プリンキピア

第9章数学モデルと幾何

Summary of Geometry Formulas図形の公式のまとめ

The following charts summarize all of the formulas covered in this chapter.
以下の表に、この章で扱ったすべての公式をまとめる。
この章の公式をまとめた表。最初の欄は「補角と余角」で、互いに補角であるAとBでは角Aの大きさ＋角Bの大きさ＝180度、互いに余角であるCとDでは角Cの大きさ＋角Dの大きさ＝90度とある。一直線を作る角AとB、直角を作る角CとDの図がある。 次の「直方体」の欄には、体積＝LWH、表面積＝2LH＋2LW＋2WHという公式と、辺にL、W、Hと記した直方体がある。「三角形」の欄には、辺a、b、c、頂点A、B、C、高さhの三角形がある。「三角形ABCでは角Aの大きさ＋角Bの大きさ＋角Cの大きさ＝180度」、その下に「周の長さ：P＝a＋b＋c」「面積：A＝1/2bh」とある。 「立方体」の欄には1辺sの図があり、「体積：V＝s³」「表面積：S＝6s²」とある。「相似な三角形」の欄には相似なABCとXYZがあり、三角形ABCが三角形XYZと相似なら角Aと角X、角Bと角Y、角Cと角Zの大きさがそれぞれ等しいとある。続いてa/x＝b/y＝c/zとある。「球」の欄には半径rの図があり、「体積：V＝4/3×π×r」「表面積：S＝4πr²」とある。 「円」の欄には2本の半径rと直径dの図があり、「円周：C＝2πr、C＝πd」「面積＝πr²」とある。「円柱」の欄には高さh、底面の半径rの図があり、「体積：V＝πr²h」、その下にV＝Bh、さらに「表面積：S＝2πr²＋2πrh」とある。「長方形」の欄には辺W、Lの図があり、「周の長さ：P＝2L＋2W」「面積：A＝LW」とある。「円錐」の欄には高さh、底面の半径rの図があり、「体積：V＝1/3×π×r²×h」とある。最後の「台形」の欄には上底b、下底B、高さhの図があり、「面積：A＝1/2×h×(b＋B)」とある。
1行3列の図。左列は「直方体」で、「体積：V＝LWH」「表面積：S＝2LH＋2LW＋2WH」という公式と、辺にL、W、Hと記した直方体がある。中央列は「長方形」で、「周の長さ：P＝2L＋2W」「面積：A＝LW」と、辺W、Lの長方形がある。右列は「立方体」で、「体積：V＝s³」「表面積：S＝6s²」とあり、その下に3本の辺にsと記した立方体がある。
Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

  • Volume and Surface Area of a Rectangular Solid
    直方体の体積と表面積
    • V=LWH
    • S=2LH+2LW+2WH
  • Volume and Surface Area of a Cube
    立方体の体積と表面積
    • V=s3
    • S=6s2
  • Volume and Surface Area of a Sphere
    球の体積と表面積
    • V=43πr3
    • S=4πr2
  • Volume and Surface Area of a Cylinder
    円柱の体積と表面積
    • V=πr2h
    • S=2πr2+2πrh
  • Volume of a Cone
    円すいの体積
    • For a cone with radius r and height h:
      Volume: V=13πr2h
      半径r、高さhの円錐では、体積：V=13πr2h

