第9章数学モデルと幾何

Find the Volume of Cones円錐の体積を求める

The first image that many of us have when we hear the word ‘cone’ is an ice cream cone. There are many other applications of cones (but most are not as tasty as ice cream cones). In this section, we will see how to find the volume of a cone.

「コーン」という言葉を聞いて、多くの人が最初に思い浮かべるのはアイスクリームコーンである。円錐が使われる場面はほかにも多い（ただし、その大半はアイスクリームコーンほどおいしくない）。この節では円錐の体積の求め方を学ぶ。

In geometry, a cone is a solid figure with one circular base and a vertex. The height of a cone is the distance between its base and the vertex.The cones that we will look at in this section will always have the height perpendicular to the base. See Figure 9.35.

英語のヒント

幾何学では、円錐とは円形の底面を1つと頂点を持つ立体である。円錐の高さは、底面と頂点の間の距離である。この節で扱う円錐では、高さは常に底面に垂直である。図9.35を参照せよ。

円錐の先端には「頂点」、高さにはh、底面の半径にはrと記されている。 — Figure 9.35図 9.35
The height of a cone is the distance between its base and the vertex.
円錐の高さは、底面と頂点の間の距離である。

Earlier in this section, we saw that the volume of a cylinder is

V = π r^{2} h .

We can think of a cone as part of a cylinder. Figure 9.36 shows a cone placed inside a cylinder with the same height and same base. If we compare the volume of the cone and the cylinder, we can see that the volume of the cone is less than that of the cylinder.

この節で先に、円柱の体積が

V = π r^{2} h

であると学んだ。円錐を円柱の一部と考えることができる。図9.36では、底面と高さが同じ円柱の中に円錐が置かれている。両者の体積を比べると、円錐の体積は円柱の体積より小さいことがわかる。

円錐の周りに円柱が描かれている。 — Figure 9.36図 9.36
The volume of a cone is less than the volume of a cylinder with the same base and height.
円錐の体積は、底面と高さが同じ円柱の体積より小さい。

In fact, the volume of a cone is exactly one-third of the volume of a cylinder with the same base and height. The volume of a cone is

英語のヒント

実際、円錐の体積は、底面と高さが同じ円柱の体積のちょうど3分の1である。円錐の体積は

Since the base of a cone is a circle, we can substitute the formula of area of a circle,

π r^{2}

, for

B

to get the formula for volume of a cone.

円錐の底面は円なので、

B

に円の面積の公式

π r^{2}

を代入すると、円錐の体積の公式が得られる。

In this book, we will only find the volume of a cone, and not its surface area.

この本では円錐の体積だけを求め、表面積は扱わない。

Example 9.55例題 9.55

Find the volume of a cone with height

6

inches and radius of its base

2

inches.

高さ

6

インチ、底面の半径

2

インチの円錐の体積を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the cone 円錐の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let V = volume V＝体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. (Use 3.14 for $π$ ) 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。（ $π$ には3.14を使う。）	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ $V \approx \frac{1}{3} 3.14 {(2)}^{2} (6)$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$V \approx 25.12$
Step 6. Check: We leave it to you to check your calculations. 手順6．確かめる。計算の確認は読者に任せる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume is approximately 25.12 cubic inches. 体積は約25.12立方インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.56例題 9.56

Marty’s favorite gastro pub serves french fries in a paper wrap shaped like a cone. What is the volume of a conic wrap that is

8

inches tall and

5

inches in diameter? Round the answer to the nearest hundredth.

英語のヒント

マーティのお気に入りの料理が充実したパブでは、フライドポテトを円錐形の紙包みに入れて出す。高さ

8

インチ、直径

5

インチの円錐形の包みの体積はいくらか。四捨五入して小数第2位まで答えよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. Notice here that the base is the circle at the top of the cone. 手順1．問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。ここでは円錐の上にある円が底面であることに注意する。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the cone 円錐の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let V = volume V＝体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. (Use 3.14 for $π$ , and notice that we were given the distance across the circle, which is its diameter. The radius is 2.5 inches.) 手順4．置き換える。適切な公式を書き、代入する。（ $π$ を3.14とする。与えられた円を横切る距離は直径であり、半径は2.5インチであることに注意する。）	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ $V \approx \frac{1}{3} 3.14 {(2.5)}^{2} (8)$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$V \approx 52.33$
Step 6. Check: We leave it to you to check your calculations. 手順6．確かめる。計算の確認は読者に任せる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume of the wrap is approximately 52.33 cubic inches. 包みの体積は約52.33立方インチである。

Try It (2)確認問題（2題）