7. Answer the question with a complete sentence.

     完全な文で問いに答える。
• Properties of Circles
  

  円の性質
  
  • $d=2r$
  • Circumference: $C=2\pi r$ or $C=\pi d$

    円周：$C=2\pi r$または$C=\pi d$
  • Area: $A=\pi r^2$

    面積：$A=\pi r^2$

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 235–254練習問題 235–254

Find the Area of Irregular Figures

不規則な図形の面積を求める

In the following exercises, find the area of the irregular figure. Round your answers to the nearest hundredth.

次の各問で、不規則な図形の面積を求めよ。四捨五入して小数第2位まで答えよ。

Exercise 235問題 235

Solution解き方

16 sq. units

16 平方単位

Exercise 236問題 236

Exercise 237問題 237

Solution解き方

30 sq. units

30 平方単位

Exercise 238問題 238

Exercise 239問題 239

Solution解き方

57.5 sq. units

57.5 平方単位

Exercise 240問題 240

Exercise 241問題 241

Solution解き方

12 sq. units

12 平方単位

Exercise 242問題 242

Exercise 243問題 243

Solution解き方

67.5 sq. units

67.5 平方単位

Exercise 244問題 244

Exercise 245問題 245

Solution解き方

89 sq. units

89 平方単位

Exercise 246問題 246

Exercise 247問題 247

Solution解き方

44.81 sq. units

44.81 平方単位

Exercise 248問題 248

Exercise 249問題 249

Solution解き方

41.12 sq. units

41.12 平方単位

Exercise 250問題 250

Exercise 251問題 251

Solution解き方

35.13 sq. units

35.13 平方単位

Exercise 252問題 252

Exercise 253問題 253

Solution解き方

95.625 sq. units

95.625 平方単位

Exercise 254問題 254