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 263–266練習問題 263–266
Find Volume and Surface Area of Rectangular Solids
直方体の体積と表面積を求める
In the following exercises, find ⓐ the volume and ⓑ the surface area of the rectangular solid with the given dimensions.
次の各問で、与えられた寸法の直方体のⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercise 263問題 263
length 2 meters, width 1.5 meters, height 3 meters
長さ2メートル、幅1.5メートル、高さ3メートル
Solution解き方
  1. ⓐ 9 cu. m
    ⓐ 9立方メートル
  2. ⓑ 27 sq. m
    ⓑ 27平方メートル
Exercise 264問題 264
length 5 feet, width 8 feet, height 2.5 feet
長さ5フィート、幅8フィート、高さ2.5フィート
Exercise 265問題 265
length 3.5 yards, width 2.1 yards, height 2.4 yards
長さ3.5ヤード、幅2.1ヤード、高さ2.4ヤード
Solution解き方
  1. ⓐ 17.64 cu. yd.
    ⓐ 17.64立方ヤード
  2. ⓑ 41.58 sq. yd.
    ⓑ 41.58平方ヤード
Exercise 266問題 266
length 8.8 centimeters, width 6.5 centimeters, height 4.2 centimeters
長さ8.8センチメートル、幅6.5センチメートル、高さ4.2センチメートル
Exercises 267–270練習問題 267–270
In the following exercises, solve.
次の練習問題では、方程式を解く。
Exercise 267問題 267
Moving van A rectangular moving van has length 16 feet, width 8 feet, and height 8 feet. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
引っ越し用トラック　直方体の荷室の長さは16フィート、幅は8フィート、高さは8フィートである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Solution解き方
  1. ⓐ 1,024 cu. ft
    ⓐ 1,024立方フィート
  2. ⓑ 640 sq. ft
    ⓑ 640平方フィート
Exercise 268問題 268
Gift box A rectangular gift box has length 26 inches, width 16 inches, and height 4 inches. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
贈り物用の箱　直方体の贈り物用の箱は長さ26インチ、幅16インチ、高さ4インチである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercise 269問題 269
Carton A rectangular carton has length 21.3 cm, width 24.2 cm, and height 6.5 cm. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
紙箱　直方体の紙箱は長さ21.3cm、幅24.2cm、高さ6.5cmである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Solution解き方
  1. ⓐ 3,350.49 cu. cm
    ⓐ 3,350.49立方センチメートル
  2. ⓑ 1,622.42 sq. cm
    ⓑ 1,622.42平方センチメートル
Exercise 270問題 270
Shipping container A rectangular shipping container has length 22.8 feet, width 8.5 feet, and height 8.2 feet. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
輸送コンテナ　直方体の輸送コンテナは長さ22.8フィート、幅8.5フィート、高さ8.2フィートである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercises 271–274練習問題 271–274
In the following exercises, find ⓐ the volume and ⓑ the surface area of the cube with the given side length.
次の各問で、与えられた辺の長さの立方体のⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercise 271問題 271
5 centimeters
5 センチメートル
Solution解き方
  1. ⓐ 125 cu. cm
    ⓐ 125立方センチメートル
  2. ⓑ 150 sq. cm
    ⓑ 150平方センチメートル
Exercise 272問題 272
6 inches
6 インチ
Exercise 273問題 273
10.4 feet
10.4 フィート
Solution解き方
  1. ⓐ 1124.864 cu. ft.
    ⓐ 1124.864立方フィート
  2. ⓑ 648.96 sq. ft
    ⓑ 648.96平方フィート
Exercise 274問題 274
12.5 meters
12.5 メートル
Exercises 275–278練習問題 275–278
In the following exercises, solve.
次の練習問題では、方程式を解く。
Exercise 275問題 275
Science center Each side of the cube at the Discovery Science Center in Santa Ana is 64 feet long. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
科学センター　サンタアナのディスカバリー・サイエンス・センターにある立方体の各辺は64フィートである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Solution解き方
  1. ⓐ 262,144 cu. ft
    ⓐ 262,144立方フィート
  2. ⓑ 24,576 sq. ft
    ⓑ 24,576平方フィート
Exercise 276問題 276
Museum A cube-shaped museum has sides 45 meters long. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
博物館　立方体の形をした博物館の各辺は45メートルである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercise 277問題 277
Base of statue The base of a statue is a cube with sides 2.8 meters long. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
彫像の台座　彫像の台座は1辺2.8メートルの立方体である。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Solution解き方
  1. ⓐ 21.952 cu. m
    ⓐ 21.952立方メートル
  2. ⓑ 47.04 sq. m
    ⓑ 47.04平方メートル
Exercise 278問題 278
Tissue box A box of tissues is a cube with sides 4.5 inches long. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
ティッシュ箱　ティッシュの箱は1辺4.5インチの立方体である。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercises 279–282練習問題 279–282
Find the Volume and Surface Area of Spheres
球の体積と表面積を求める
In the following exercises, find ⓐ the volume and ⓑ the surface area of the sphere with the given radius. Round answers to the nearest hundredth.
次の各問で、与えられた半径の球のⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。四捨五入して小数第2位まで答えよ。
Exercise 279問題 279
3 centimeters
3 センチメートル
Solution解き方
  1. ⓐ 113.04 cu. cm
    ⓐ 113.04立方センチメートル
  2. ⓑ 113.04 sq. cm
    ⓑ 113.04平方センチメートル
Exercise 280問題 280
9 inches
9 インチ
Exercise 281問題 281
7.5 feet
7.5 フィート
Solution解き方
  1. ⓐ 1,766.25 cu. ft
    ⓐ 1,766.25立方フィート
  2. ⓑ 706.5 sq. ft
    ⓑ 706.5平方フィート
Exercise 282問題 282
2.1 yards
2.1 ヤード
Exercises 283–286練習問題 283–286
In the following exercises, solve. Round answers to the nearest hundredth.
次の問題を解け。答えは小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ。
Exercise 283問題 283
Exercise ball An exercise ball has a radius of 15 inches. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
エクササイズボール　エクササイズボールの半径は15インチである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Solution解き方
  1. ⓐ 14,130 cu. in.
    ⓐ 14,130立方インチ
  2. ⓑ 2,826 sq. in.
    ⓑ 2,826平方インチ
Exercise 284問題 284
Balloon ride The Great Park Balloon is a big orange sphere with a radius of 36 feet . Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
気球体験　グレート・パーク・バルーンは半径36フィートの大きなオレンジ色の球である。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercise 285問題 285
Golf ball A golf ball has a radius of 4.5 centimeters. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
ゴルフボール　ゴルフボールの半径は4.5センチメートルである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Solution解き方
  1. ⓐ 381.51 cu. cm
    ⓐ 381.51立方センチメートル
  2. ⓑ 254.34 sq. cm
    ⓑ 254.34平方センチメートル
Exercise 286問題 286
Baseball A baseball has a radius of 2.9 inches. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
野球のボール　野球のボールの半径は2.9インチである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercises 287–290練習問題 287–290
Find the Volume and Surface Area of a Cylinder
円柱の体積と表面積を求める
In the following exercises, find ⓐ the volume and ⓑ the surface area of the cylinder with the given radius and height. Round answers to the nearest hundredth.
次の各問で、与えられた半径と高さの円柱のⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。四捨五入して小数第2位まで答えよ。
Exercise 287問題 287
radius 3 feet, height 9 feet
半径3フィート、高さ9フィート
Solution解き方
  1. ⓐ 254.34 cu. ft
    ⓐ 254.34立方フィート
  2. ⓑ 226.08 sq. ft
    ⓑ 226.08平方フィート
Exercise 288問題 288
radius 5 centimeters, height 15 centimeters
半径5センチメートル、高さ15センチメートル
Exercise 289問題 289
radius 1.5 meters, height 4.2 meters
半径1.5メートル、高さ4.2メートル
Solution解き方
  1. ⓐ 29.673 cu. m
    ⓐ 29.673立方メートル
  2. ⓑ 53.694 sq. m
    ⓑ 53.694平方メートル
Exercise 290問題 290
radius 1.3 yards, height 2.8 yards
半径1.3ヤード、高さ2.8ヤード
Exercises 291–294練習問題 291–294
In the following exercises, solve. Round answers to the nearest hundredth.
次の問題を解け。答えは小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ。
Exercise 291問題 291
Coffee can A can of coffee has a radius of 5 cm and a height of 13 cm. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
コーヒー缶　コーヒー缶の半径は5cm、高さは13cmである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Solution解き方
  1. ⓐ 1,020.5 cu. cm
    ⓐ 1,020.5立方センチメートル
  2. ⓑ 565.2 sq. cm
    ⓑ 565.2平方センチメートル
Exercise 292問題 292
Snack pack A snack pack of cookies is shaped like a cylinder with radius 4 cm and height 3 cm. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
小分けの菓子　クッキーの小分けパックは半径4cm、高さ3cmの円柱形である。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercise 293問題 293
Barber shop pole A cylindrical barber shop pole has a diameter of 6 inches and height of 24 inches. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
理髪店の看板柱　円柱形の理髪店の看板柱の直径は6インチ、高さは24インチである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Solution解き方
  1. ⓐ 678.24 cu. in.
    ⓐ 678.24立方インチ
  2. ⓑ 508.68 sq. in.
    ⓑ 508.68平方インチ
Exercise 294問題 294
Architecture A cylindrical column has a diameter of 8 feet and a height of 28 feet. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.
建築　円柱形の柱の直径は8フィート、高さは28フィートである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。
Exercises 295–298練習問題 295–298
Find the Volume of Cones
円錐の体積を求める
In the following exercises, find the volume of the cone with the given dimensions. Round answers to the nearest hundredth.
次の各問で、与えられた寸法の円錐の体積を求めよ。四捨五入して小数第2位まで答えよ。
Exercise 295問題 295
height 9 feet and radius 2 feet
高さ9フィート、半径2フィート
Solution解き方
37.68 cu. ft
37.68立方フィート
Exercise 296問題 296
height 8 inches and radius 6 inches
高さ8インチ、半径6インチ
Exercise 297問題 297
height 12.4 centimeters and radius 5 cm
高さ12.4センチメートル、半径5cm
Solution解き方
324.47 cu. cm
324.47立方センチメートル
Exercise 298問題 298
height 15.2 meters and radius 4 meters
高さ15.2メートル、半径4メートル
Exercises 299–302練習問題 299–302
In the following exercises, solve. Round answers to the nearest hundredth.
次の問題を解け。答えは小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ。
Exercise 299問題 299
Teepee What is the volume of a cone-shaped teepee tent that is 10 feet tall and 10 feet across at the base?
ティピー　高さ10フィート、底面の直径10フィートの円錐形のティピー型テントの体積はいくらか。
Solution解き方
261.67 cu. ft
261.67立方フィート
Exercise 300問題 300
Popcorn cup What is the volume of a cone-shaped popcorn cup that is 8 inches tall and 6 inches across at the base?
ポップコーンのカップ　高さ8インチ、底面の直径6インチの円錐形のポップコーン用カップの体積はいくらか。
Exercise 301問題 301
Silo What is the volume of a cone-shaped silo that is 50 feet tall and 70 feet across at the base?
サイロ　高さ50フィート、底面の直径70フィートの円錐形のサイロの体積はいくらか。
Solution解き方
64,108.33 cu. ft
64,108.33立方フィート
Exercise 302問題 302
Sand pile What is the volume of a cone-shaped pile of sand that is 12 meters tall and 30 meters across at the base?
砂の山　高さ12メートル、底面の直径30メートルの円錐形の砂の山の体積はいくらか。